1、§6.3 Urysohn引理和Tietze扩张定理
本节重点:
掌握Urysohn引理的内容(证明不要求)；
掌握定理6.3.2的证明方法．
定理6.3.1 [Urysohn引理]设X是一个拓扑空间，[a，b]是一个闭区间．则X是一个正规空间当且仅当对于X中任意两个无交的闭集A和B，存在一个连续映射f:X→[a，b]使得当x∈A时f(x)=a和当x∈B时f(x)=b．
证明：由于闭区间同胚于[0,1],因此我们只需对闭区间[0,1]的情形给以证明.
充分性:设是中的两个闭集,是一个连续映射使得当时,,时.由于集合是[0,1]中两个不相交的开集,因此.
2、和是中两个不相交的开集,并且,因此是一个正规空间.
必要性.设是一个正规空间, A,B是中两个不相交的闭集,证明的主要思想是首先利用的正规性在中构造一个以[0,1]中的有理数为指标集的一个开集族,然后利用这个开集族定义连续映射,使得时,,时.
第一步,设是[0,1]中的全体有理数集合,对我们将定义一个与它相对应的开集,使得当时,,这样,开集族在包含关系下是一个有序集,而且随着开集的指标的增大所对应的开集也就越大.
由于是可数集合,我们应用归纳的方式来定义开集族.先将排列成一个无限序列,即建立一一映射,为了方便,不失一般性,设和是这个序列的前两个元素.首先,,令.又由于是一个正规空间,由定
3、理6.4.2可知存在开集使得.记,假设对于2,集族已有定义,而且当时,对于,由于集合是一个有限集,而且有,故这个集合必有最大元,设
,又集合是一个有限集合,而且,令
.
由归纳假设知一定有.由于,由定理6.4.2知存在中开集使得.令,则集族也满足:当时, .这是因为对：
①若时,由归纳假设知包含关系成立.
②若时,由于,则必有.
即,因此由的定义及归纳假设有.
③若,则,则必有,即.因此由定义及归纳假设有.
因此由归纳原理我们构造了集族满足条件：对,而且随着指标的增加,也随着增大(在包含关系的意义下).
下面,我们令来说明上面的归纳定义集族的过程.
在定义了之后,定义于之间
4、使之满足,再定义于之间,使之满足.接着定义于之间使之满足,对于,由于,定义,…至第九步我们定义,由于,因此使满足,….如图6.3.1.
第二步,将第一步定义的集族中的指标集扩张成实数空间R中的有理数Q,具体作法是令这样,易验证开集族满足：当时,.
第三步,对,定义,即由所有包含的开集的下标构成.则对任意,必有,(这是因为时,=，因此),且对于,必有,(因为时,=，因此),因此有下界,从而有下确界,且下确界必属于[0,1],定义：
第四步,验证第三步中定义的映射就是满足要求的映射.
(1)设,则对,均有,因此,从而.
设,由定义有,且时,,因此对于任意,若必有,因此必有1,因此
5、从而.
(2) 先证下面两个结论:
(),
().
如果,由集族定义有对任意,,因此,从而
如果,则对任意,因此,从而
(3) 证明是一个连续映射.
设,是一个含有的R中的开区间,我们只需证明存在的邻域使得.为此,取有理数.令,(见图6.3.2).
①是一个开集,这是因为=.
②,这是因为,且,由第三步易见,因此.
③,这是因为对,则,
因此,又,因此,从而,从而(见图6.3.2),从而由习题§3.2.1可知是一个连续映射.
引理说明对于正规空间中的任何两个不相交的闭集,存在连续映射使得,也就是说可用一个连续函数分离,回想一下正则空间的定义6.4.
6、1和定理6.4.1,我们会有这样一个思考:引理可推广到正则空间中去吗？即就是说对于正则空间中的点及其中不包含的闭集,是否一定存在连续映射使得.由定理6.4.1我们可取为满足的开集,这和定理的证明是一致的,但要(或对于除0,1之外的一个有理数)满足条件,只有的正则性显然是不可能的.为此,将正则空间中的点与不含此点的闭集要用连续映射分离,我们有下面的分离公理：
定义6.5.1 设是一个拓扑空间,如果对于中任意点和中任何一个不包含点的闭集,存在一个连续映射使得0,以及对于任意1,则称拓扑空间是一个完全正则空间.
定理6.3.2 空间中任何一个连通子集如果包含着多于一个点，则它一定是一个不可数集．
证明 设C是空间X中的一个连通子集．如果C不只包含着一个点，任意选取，x,y∈X,x≠y,对于空间X中的两个无交的闭集{x}和{y}，应用Urysohn引理可见，存在一个连续映射f:X→[0,1]使得f(x)=0,f(y)=1． 由于C是X中一个连通子集，因此f（X）也连通．由于0，1∈f（X），因此f（X）=[0,1]．由于[0,1]是一个不可数集，因此C也是一个不可数集．
作业:
P168 1．
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