有趣的数学.doc

趣味数学（1）简单年龄问题
知识要点：小朋友,你知道吗?今年你6岁,明年你几岁?妈妈今年30岁,比你大24岁, 明年妈妈比你大几岁呢?这些年龄问题在解答时要记住:每过一年,每人年龄都要长大一岁.今年妈妈比你大几岁,再过些年, 妈妈还是比你大几岁.
[ 例1 ]  夏华今年7岁,他比爸爸小28岁,去年他比爸爸小多少岁?
分析：根据题意，我们知道今年夏华比爸爸小28岁.那么去年, 夏华与爸爸同时减去一岁, 夏华仍然比爸爸小28岁.
[ 例2 ] 弟弟今年4岁,哥哥今年12岁,10年后,哥哥比弟弟大几岁?
分析：根据题意，今年哥哥12岁, 弟弟4岁,那么我们知道哥哥比弟弟大12－4=8(岁). 10年后,哥哥的岁数是12＋10=22岁. 10年后,弟弟的岁数是4＋10=14岁.因此10年后,哥哥比弟弟大22－14=8岁.
[ 例3 ] 小青说: “3年后,妈妈比我大25岁.”妈妈问: “5年前,你比妈妈小多少岁?”
分析：由上题我们知道，哥哥比弟弟大8岁, 10年后,哥哥还是比弟弟大8岁.由此我们可以这样想:既然3年后,妈妈比我大25岁,那么, 5年前, 妈妈仍然比我大25岁,也就是我比妈妈小25岁.
[ 例4 ] 小林今年6岁, 小红今年10岁, 当小林的年龄和小红今年的年龄一样大时, 小红几岁?
分析：我们知道，小林今年6岁, 要想使小林的年龄和小红今年的年龄一样大, 那么小林就要再过4年才能和小红一样大. 小林过4年,小红也要过4年,即长大4岁, 那么小红就是10＋4=14岁.
[ 例5] 小芳今年5岁, 3年后,小芳幼儿园的李老师比小芳大20岁,李老师今年多少岁?
分析：我们知道，3年后,小芳幼儿园的李老师比小芳大20岁,那么3年前,小芳幼儿园的李老师还是比小芳大20岁,又因为小芳今年5岁, 李老师今年就是20＋5=25岁.
趣味数学（2）一笔画问题
小朋友们，你们能把下面的图形一笔画出来吗？

如果用笔在纸上连续不断又不重复，一笔画成某种图形，这种图形就叫一笔画。那么是不是所有的图形都能一笔画成呢？这一讲我们就一起来学习一笔画的规律。
典型例题
例【1】 下面这些图形，哪个能一笔画？哪个不能一笔画？

（1）

（1） （2） （3） （4）
分析 图（1）
一笔画出，可以从图中任意一点开始画该图，画到同一点结束。
经过尝试后，可以发现图（2）不能一笔画出。
图（3）不是连通的，显然也不能一笔画出。图（4）也可以一笔画出，且从任何一点出发都可以。
通过观察，我们可以发现一个几何图形中和一点相连通的线的条数不同。由一点发出有偶数条线，那么这个点叫做偶点。相应的，由一点出发有奇数条数，则这个点叫做奇点。
再看图（1）、（4），其中每一点都是偶点，都可以一笔画，且可以从任意一点画起。而图（2）有4个奇点，2个偶点，不能一笔画成。
这样我们发现，一个图形能否一笔画和这个图形奇点，偶点的个数有某种联系，到底存在什么样的关系呢，我们再看一个例题。
例【2】 下面各图能否一笔画成？

（1） （2） （3）
分析 图（1）从任意一点出都可以一笔画成，因为它的每一个点都是与两条线相连的偶点。
关于图（2），经过反复试验，也可找到画法：由A B C A
D C。图中B、D为偶点，A、C为奇点，即图中有两个奇点，两个偶点。要想一笔画，需从奇点出发，回到奇点。
经过尝试，图（3）无法一笔画成，而图中有4个奇点，5个偶点。
解 图（1）、（2）可以一笔画。

这样我们可以发现能否一笔画和奇点、偶点的数目有着紧密的关系。
如果图形只有偶点，可以以任意一点为起点，一笔画出。如果只有两个奇点，也可以一笔画出，但必须从奇点出发，由另一点结束。
如果图形的奇点个数超过两个，则图形不能一笔画出。
例【3】 下面的图形，哪些能一笔画出？哪些不能一笔画出？

分析 图（1）有两个奇点，两个偶点，可以一笔画，须由A开始或由B开始到B结束或到A结束。
图（2）有10个奇点，大于2，不能一笔画成。
图（3）有4个奇点，1个偶点，因此也不能一笔画成。
解 图（1）的画法见下图。

例【4】 下图中，图（1）至少要画几笔才能画成？
A
O
B
C
D
（1）

分析 图（1）有4个奇点，所以不能一笔画出。如果把它分成几个部分，而每个部分是一笔画图形，则我们就可以用最少的几笔画出这个图形。按照这样的要求，每个部分最多含有两个奇点，可以采用再两个奇点之间增加一条或者去掉一条线的方法，该奇点就变成偶点。经观察，图（1）可以切分成图（A）、（B）两个图形。这两部分都可以一笔画出，所以图（1）至少用两笔画出。
解 将图（1）分成图（A）、（B），则图（A）可由A-B-O-D-A-C-D一笔画成，图（B）由B-C一笔画成，所以图（1）至少要两笔画完。
A
B
C
D
（1）
A
O
B
C
D
（A）
B
C
（B）
O

小结 能否一笔画成，关键在于判别奇点、偶点的个数。
一、 只有偶点，可以一笔画，并且可以以任意一点作为起点。
二、 只有两个奇点，可以一笔画，但必须以这两个奇点分别作为起点和终点。
三、 奇点超过两个，则不能一笔画。对于一些比较复杂的路线问题，可以先转化为简单的几何图形，然后根据判定是否能一笔画的方法进行解答。

趣味数学（3）一半问题
知识要点：小朋友,你知道吗?一些物体分成同样多的两份，其中一份就是总数的一半。已知一半求总数，只要用一半数再加一半数就是总数。当出现连续几次一半，要仔细分辨，正确计算总数。
[ 例1 ]  爸爸买了一些草莓，小明吃了一半后，还剩下6个，爸爸买了多少个草莓？
分析：根据题意，爸爸买了一些草莓，吃了一半，剩下6个与吃了的同样多，说明吃了的一半也是6个。因而原来一共有6+6=12（个）。

所以，爸爸买了12个草莓。
[ 例2]  妈妈有14颗奶糖，分给小星和小丹各一半，他们各得多少颗糖？
分析：根据题意，妈妈把14颗奶糖，分给小星和小丹各一半,说明小星和小丹分到的同样多,我们把14可以分成7和7,因此小星和小丹每人分到的都是7颗糖。
[ 例3 ]  妈妈分给小静8块巧克力，剩下的分给小英。小静分得的块数正好是小英的一半，分给小英几块巧克力？
分析：根据题意，我们知道小静分得的块数正好是小英的一半，也就是小英的一半和小静一样多，小英的一半是8块巧克力，那么小英就有两个一半，即8+8=16（块）。
[ 例4 ] 一根铁丝长20米，对折以后，再对折，这时每折长几米？ 例

分析：根据题意，把一根铁丝对折以后，也就是分成了两半，即把20分成10和10。这时绳长10米。再对折，即把10分成5和5。这时绳长也就是5米。
[ 例5 ] 一篮苹果，小明拿走一半后，妈妈和爸爸平均分剩下的一半，妈妈得了3个。篮里原来有几个苹果？
分析：根据题意，妈妈和爸爸平均分剩下的一半，说明妈妈和爸爸分的一样多，妈妈得了3个，爸爸也就得3个，妈妈和爸爸一共6个。又因为小明拿走一半，妈妈和爸爸拿走另一半，说明妈妈和爸爸拿走的与小明拿走的一样多。所以小明拿走的是6个苹果，小明拿走的与妈妈和爸爸拿走的和起来就是篮里原来一共有的苹果，6+6=12（个），篮里原来有12个苹果。

趣味数学（4）火柴棒问题之一
小朋友，火柴棒是我们家家都有的生活用品，用火柴棒做游戏简便易学。
用火柴棒可以摆成下列数字和运算符号：
1
2
3
4
5
6
7
8
00
9
－
＋
×
=

大家喜欢这样的游戏吗？在这一讲里，我们要用火柴棒去探索变化无穷的数字世界，在有趣的游戏中，变得更聪明。

典型例题
例 1 下面是用火柴棒摆成的算式，但这个算式是不成立的。只要移动1根火柴棒，算式就成立了。你会移动吗？

分析 在这个算式中，左边的计算结果是20，右边的结果多了20，我们可以让左边的两个加数的和减少10，让减数增加10，这样一共减少了10，等式就相等了。
解法一 可以这样移动：

解法二 也可以这样想：从左边拿出多的一个10放到右边：

例 2 用4根火柴棒可以分别表示一些加减运算符号，然后把这4根火柴棒放到数字1至9中间去，使最终的计算结果等于100。

分析 我们可以这样想：用4根火柴棒可以组成2个“＋”号、4个“－”号，或者1个“＋”号、或者1个“＋”和2个“－”号；再看结果100，它可能是和或者是差。经推理，只能用4个火柴棒组成1个“＋”和2个“－”号，才能使结果等于100。
解

例 3 请在下面算式上再加上一根火柴棒，使它成立。

分析 左边的结果是90，右边是96，相差6，将15改为16，结果就增加了6，正好相等。
解

例 4 下面方格里的数字，都是用火柴棒组成的。请你移动其中的1根火柴，使每一横行和竖行里的数字相加的和都相等。

分析 3个横行的数字和分别是10，16，10，3个竖行的数字和分别是8，1810，相等的和上10，那么肯定要将第2行的前两个数字进行调整。、

小结 用火柴棒拼成算式，要根据火柴棒组成的数的特点和算式的特点来做。我们可以根据算式中给出的数的特点，从火柴棒排成的数字拿走或添上火柴棒，变成另一个数，或改变一个运算符号，就可以使算式成立。
趣味数学（5）火柴棒问题之二
在上一讲我们学习了用火柴棒来摆数学算式，从中也发现了很多规律和乐趣，这讲我们又来学学用火柴棒来摆摆各种图形。如果拿掉或者移动火柴，就可以变成其他图形，非常有趣。我们一起来试一试。
典型例题
例[1] 用6根火柴，照右图摆成1个三角形。
要把这个三角形变成六角形，只准移动4根火柴，
应该怎样移动？
①
②
③
④
①
②
③
④
分析 下图中三角形的每条边上有两根火柴棒，要将三角形变成六边形，每边上只能有1根火柴棒，所以应该这样移动：

例[2] 请你只移动3根火柴把3个三角形变成5个三角形。

分析 3个三角形用了9根火柴，要变成5个三角形，需要用到15根火柴，这样少了6根火柴。因此，变成的三角形中一定要使6根火柴重复使用。
解 可以这样移动：
①
②
③
①
②
③

例[3] 用24根火柴棒能组成右边的图形。拿掉几根火柴棒可以变成新的图形。

（1）拿掉8根火柴，使它只留下2个正方形。
1

（2）拿掉6根火柴，使它只留下3个正方形。
2

例[4] 右图是由4个小正方形组成的正方形。现在要移动3根火柴，使它变成3个相等的正方形，应该怎样移动？

分析 可以这样想：4个小正方形一共有12根火柴棒组成，要使它变成3个相等的正方形，那么每个正方形就应该有4根火柴棒组成，并且没有重复。
解 见右图。

小结 从给出的火柴棒组成的图形中拿掉几根火柴，变成新的图形。如果图形变少了，我们可以直接拿掉多余的几根火柴；如果图形增加了，我们要考虑让火柴重复使用，这样可以增加图形的个数。
练习：
1．有3个正方形都是由8根火柴组成。现在只有把这3个正方形的位置变化一下，就可以多出4个小正方形。应该如何移动？

2．用9根火柴，怎样摆放，才能摆出6个正方形来？

3．下图是用18根火柴组成的6个相等的正方形，拿掉其中的2根火柴，使它留下4个同样的正方形。

4．下图是由15根火柴组成的图形。请你移动2根火柴，使它变成5个同样的正方形。

解答：
1． 2。

3． 4。

趣味数学（6）拼拼摆摆
知识要点：用火柴棒可以拼搭成各种有趣的图形，这些图形随着火柴棒的移动、增减，会发出意想不到的变化，这类游戏非常有趣、益智，你也来试试看。
[ 例1 ]  搭一个三角形要用3根火柴，你能用5根火柴搭出两个三角形吗？
分析：搭一个三角形要用3根火柴，那么搭两个三角形要用6根火柴，现在只有5根火柴，少了一根，那么应把两个三角形搭在一起，如图：

[ 例2 ]  用12根火柴摆成一个田字形：

（1） 拿去两根火柴棒，变成两个正方形；
（2） 移动三根火柴棒，变成三个正方形。
分析：（1）原来12根火柴棒，拿走两根后剩10根火柴棒，不可能拼成大小相同的两个正方形，只能是一大一小。只要保留外边的大正方形，拿去里面2根，使里面四个正方形变成1个就可以了。如图：

（2）移动三根火柴棒，那么总根数仍然是12根，12根组成3个正方形，每个正方形4根火柴棒，只移动3根，原来就有一根不变，把另3根和它组成正方形即可。如图：

[ 例3 ]  下图是用 8 根火柴棒摆成的一条鱼，请你移动 3根火柴，使鱼头向右，应该怎样移动？

分析：要把鱼头朝右，需要把左边的“鱼头”拆掉，变成“鱼尾”。如果简单的去掉“鱼头”的两根火柴，3根火柴不够用，因此必须保持一根火柴不变，可这样移动：

[ 例4 ]  用火柴棒搭成小猪图，你能移动火柴棒使猪头、猪尾正好换一个方向吗？你移动了几根火柴棒？

分析：要把猪头朝右，需要把左边的“猪头”拆掉，变成“猪尾”。为了使火柴棒的根数最少，可移动猪头下面的一根，变成猪尾。

[ 例5 ]  左边是用6根火柴排成的金字塔，右边是用6根火柴排成的倒立的金字塔，能不能只移动2 根火柴棍，就把左边的金字塔变成右边的倒立的金安塔？

分析：我们发现第二排是一样的，不同的是第一排和第三排，要想只移动2根，我们就把第一排两边的两根移到第三排去，如图：

趣味数学（7）算得快的奥妙
  计算是数学的基础，在计算中，我们既要做到正确合理，还要做到快速、巧妙。这样不仅能节省时间，还能提高分析问题的能力，促进智力发展。首先，我们来学习加、减法中的一些简便运算的方法。

        用简便方法计算下面各题：
（1）       9898＋203；
（2）       1302－（308－149）；
（3）  （4256+125+825）－256。
           可以这样想：
    加减法简便运算的基本思路是“凑整”，即将能通过加减运算后得到整十、整百、整千……的数，先运用性质计算它们的结果。
（1） 9898＋203＝9898＋102＋101

＝1000＋101＝10101

（2） 1308－（308－149）

       ＝1308－308＋149

＝1000＋149＝1149

（3）（4256＋125＋825）－256

＝（4256－256）＋（125＋825）
  ＝  4000＋950
＝4950
        拍脑袋提醒:
    遇到这类题目，我们首先应该想到的就是能否通过拆数、先算某个部分等加减运算方法来得到整十、整百、整千……的数。

         用简便方法计算下面各题：
    （1）9＋99＋999＋9999＋99999；
    （2）1－2＋3－4＋5－6＋...-1992+1993。
   可以这样想：
     (1)  在涉及所有数字都是9的计算中，常使用“添1  凑整法”。如将999看成（1000－1）去计算。这是小学数学中常用的一种计算技巧。
            9＋99＋999＋9999＋99999
   ＝（10－1）＋（100－1）＋（1000－1）＋ （10000－1）＋（100000－1）
   ＝10＋100＋1000＋10000＋100000－5
   ＝111110－5＝111105
       （2）通过观察可以发现：这个算式的加号和减号是间隔出现。所以，我们可以将除1以外的所有数，每两个数分为一组，而每组的结果都是1。
         1－2＋3－4＋5－6＋......+1991-1992+1993
      =1+(3-2)+(5-4)+(7-6)+......+(1991-1990)+(1993-1992)
      =1+1×996
=997

趣味数学（8）复杂年龄问题
年龄问题是日常生活中一种常见的问题。例如：已知两个人或若干人的年龄，求他们年龄之间的某种数量关系等等。要正确解答这类题，首先要明白：两个不同年龄的人，年龄之差始终不变。所以我们要抓住“年龄差不变”这个特点，运用“和差”、“差倍”等知识来分析解答有关年龄方面的问题。
典型例题
例[1] 爸爸、妈妈今年的年龄和是82岁。5年后爸爸比妈妈大6岁。今年爸爸、妈妈两人各多少岁？
分析 5年后，爸爸比妈妈大6岁，即爸爸、妈妈的年龄差是6岁，它是一个不变量。因此，爸爸、妈妈现在的年龄差仍然是6岁。这样原问题就归结为“已知爸爸、妈妈的年龄和是82岁，他们的年龄差是6岁，求两人各是几岁”的和差问题。
解 爸爸年龄：（82＋6）÷2=44（岁）
妈妈年龄：44－6=38（岁）
答：爸爸的年龄是44岁，妈妈的年龄是38岁。

例[2] 小红今年7岁，妈妈今年35岁。小红几岁时，妈妈的年龄正好是小红的3倍？
分析 无论小红多少岁时，妈妈的年龄都比小红大（35－7）岁。所以当妈妈的年龄是小红的3倍时，也就是妈妈年龄比小红大（3－1）倍时，妈妈仍比小红大（35－7）岁，这个差是不变的。由这个（35－7）岁的差和对应的这个（3－1）倍，就可以算出小红的年龄，即差倍问题中的差÷（倍数－1）=较小数。
解 妈妈现在比小红大的岁数：
35－7=28（岁）
妈妈年龄是小红的3倍时，比小红大的倍数是：
3－1=2（倍）
妈妈年龄是小红的3倍时，小红的年龄是：
28÷2=14（岁）
答：小红14岁时，妈妈年龄正好是小红的3倍。

例[3] 6年前，母亲的年龄是儿子的5倍。6年后母子年龄和是78岁。问：母亲今年多少岁？
分析 6年后母子年龄和是78岁，可以求出母子今年年龄和是78－6×2=66（岁）。6 年前母子年龄和是66－6×2=54（岁）。又根据6年前母子年龄和与母亲年龄是儿子的5倍，可以求出6年前母亲年龄，再求出母亲今年的年龄。
解 母子今年年龄和：78－6×2=66（岁）
母子6年前年龄和：66－6×2=54（岁）
母亲6年前的年龄：54÷（5＋1）×5=45（岁）
母亲今年的年龄：45＋6=51（岁）
答：母亲今年是51岁。

例[4] 小强今年13岁，小军今年9岁。当两人的年龄和是40岁时，两个各是多少岁？
分析 小强和小军的年龄差为13－9=4（岁），这是一个不变量。当两人的年龄和40岁里减去一个两人的年龄差（4岁），这是一个不变量。当两人的年龄和是40岁时，小强比小军还是大4岁。
如果从两人的年龄和40岁里减去一个两人的年龄差（4岁）可，得到的就是两个小军的年龄，由此可求出小军的年龄。再由小军的年龄求出小强的年龄。
解法一 小强比小军大的年龄：13－9=4（岁）
当两人的年龄和是40岁时，小军年龄的2倍是：
40－4=36（岁）
当两人的年龄和是40岁时，小军的年龄是：
36÷2=18（岁）
小强的年龄是：
40－18=22（岁）

解法二 如果给两人的年龄和40岁再加上两人的年龄差4岁，将得到小强年龄的2倍，由此可以求出小强的年龄以及小军的年龄。
小强和小军的年龄差：13－9=4（岁）
小强年龄的2倍：40＋4=44（岁）
当两人的年龄是40岁时，小强的年龄：44÷2=22（岁）
当两人的年龄和是40岁时，小军的年龄：40－22=18（岁）
答：小强小军的年龄分别是22岁、18岁。

例[5] 甲、乙两人的年龄和正好是100岁。当甲像乙现在这样大时，乙的年龄正好是甲年龄的一半。甲、乙两人今年各多少岁？
分析 由“乙的年龄正好是甲年龄的一半”可知：甲、乙两人的年龄如下图所示：
乙
甲

再结合“当甲像乙现在这样大时，乙的年龄正好是甲年龄的一半”可推出，甲的年龄要和乙现在的年龄相等，甲要减少几岁，乙要增加相同的岁数，且这个年龄相当于乙的1倍，这样甲、乙两人的年龄关系为：
乙
甲
1倍
1倍
1倍
2倍
100岁

从上图可以看出：现在乙的年龄如果有2份，甲的年龄就有这样的3份，甲、乙两人的年龄共有2＋2＋1=5（份）。5份对应着两人的年龄和100岁。这样就很容易求出甲、乙两人各自的年龄。
解 甲、乙两人年龄的份数和是多少？
2＋2＋1=5（份）
每份是多少？
100÷5=20（岁）
乙的年龄是多少岁？
20×2=40（岁）
甲的年龄是多少岁？
20×（2＋1）=60（岁）
综合算式是：100÷（2＋2＋1）×2=40（岁）
100÷（2＋2＋1）×（2＋1）=60（岁）
答：甲今年60岁，乙今年40岁。
小结 年龄问题的主要特点是：大小年龄差是个不变的量，而年龄的倍数却年年不同。我们可以抓住“差不变”这个特点，再根据大小年龄之间的倍数关系与年龄之和等条件解答这类应用题。
解答年龄问题的一般方法是：
几年后年龄=大小年龄差÷倍数差-小年龄
几年前年龄=小年龄－大小年龄差÷倍数差
趣味数学（9）新定义运算
小朋友们，你们见过除了＋、－、×、÷这些运算符号之外的其他运算符号吗？在这一讲里，我们会一起来看看很多有趣的运算符号。
定义新运算是用某些特殊的符号，表示特定的意义，从而解答某些特殊算式的运算。在定义新运算中的※，〇，△……与＋、－、×、÷是有严格区别的。解答定义新运算问题，必须先理解先定义的含义，遵循新定义的关系式把问题转化为一般的＋、－、×、÷运算问题。
典型例题
例【1】 若A*B表示（A＋3B）×（A＋B），求5*7的值。
分析 A*B是这样结果这样计算出来：先计算A＋3B的结果，再计算A＋B的结果，最后两个结果求乘积。
解 由A*B＝（A＋3B）×（A＋B）
可知：5*7＝（5＋3×7）×（5＋7）
＝（5＋21）×12
＝26×12
＝312

例【2】 定义新运算为a△b＝（a＋1）÷b，求的值。6△（3△4）
分析 所求算式是两重运算，先计算括号，所得结果再计算。
解 由a△b＝（a＋1）÷b得，3△4＝（3＋1）÷4＝4÷4＝1
6△（3△4）
＝6△1
＝（6＋1）÷1
＝7

例【3】 对于数a、b、c、d，规定，< a、b、c、d >＝2ab－c＋d，已知< 1、3、5、x >＝7，求x的值。
分析 根据新定义的算式，列出关于x的等式，解出x即可。
解 将1、3、5、x代入新定义的运算得：2×1×3－5＋x＝1＋x，又根据已知< 1、3、5、x >＝7，故1＋x＝7，x＝6。
例【4】 规定：符号“&”为选择两数中较大数的运算，“◎”为选择两数中较小数的运算。计算下式：[（7◎3）& 5]×[ 5◎（3 & 7）]
分析 新定义运算进行计算时如果遇到有括号的，要先计算小括号里的，再计算中括号里的。
解 [（7◎6）& 5]×[ 5◎（3 & 9）]
＝[ 6 & 5] ×[ 5◎9 ]
＝6×5
＝30

例【5】 如果1※2＝1＋11
2※3＝2＋22＋222
3※4＝3＋33＋333＋333＋3333
计算：（3※2）×5。
分析 通过观察发现：a※b中的b表示加数的个数，每个加数数位上的数字都由a组成，都由一个数位，依次增加到b个数位。
解 （5※3）×5。
＝（5＋55＋555）×5
＝3075

小结
解决新定义运算问题，首先理解新定义符号的含义，严格按新的规则操作，在操作过程中，不能按原来＋、－、×、÷运算法则合并使用，但可以根据不同的定义归纳出相对应的运算规律，因此解决新定义问题的关键是同学们对问题的理解及适应能力。

趣味数学（10）合理分组
知识要点：小朋友们已学习了加、减运算。有些题目，已经列好算式，要求你把所给的几个数合理分组，填入式子中，使等式成立。解这类题目，小朋友要仔细观察，找出题中的规律，并能大胆进行尝试。
[ 例1 ]  把2、3、4、5分别填入□中，（每个数只能用一次）： □＋□－□=□
分析：根据2+5=3+4，可以有以下几种填法：
2+5-3=4； 3+4-5=2；
2+5-4=3； 3+4-2=5；
5+2-3=4； 4+3-5=2；
5+2-4=3； 4+3-2=5.
[ 例2 ] 把2、6、7、8、9和14分别填入括号中，（每个数只能用一次），使两个算式都成立：
①（ ）+ （ ）=（ ）；
②（ ）－（ ）=（ ）.
分析：通过观察，发现2、6、7、8、9和14这六个数可以分成下面两组:第一组:2、7、9；第二组:6、8、14 .每一组中,最大的数等于其余两个数的和,因此, 根据加、减法之间的关系，有以下4种填法：
⑴①（ 2 ）+ （ 7 ）=（ 9 ）；
②（14 ）－（ 6 ）=（ 8 ）.
⑵①（ 7 ）+ （ 2 ）=（ 9 ）；
②（14 ）－（ 8 ）=（ 6 ）.
⑶①（ 6 ）+ （ 8 ）=（14 ）；
②（ 9 ）－（ 2 ）=（ 7 ）.
⑷①（ 8 ）+ （ 6 ）=（14 ）；
②（ 9 ）－（ 7 ）=（ 2 ）
[ 例3 ] 在1、2、3、4、5之间添上加号（相邻的两个数字可以组成一个数），使他们的和等于60。
分析：我们发现要想得到60，这里最大的两个数是4、5，合起来是45，再添上15等于60，剩下1、2、3之间只有12＋3=15，因此答案是：12＋3＋45=60。
3
5
6
11
1
8
12
2
4
7
9
10
[ 例4 ] 请你把下面钟面用两条直线分成三份，使每份数相加的和都相等：

3
5
6
11
1
8
12
2
4
7
9
10
分析：我们发现钟面上1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12排列有规律：1+12=2+11=3+10=4+9=5+8=6+7。这12个数可以分成下面三组:第一组:1、2、11、12；第二组:3、4、9、10 ；第三组:5、6、7、8 。

[ 例5 ] 把01、2、3、7、8、9分别填入□中，使算式成立：
□＋□=□□－□=□□
分析：通过观察，发现要想得到一个两位数，有可能是12、13、17、18、19。0、1、2、3、7、8、9这7个数中，要想两数相加得13、18、19不可能，那么只剩下9＋3=12，8＋9=17。如果9＋3=12，剩下0、7、8不可能组成一个两位数减一位数等于12的算式。如果8＋9=17，剩下0、2、3刚好组成20－3=17。因此：8＋9=20－3=17。
趣味数学（11）植树问题
小军家住在5楼，每上1层楼梯要1分钟。他从1楼走到5楼要用几分钟呢？
如果你的答案是5分钟就错了，正确的答案应该是3分钟，为什么？
这就是我们这一讲所要解决的问题——间隔、分段问题，具体来说包括有楼梯问题、植树问题等等。
典型例题
例[1] 把1根木头锯断，要2分钟。把这根木头锯成4段，要几分钟？
分析 这样想：把1根木头锯断，也就是锯1次要用2分钟。而把这根木头锯成4段，需要锯几次？

只要锯3次，也就是需要3个2分钟。
解 2×（4－1）=6（分）
答：锯成4段，需要6分钟。

例[2] 某人到一座高层楼的8楼去办事，不巧停电，电梯停开。他从1楼走到4楼用了48秒。用同样的速度走到8楼，还要多长时间？
1
2
3
4
5
6
7
8
48秒

分析

可以先求出上1层楼梯要多少秒，从图中知道，48秒上了3层楼梯，上1层楼梯用的时间是48÷（4－1）=16（秒）。
再求出从4楼到8楼用的时间，从图中也可以知道，要上4层楼梯，也就是4个16秒。
解 48÷（4－1）=16（秒）
16×（8－4）=64（秒）
答：还要64秒。

例[3] 时钟4点钟敲4下，用12秒敲完。那么6电钟敲6下，几秒钟敲完？
第1下
第２下
第３下
第４下
第５下
第６下
１２秒
分析

时钟敲４下，经过了３个时间间隔，每个时间间隔是１２÷（４－１）＝４（秒）。
解　　１２÷（４－１）＝４（秒）
　　　　 ４×（６－１）＝２０（秒）
答：２０秒敲完。
例［４］　　同学们上体育课，有１０个男生排成一排，相临两个男生相隔１米。问这排男生排列的长度有多少米？
分析　　１０个男生排成一排，有几个间隔？和前面一样，应有９个间隔，也就是９个１米。
解　　１×（１０－１）＝９（米）
答：这排男生排列的长度排有９米。
１０米
１００米
例［５］　　有一条路长１００米。在路的一侧从头到尾每隔１０米栽一棵树。共栽多少棵树？
分析　　
以１０米为一段，１００米可以分成１０段。由于头尾都栽，所以栽的棵树比分成的段数多１。
解　　１００÷１０＋１＝１１（棵）
答：共栽１１棵树。
例［６］　　一个圆形的花坛，周长是１８０米。每隔６米种芍药花，每相临两棵芍药花之间种两棵月季花。可以栽多少棵芍药花？多少棵月季花？
分析 1. 花坛的一周以6米为一段，可以分成180÷6=30（段）。由于是圆形，首尾两棵重合，所以段数=棵树，也就是种30棵芍药花。
2．每两棵芍药花之间种两棵月季花，也就是每段里有2棵月季花，30段就有30个两棵。
解 芍药花的棵树：180÷6=30（棵）
月季花的棵树：2×30=60（棵）
答：可以栽30棵芍药花、60棵月季花。
小结 解上楼梯问题就是考虑有几个间隔（或几次），解植树问题就是考虑有几段。
一、 锯木头的时间、排队伍的长度、时钟敲的时间等，实际上都是上楼梯问题，就是台阶总数=每层楼梯的台阶数（所达到的层数－起点的层数）。
二、 解植树问题就要弄清有几段。如：100米的长度，每10米载一棵树，就分成10段。如果排成一排，栽的棵树=段数＋1，即100÷10＋1=11（棵）。如果围城圆形，栽的棵树=段数，即100÷10=10（棵）。

趣味数学（12）数图形
晚饭过后，妈妈给小小出了一道“试眼力”的题目：数数窗户上一共有多少个正方形。小小一看，立即回答：“窗户上一共有6个正方形。”妈妈笑了，爸爸在一旁也笑了，小小给弄了个“丈二和尚莫不着头脑”。小朋友，你知道小小的爸爸妈妈为什么笑吗？小小数得难道不对吗？如果不对，那么窗户上究竟有几个正方形呢？下面我们就一起来研究数图形的问题。

典型例题
例【1】 下图中有多少条线段？

分析 我们把图中的线段AB、BC、CD、DE看作是基本线段，那么：由1条基本线段构成的线段有AB、BC、CD、DE 4条；
由2条基本线段构成的线段有AC、BD、CE 3条；
由3条基本线段构成的线段有AD、BE 2条；
由4条基本线段构成的线段有AE 1条。

另外，我们还可以从线段的两个端点出发去数：
以A为左端点的线段有AB、AC、AD、AE 4条；
以B为左端点的线段有BC、BD、BE 3条；
以C为左端点的线段有CD、CE 2条；
以D为左端点的线段有DE 1条。

解 4＋3＋2＋1＝10（条）
所以图中有10条线段。

例【2】 下面图形中有几个角？

分析 我们把图中的 ∠AOB、 ∠ BOC、 ∠COD看作基本角，那么：
由1个基本角构成的角有 ∠AOB、 ∠BOC、 ∠ COD 3个；
由2个基本角构成的角有 ∠AOC、 ∠BOD 2个；
由3个基本角构成的角有 ∠ AOD 1个。

我们也可以从角的两条边出发来数：
以OA为一边的角有 ∠AOB、 ∠ AOC、 ∠AOD 3个；
以OB为一边的角有 ∠BOC、 ∠BOD 2个；
以OC为一边的角有 ∠ COD 1个。

解 3＋2＋1＝6（个）
所以图中有6个角。

例【3】 下图中共有多少个三角形？

分析 我们把图中 △ABC、 △ACD、 △ ADE看作基本三角形，那么：
由1个基本三角形构成的三角形有 △ABC、 △ ACD、 △ ADE；
由2个基本三角形构成的三角形有 △ ABD、 △ ACE；
由3个基本三角形构成的三角形有 △ ABE。

解 3＋2＋1＝6（个）
所以图中有6个三角形。

例【4】 下图中有多少个正方形？

分析 我们把最短的一条线段如AB看作基本线段