实验一 观察Runge现象和对非光滑函数进行插值的可能性.doc

计 算 方 法

实
验
报
告

实验序号：实验一
实验名称：观察Runge现象和对非光滑
函数进行插值的可能性
实 验 人： 鲍梅
专业年级：10计算机科学与技术
学 号：21016775
实验时间：2013.10.08
江西财经大学信息管理学院

实验一　观察Runge现象和对非光
滑函数进行插值的可能性
一、相关原理
在节点处的函数值为，构造其Lagrange插值多项式的插值基函数为
，
Lagrange插值多项式为

其截断误差为

其中，
二、实验目的
１．观察高次Lagrange插值多项式的Runge现象；
２．观察非光滑函数进行多项式插值的可能性．
三、实验内容
１．考虑在一个固定的区间上用Lagrange插值逼近一个函数．显然Lagrange插值中使用的节点越多，插值多项式似的次数就越高．我们自然关心插值多项式的次数增加时，是否也更加靠近被逼近的函数．设区间上函数

考虑区间上的一个等距分割，节点为

作在上的Lagrange插值多项式

其中为Lagrange插值基函数．
２．连续非光滑函数的几何特性非常差，在几何图象上一般会出现大量的尖点．在构造非光滑函数的多项式插值时，由于多项式具有高阶光滑度，两者之间会产生怎样的现象？选择区间上的连续非光滑函数

作区间上的Lagrange插值多项式．
四、实验要求
１．选择不断增大的节点数目，画出原函数及插值多项式在区间的上的图象，比较并分析实验结果．
２．选择其他的函数，例如定义在区间上的函数

重复上述的实验过程，观察其结果又将如何．
３．如果不取等距节点，而改为取如下节点
，
以为插值节点构造上述函数的Lagrange插值多项式，比较其结果．
４．选择不同的和，用等距节点作的次Lagrange插值多项式，观察其误差大小及收敛情况．

五、实验
１．选择不断增大的节点数目，画出原函数及插值多项式在区间的上的图象，比较并分析实验结果．

原函数及插值多项式在区间的上的图象如图所示，出现runge现象。

２．选择其他的函数，例如定义在区间上的函数

重复上述的实验过程，观察其结果，如下图所示：

随着n的增加，出现runge现象。

如图所示，随着n的增加，出现runge现象。

３．如果不取等距节点，而改为取如下节点
，
以为插值节点构造上述函数的Lagrange插值多项式，比较其结果．

不取等距节点，函数的Lagrange插值多项式不出现runge现象。
４． 选择不同的和，用等距节点作的次Lagrange插值多项式，观察其误差大小及收敛情况．

如图所示，k取10时，随着n的增加，出现runge现象。
六、实验结论
取等距节点时，高次Lagrange插值多项式随着次数n的增大，Runge现象越明显。
不取等距节点时，高次Lagrange插值多项式随着次数n的增大，更加靠近被逼近的函数。
非光滑函数进行多项式插值后，出现Runge现象,偏离被逼近的函数严重，误差较大。

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