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二次函数
一、课标下复习指南
1．二次函数
如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．
几种特殊的二次函数：y＝ax2(a≠0)；y＝ax2＋c(ac≠0)；y＝ax2＋bx(ab≠0)；y＝a(x－h)2(a≠0)．
2．二次函数的图象
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象是对称轴平行于y轴的一条抛物线．
由y＝ax2(a≠0)的图象，通过平移可得到y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象．
3．二次函数的性质
二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质对应在它的图象上，有如下性质：
(1)抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是，对称轴是直线，顶点必在对称轴上；
(2)若a＞0，抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向上，因此，对于抛物线上的任意一点(x，y)，当x＜时，y随x的增大而减小；当x＞时，y随x的增大而增大；当x＝，y有最小值；
若a＜0，抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，因此，对于抛物线上的任意一点(x，y)，当x＜，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小；当x＝时，y有最大值；
(3)抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴的交点为(0，c)；
(4)在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，令y＝0可得到抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的情况：
当D＝b2－4ac＞0，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有两个不同的公共点，它们的坐标分别是和，这两点的距离为；当D＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴只有一个公共点，即为此抛物线的顶点；当D＜0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴没有公共点．
4．抛物线的平移
抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2形状相同，位置不同．把抛物线y＝ax2向上(下)、向左(右)平移，可以得到抛物线y＝a(x－h)2＋k．平移的方向、距离要根据h、k的值来决定．
二、例题分析
例1 用一根6米长的铁丝弯成一个矩形，设矩形一边长为x(米)，矩形面积为y(米2)，写出y关于x的函数解析式及自变量x的取值范围，并画出函数图象．
解 ∵矩形一边长x米，周长6米，
∴矩形另一边长为(3－x)米．
∴矩形面积y关于x的函数解析式为y＝x(3－x)即y＝－x2＋3x(0＜x＜3)．
(函数图象如图8－1)

图8－1
注意 列表时，应在自变量取值范围内取点，并且尽量取关键点，如图象的端点、与坐标轴的交点、顶点等，以使图象尽量准确．
例2 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c符合下列条件，求它的解析式：
(1)图象经过三点(1，4)，(－1，－1)，(2，－1)；
(2)顶点是(2，1)，并且经过点(3，)；
(3)顶点在y轴上，最大值是4，并且经过点(1，3)；
(4)顶点在x轴上，对称轴x＝1，并且经过点(2，2)；
(5)对称轴是x＝2，并且经过点(0，－3)，(3，0)；
(6)与x轴的交点坐标为(1，0)，(2，0)，且经过点(3，6)；
(7)图象经过点(－1，8)，对称轴是直线x＋2＝0，并且在x轴截得的线段长为6．
解 (1)解得

说明 还可以由点的坐标之间的关系发现(－1，－1)与(2，－1)两点关于抛物线的对称轴对称，因此对称轴方程是直线．抛物线的对称性有时非常有用．
(2)设y＝a(x－2)2＋1(a≠0)．
∵抛物线经过点

(3)由题意知顶点坐标为(0，4)．
设y＝ax2＋4(a≠0)．
∵抛物线经过点(1，3)，∴a＝－1．
∴y＝－x2＋4．
(4)由题意知顶点坐标为(1，0)．
设y＝a(x－1)2(a≠0)．
∵抛物线经过点(2，2)，∴a＝2．
∴y＝2x2－4x＋2．
(5)由抛物线的对称性可知它经过(1，0)点．
∵可设y＝a(x－1)(x－3)，
由抛物线过(0，－3)点得a＝－1．
∴y＝－x2＋4x－3．
(6)∵抛物线与x轴交于(1，0)，(2，0)两点，
∴设y＝a(x－1)(x－2)(a≠0)．
由抛物线经过(3，6)点得到a＝3．
∴y＝3x2－9x＋6．
(7)∵抛物线与x轴的两交点关于对称轴x＝－2对称，
∴两交点分别为(－5，0)，(1，0)．
设y＝a(x＋5)(x－1)．
由抛物线过点(－18)可得a＝－1．
∴y＝－x2－4x＋5．
说明 根据条件灵活选择抛物线的三种表达形式：一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，顶点式y＝a(x＋m)2＋n(a≠0)，或双根式y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)有助于简化计算过程．
例3 (1)已知函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图8－2所示，且P＝|a－b＋c|＋|2a＋b|，Q＝|a＋b＋c|＋|2a－b|，则P，Q的大小关系为______；

图8－2
(2)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图8－3所示，有下列5个结论：

图8－3
①abc＞0；②b＜a＋c；③4a＋2b＋c＞0；
④2c＜3b；⑤a＋b＞m(am＋b)(m≠1)，
其中正确的结论有( )．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
解 (1)p＜Q由图8－2知a＜0，b＞0，c＝0，．当x＝1时，y＝a＋b＞0．
∴P＝a＋2b，Q＝2b－a．∴P＜Q．
(2)应选B．由图8－3知a＜0，b＞0，c＞0，，当x＝－1时，y＝a－b＋c＜0，当x＝2时，y＝4a＋2b＋c＞0．
∴①②错误，③正确．
∵a－b＋c＜0，又∵b＝－2a∴．
，∴2c＜3b．
∴④正确．
∵b＝－2a，∴a＋b＝－a，
m(am＋b)＝a(m2－2m)．
a＋b－m(am＋b)＝－a(m－1)2．
∵m≠1，∴－a(m－1)＞0．
∴⑤正确．
说明 注意观察二次函数的图象可以得到隐含信息，如开口方向、对称轴顶点、与坐标轴的公共点以及所给出的特殊点与图象的关系等．
例4 若|x－1|≤3，则关于y＝－x2＋2x－1的最值说法正确的是( )．
A．最大值是0，无最小值
B．最小值是－9，最大值是0
C．无最大值，最小值是－9
D．无最大值，也无最小值
解 ∵|x－1|≤3，∴－3≤x－1≤3．
∴－2≤x≤4．
∵y＝－x2＋2x－1＝－(x－1)2，
当x＝－2时，y＝－9，当x＝4时，y＝－9．由图8－4可知－9≤y≤0．

图8－4
∴应选B．

例5 若二次函数y＝kx2－7x－7的图象与x轴有公共点，则k的取值范围是( )
A． B．且k≠0
C． D．且k≠0
解 令y＝0，则kx2－7x－7＝0．
由题意知一元二次方程kx2－7x－7＝0有实根．
且k≠0．
∴应选择D．
说明 抛物线与坐标轴的交点问题要注意：
①方程类型．
②一元二次方程两根相等抛物线与x轴有一个公共点；
一元二次方程两根不等抛物线与x轴有两个公共点；
一元二次方程无实根抛物线与x轴无公共点．
例6 两个不同的二次函数y＝x2＋kx＋1与y＝x2－x－k的图象相交，若有一个交点在x轴上，则k的值为( )．
A．0 B．－1 C．2 D．
解 由题意知x2＋kx＋1＝0与x2－x－k＝0有一个公共解，不妨设为a，则有

整理得(k＋1)(a＋1)＝0．
∵k≠－1，∴a＝－1，∴k＝2．
∴应选择C．
例7 (1)已知抛物线y＝－2x2＋8x－8，其顶点坐标为______，以其顶点为中心，旋转180°所得抛物线的解析式是______，若继续上下平移，使它与直线y＝2x－4相交于(0，a)，则a＝______，平移后，所得抛物线的解析式是______；
(2)抛物线y＝ax2＋bx＋c如图8－5所示．

图8－5
①它关于y轴对称的抛物线的解析式为____________；
②它关于x轴对称的抛物线的解析式为____________；
③它关于直线x＝4对称的抛物线的解析式为____________；
④它关于直线y＝－2对称的抛物线的解析式为____________．
(1)(2，0)，
y＝2x2－8x＋8，a＝－4，y＝2x2－8x－4；
(2)可先求出图8－5中抛物线为y＝x2－4x＋3．
①y＝x2＋4x＋3；②y＝－x2＋4x－3；
③y＝x2－12x＋35；
④y＝－x2＋4x－7．
说明 方法一：对于抛物线的图形变换基本方法是转化为关键点的变换，尤其是顶点、与坐标轴的交点；另外也可利用图形变换前后图形全等，因而|a|是不变的，来寻求解决方法．
方法二：若设所求抛物线上任一点P的坐标为(x，y)，则它关于y轴的对称点为P1(－x，y)，关于x轴的对称点为P2(x，－y)，关于直线x＝4的对称点为P3(8－x，y)，关于直线y＝2的对称点为P4(x，－4－y)，P1，P2，P3，P4分别在原抛物线上，将它们的坐标分别代入原抛物线的解析式，整理后得到所求抛物线的解析式．
例8 如图8－6，二次函数y＝＋m(m＜4)的图象与x轴相交于点A，B两点．

图8－6
(1)求A，B两点的坐标(可用含字母m的代数式表示)；
(2)如果这个二次函数的图象与反比例函数y的图象相交于点C，且∠BAC的正弦值为，求这个二次函数的解析式．
解 (1)令y＝0，则

∴x2＋(m＋4)x＋4m＝0．
整理，得(x＋m)(x＋4)＝0．
解 得x＝－m或－4．
∵m＜4，∴－m＞－4．
∵点A在点B左侧，
∴A(－4，0)，B(－m，0)．
(2)过C作CD⊥x轴于D，则∠CDA＝90°．
∵，设AC＝5k，则 CD＝3k．
∵AC2＝CD2＋AD2，∴AD＝4k．
∵A(－4，0)，∴OA＝4，OD＝4k－4．
∵C点在第一象限，∴C(4k－4，3k)．
∵C点在双曲线上，
∴3k(4k－4)＝9．
或(∵k＞0，舍去)
．

例9 已知二次函数y＝－x2＋(2m＋2)x－(m2＋4m－3)，m为不小于0的整数，它的图象与x轴交于A点和B点，点A在原点的左边，点B在原点的右边．
(1)求二次函数的解析式；
(2)若一次函数y＝kx＋b的图象经过点A，并与这个二次函数的图象交于点C，S△ABC＝10，求一次函数的解析式．
解 (1)∵抛物线与x轴交于A，B两点，
令y＝0，则－x2＋(2m＋2)x－(m2＋4m－3)＝0．
∵此方程有两个不等实根，D＝－8(m－2)＞0，
∴D＞0，m＜2．
又∵m是不小于0的整数，∴m＝0，1．
当m＝0时，y＝－x2＋2x＋3．
令y＝0，则x1＝－1，x2＝3．
∵A在原点左侧，B在原点右侧，
∴A(－1，0)，B(3，0)．
当m＝1时，y＝－x2＋4x－2．
令y＝0，则
∴不符合题意，舍去．
∴y＝－x2＋2x＋3．
(2)过C作CD⊥AB于D．(见图8－7)

图8－7
∵A(－1，0)，B(3，0)，∴AB＝4．
∵S△ABC＝10，∴CD＝5．
∴C点的纵坐标为±5．
∵顶点(1，4)，∴C点的纵坐标为－5．
当y＝－5时，－x2＋2x＋3＝－5．
∴x1＝－2，x2＝4．
∴C(－2，－5)，C(4，－5)．
可得直线AC的解析式为y＝5x＋5或y＝－x－1．
思考 若过点A的直线与抛物线有且只有一个公共点，如何求直线解析式?
解 见图8－8，情况①当直线与x轴垂直时，为x＝－1；

图8－8
情况②当直线不与x轴垂直时，设直线的解析式为y＝kx＋b．
∵A(－1，0)，
∴－k＋b＝0，
∴k＝b，y＝kx＋k．

∴x2＋(k－2)x＋k－3＝0．
当D＝0时，有一个公共点．
∴k＝4，∴y＝4x＋4．
综上所述，直线的解析式为x＝－1或y＝4x＋4．
例10 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴交于点A(0，3)，与x轴分别交于B(1，0)，C(5，0)两点．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若点D为线段OA的一个三等分点，求直线DC的解析式；
(3)若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点(设为点E)，再到达抛物线的对称轴上的某点(设点为F)，最后沿直线运动到点A求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长．
解 (1)∵抛物线与x轴分别交于(1，0)，(5，0)两点，
∴可设抛物线解析式为y＝a(x－1)(x－5)(a≠0)．
又∵抛物线与y轴交于(0，3)点，

(2)∵A(0，3)，∴OA＝3．
∵D是OA的一个三等分点，∴DO＝1或2．
∵D在y轴的正半轴上，∴D(0，1)或(0，2)．
当D(0，1)时，设CD的解析式为y＝k1x＋b1(k1≠0)
解得

当D(0，2)时，同理可得
综上所述，直线CD的解析式为或
(3)如图8－9所示，

图8－9
作点M关于x轴的对称点M′．
作A关于对称轴直线x＝3的对称点A′．
连接A′M′交x轴于E，交直线x＝3于F，
则E，F即为所求．
∵M，M＇关于x轴对称，∴ME＝M＇E．
同理AF＝A′F．
∴ME＋EF＋AF＝M′E＋EF＋A′F＝A′M′．
∵M是OA的中点，OA＝3，

∵A(0，3)，∴A′(6，3)．
由勾股定理得
设直线A′M′的解析式为y＝kx＋b(k≠0)．
解得

令y＝0，则
∴x＝2，E(2，0)．
令x＝3，则

综上所述，总路径最短为，此时E(2，0)，F
三、课标下新题展示
例11 (2009长沙)如图8－10，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．连接AC，BC，A，C两点的坐标分别为A(－3，0)，，且当x＝－4和x＝2时二次函数的值y相等．

图8－10
(1)求实数a，b，c的值；
(2)若点M，N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA，BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t秒时，连接MN，将△BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，求t的值及点P的坐标；
(3)在(2)的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q，使得以B，N，Q为顶点的三角形与△ABC相似?如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
解 (1)由题意，得
解得
(2)由(1)得．
当y＝0时，x＝－3或1．
∴B(1，0)，A(－3，0)，．
∴OA＝3，OB＝1，．
可得
∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，∠A＝30°，∠B＝60°．
又由BM＝BN＝PN＝PM知四边形PMBN为菱形．
∴PN∥AB．即

过点P作PE⊥AB于E．
在Rt△PEM中，∠PME＝∠B＝60°，PM＝．

又，故OE＝1．

(3)由(1)、(2)知抛物线的对称轴为直线x＝－1，且∠ACB＝90°．

①若∠BQN＝90°，
∵BN的中点到对称轴的距离大于1，
而
∴以BN为直径的圆不与对称轴相交，
∴∠BQN≠90°，
即此时不存在符合条件的Q点．
②若∠BNQ＝90°，
当∠NBQ＝60°时，Q，E重合，此时∠BNQ≠90°；
当∠NBQ＝30°时，Q，P重合，此时∠BNQ≠90°．
即此时不存在符合条件的Q点．
③若∠QBN＝90°时，延长NM交对称轴于点Q，此时，Q为P关于x轴的对称点．
为所求．
例12 (2009广州)如图8－11，二次函数y＝x2＋px＋q(p＜0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C(0，－1)，△ABC的面积为

图8－11
(1)求该二次函数的解析式；
(2)过y轴上的一点M(0，m)作y轴的垂线，若该垂线与△ABC的外接圆有公共点，求m的取值范围；
(3)在该二次函数的图象上是否存在点D，使四边形ACBD为直角梯形?若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
解 (1)设点A(x1，0)，B(x2，0)，其中x1＜x2．
∵抛物线y＝x2＋px＋q过点C(0，－1)，
∴q＝－1，y＝x2＋px－1．
∵抛物线y＝x2＋px－1与x轴交于A，B两点，令y＝0，
设x1，x2是方程x2＋px－1＝0的两根，
则
又∵S△ABC

解 得 (∵p＜0，∴舍去正值)．

(2)令，解得

∴∠ACB＝90°，△ABC是直角三角形．
∴Rt△ABC的外接圆的圆心是斜边AB的中点，且Rt△ABC的外接圆的半径
∵垂线与△ABC的外接圆有公共点，
(3)假设在二次函数y的图象上存在点D，使得四边形ACBD是直角梯形．
①若AD∥BC，设点D的坐标为（1)，x0＞0，过D作DE⊥x轴，垂足为E，如图8－12所示．

图8－12
在Rt△AED中，
，
在Rt△BOC中，
∴∠DAE＝∠CBO，
∴tan∠DAE＝tan∠CBO．

整理，得－8x0－5＝0．
解 得或
∵x0＞0，
，此时点D的坐标为．
而AD2＝AE2＋ED2＝≠BC2，因此当AD∥BC时，在抛物线上存在点D，使得四边形DACB是直角梯形．
②若AC∥BD，设点D的坐标为(x0，－，x0＜0．过D作DF⊥x轴，垂足为F，如图8－13所示．

图8－13
在Rt△DFB中，，
在Rt△COA中，
∵∠DBF＝∠CAO，
∴tan∠DBF＝tan∠CAO．

整理，得2＋x0－10＝0．
解 得或x0＝2．
∵x0＜0，
∴，此时点D的坐标为．
此时BD≠AC，因此当AC∥BD时，在抛物线上存在点D使得四边形DACB是直角梯形．
综上所述，在抛物线上存在点D，使得四边形DACB是直角梯形，并且点D的坐标为或．
四、课标考试达标题
(一)选择题
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c的值如果总是负数，那么a，b，c满足( )．
A．a＞0，b2－4ac＜0 B．a＞0，b2－4ac＞0
C．a＜0，b2－4ac＞0 D．a＜0，b2－4ac＜0
2．(2007济南)已知y＝ax2＋bx＋c的图象如图8－14所示，则y＝ax－b的图象一定经过( )．

图8－14
A．第一、二、三象限
B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限
D．第一、三、四象限
3．(2007潜江)抛物线y＝－x2＋bx＋c的部分图象如图8－15所示，则当y＞0时，x的取值范围是( )．

图8－15
A．－4＜x＜1
B．－3＜x＜1
C．x＜－4或x＞1
D．x＜－3或x＞1
4．如图8－16是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象经过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a＋b＝0；③a－b＋c＝0；④5a＜b．其中正确结论是( )．

图8－16
A．②④ B．①④
C．②③ D．①③
5．如果函数y＝ax＋b(ab≠0)的图象不经过第一象限，则抛物线y＝ax2＋bx的顶点一定在( )．
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
6．根据下表中的二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数y的对应值，可判断该二次函数的图象与x轴( )．

x
…
－1
0
1
2
…
y
…
－1

－2

…
A．只有一个交点
B．有两个交点，且它们分别在y轴两侧
C．有两个交点，且它们均在y轴同侧
D．无交点
7．在平面直角坐标系中，先将抛物线y＝x2＋x－2关于x轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为( )．
A．y＝－x2－x＋2 B．y＝－x2＋x－2
C．y＝－x2＋x＋2 D．y＝x2＋x＋2
8．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过(－1，3)，(1，1)两点，且它与y轴交点的纵坐标大于0且小于1，则a的取值范围是( )．
A．1＜a＜3 B．1≤a≤3
C．2≤a＜3 D．1＜a＜2
9．某旅社有100张床位，每床每晚收费10元时，床位可全部租出；若每床每晚收费提高2元，则会少租出10张床位；若每床每晚收费再提高2元，则会再少租出10张床位．以每次提高2元的这种方法变化下去，为了投资少而获利大，每床每晚应提高( )．
A．4元或6元 B．4元
C．6元 D．8元
(二)填空题
10．抛物线y＝x2－2x－8的对称轴方程为______，顶点为______，与x轴的交点为______，与y轴的交点为______．
11．已知抛物线y＝x2＋px＋q与x轴的交点为(3，0)和(－5，0)，则该抛物线的对称轴是
______．
12．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的顶点为(1，2)，与y轴的交点为(0，3)，则a＋b＋c＝______．
13．将抛物线y＝2x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到图象的解析式为______．
14．若抛物线y＝x2＋px＋q与x轴的交点为(p，0)，(q，0)，则该抛物线的解析式为______．
15．若抛物线y＝x2＋bx＋5的顶点在x轴上，则b的值为______．
(三)解答题
16．(2008茂名)我市某工艺厂为配合北京奥运，设计了一款成本为20元/件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据：
销售单价
x(元/件)
…
30
40
50
60
…
每天销售量
y(件)
…
500
400
300
200
…
(1)把上表中x，y的各组对应值作为点的坐标，在图8－17中的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x的函数关系，并求出函数关系式；

图8－17
(2)当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大?最大利润是多少?(利润＝销售总价－成本总价)
(3)当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大?

17．阅读以下材料：
对于三个数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数．例如：min{－1，2，3}＝－1，min{－1，2，a}
解 决下列问题：
(1)填空：min{sin30°，cos45°，tan30°}＝______；如果min＝{2，2x＋2，4－2x}＝2，则x的取值范围为______≤x≤______．
(2)①如果M{2，x＋1，2x}＝min{2，x＋1，2x}，那么x＝______；
②根据①，你发现了结论“如果M{a，b，c}＝min{a，b，c}，那么______”(填ab，c的大小关系)
③运用②的结论，填空：若M{2x＋y＋2，x＋2y，2x－y}＝min{2x＋y＋2，x＋2y，2x－y}，则x＋y＝______；
(3)如图8－18，在同一直线坐标系中作出函数y＝x＋1，y＝(x－1)2，y＝2－x的图象．通过观察图象，得出min{x＋1，(x－1)2，2－x}的最大值为______．

图8－18

18．如图8－19，抛物线y＝x2＋4x与x轴分别相交于点B，O，它的顶点为A，连接AB，把AB所在的直线沿y轴向上平移，使它经过原点O，得到直线l，设P是直线l上的一个动点．

图8－19
(1)求点A的坐标；
(2)以点A，B，O，P为顶点的四边形中，有菱形、等腰梯形、直角梯形，请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P的坐标；
(3)设以点A，B，O，P为顶点的四边形的面积为S，点P的横坐标为x，当＋8时，求x的取值范围．

19．如图8－20，已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(1，－5)和(－2，4)．

图8－20
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)设此抛物线与直线y＝x相交于点A，B(点B在点A的右侧)，平行于y轴的直线x＝与抛物线交于点M，与直线y＝x交于点N，与x轴交于点P，求线段MN的长(用含m的代数式表示)；
(3)在条件(2)的情况下，连接OM，BM，是否存在m的值，使△BOM的面积S最大?若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由．