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所有三角形都是等腰三角形谬论
下面是所有三角形都是等腰三角形的证明；

其后我们给出证明它是错误的过程。

分析：
A.第一我们证明：三角形内角平分线分对边所成的两条线段，和两条邻边成比例（三角形角平分线定理）。
B.第二我们证明 ：三角形的任意角的角平分线与它的对边的中垂线的交点的个数只可能存在一个或者无数个。 其中
a.交点个数为一的交点必然存在于三角形外（不包括三角形本身三边和顶点），这时三角形为非等腰三角形；
b.交点个数为无数的交点必然是一条线段（其实这时就是对边的中垂线），存在于三角形内（包含三角形本身三边和顶点），这时三角形必然为等腰三角形，且相等的两边为夹有角平分线的角的两边。
C.我们用另一种语言表述下第二证明：非等腰三角形的任意角的角平分线与它的对边的中垂线的交点必定存在于三角形外,不存在于三角形内和三角形边上、顶点上（本题就错在这个地方）。
三角形角平分线定理证明
已知：在三角形ABC中，角A的角平分线交BC的延长线于D
求证：BD：CD＝AB：AC
证明：过点D作DE平行AC交BA于E
因为角CAD=角DAE
又因为DE//AC
所以角CAD=角ADE
所以角ADE=角DAE
所以AE=DE
又因为DE//AC,
所以BD：CD=BE：AE=BEDE=BA：AC
原命题得证。
下面证明：非等腰三角形的任意角的角平分线与它的对边的中垂线的交点必定存在于三角形外,不存在于三角形内和三角形边上、顶点上。

已知：如图A为原点，三角形ABC中C成为自由点，DE为AB的中垂线，交x轴于F点，C的角平分线与x轴交点G。
证明：因为C为自由点，所以ABC可以为任意三角形。
a.当AC大于BC时，C点在EF左边，AC:BC=AG：GB>1
所以角C角平分线与x轴交点G在线段FB上，与DE的交点在三角行外。
b.当AC等于BC时，C点在ED线上，明显G点即为线段F点，此时为等腰三角形。
c.当AC小于BC时，C点在EF右边，G点在线段AF上，角C角平分线与DE的交点在三角行外。
综上所述，只要是非等腰三角形，它的任意角的角平分线与它的对边的中垂线的交点必定存在于三角形外,不存在于三角形内和三角形边上、顶点上。