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运用不同的思维方法培养学生提出问题的能力
冒建生
（江苏省如皋中学 226500）

去年暑假，老师给学生布置了这样一道作业题：已知定义在上的函数图像关于点成中心对称，对于任意实数都有，，
求的值（参考答案：）. 作业交来以后，我做了统计，全班55人中，大部分同学的结果与答案相同，解答如下：
的图像关于对称，即.
又，两式相乘，消去得：.
设，则. .
由.
是周期为3的周期函数，

仅有3人怀疑试题有问题：如令，由，这与矛盾. 之后，通过调查了解到，很多同学也从不同的角度发现试题的条件之间有矛盾，但他们宁可相信老师，认为自己判断错了，认定上述看似“天衣无缝”的解答是对的. 这个现象让笔者心头一紧，我们的教育是不是存在很大的误区？学生过分依赖老师，迷信别人，独立发现问题、提出问题的能力如此之弱，怎么谈得上增强学生的主体意识、问题意识？又怎么谈得上培养他们创新思维能力？
为什么会造成学生不能发现问题，或者发现问题又不能提出问题的现状?我想起张奠宙教授讲过的一个实例：某课题研究小组曾在浙江省的一所小学四年级做测验，测验题是：一条船上，有75头牛、34只羊，问船长年龄是多少？结果班上45名学生中，只有5人说此题不能做，多数回答是41岁，其次为109岁，再次是岁. 看来，我们的教育不重视学生发现问题、提出问题的能力培养由来已久，学生从小学读到高中甚至大学，只会做现成的试题，有“好胜心”，但是缺乏“好奇心”. 提出问题少，特别是提出有价值、有创见性的问题更是稀少，作为教育者不得不反思自己的教育观念和教育行为.
在高考竞争异常激烈的今天，学生整天沉浸在漫无边际的题海中，疲于应付各种测验和考试，无暇对各种信息资源进行深入的加工和思考，哪有时间发现问题、提出问题？课堂上老师忙于赶进度，部分老师仍然采用“满堂灌”的教学方法，学习主体对知识的发现和探究过程被忽略了，学生哪有机会发现问题、提出问题？学习活动主要是解题，这些问题更多地来源于课本、资料、和教者的提问，当他们意识到研究的对象存在问题时，处于对老师和资料的迷信心理，往往先怀疑自己的判断和能力，加上又担心同伴、老师的“挤兑”或笑话，学生哪敢提出问题、发表自己的见解？
疑问是探究性学习或研究的开端，爱因斯坦曾说过：发现问题比解决问题更重要. 二十世纪初，希尔伯特的二十三个著名数学问题引领了数学家们一个时代的研究方向. 解决问题也许是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新问题、新理论，或从新的角度看原有的问题，却需要创造性的想象力，只有这样才可以拥有新的发现或发明，才能获得科学理论或技术领域真正的进步. 在数学教学活动中，提出问题是指通过对情境的探索产生新问题或新判断，是数学活动的有机组成部分. 提高学生发现问题、提出问题的能力，有助于培养学生的洞察力和对数学对象本质的理解，有助于发展学生数学探究能力和大胆质疑能力.“学生课堂提问的频率与水平直接反映了学习者对学习材料的加工深度，同时也反映了师生互动的水平.”
为此，笔者运用不同的思维方法，让学生尝试发现问题、提出问题，以期提高他们数学的探究能力和创新思维能力.
一、运用整合条件与结论的方法，让学生发现问题、提出问题
对问题的条件和结论进行整合显示多样性、灵活性和价值取向性的特点，通常的做法有:（1）构造原命题的逆命题、否命题并判断其是否成立；（2）加强或削弱条件，使之成为一个新的命题并判断其是否成立；（3）一题多解或多题一解；（4）搜寻类型、结构、方法相似的问题即变式题加以整合、利用. 这里应注意下列事项：
第一，课外资料作为课本的延伸，从中选择问题并整合时应明确它们所呈现的问题必须为训练主题服务；
第二，现行课本相对于以前增加了许多情境图，这些不能只看成是调动学生阅读课本积极性的手段，而且也应当视为数学教学资源的重要来源，要恰当地利用其存在的数学信息提出问题，充分发挥其教育的功能；
第三，特别要提及的是，教材的例（习）题具有代表性，深入探究每一道试题，让学生提出问题，举一反三，充分挖掘其训练价值，既可以摆脱题海的困扰，又能起到事半功倍的效果；
第四，在有限的时间内，不可能对每个问题都作如此多的整合，学生在整合时产生的新问题也不都是有价值的，教师必须发挥主导者的作用，帮助学生判断、选择.

O
A
C
B

【教学案例1】如图,半圆的直径为,为直径延长线上一点,为半圆上任意一点,以为一边向的外侧作等边,问点在什么位置时,四边形的面积最大？（苏教版，必修5第19页例4)
师：是正三角形，是否可以改变这个图
形的性质或元素之间的位置关系得到新的问题？
点的运动导致其它元素及它们位置关系的变化，
你能发现它们之间特殊位置关系提出新的问题吗？
生1:我把“外侧”改为“内侧”，其余
条件不变，求四边形 面积的最大值.
生2:我将将正改为直角，
且，其余条件不变，求四边形
的面积的最大值.
生3:我将正改为正方形，其余条件不变， 图1
求所得五边形面积最大值.
生4:我的问题是：直线可以成为的平分线吗？如果可以，此时点的位置在哪里（题目条件不变）？
生5:我的问题是：线段的长有最大值吗？线段与线段可以相等吗?如果有（可以），求出点相应的位置（题目条件不变）.
不难发现，学生的思维充满智慧,他们的问题印证了斯滕伯格的一句话:教师在任何时候都能够引发学生的分析性、创造性和实践性的思维活动.前三个问题容易解决,课堂上学生展开了对“生4”问题的探究，经过小组讨论、班际交流，发现有下列两种解法：

一个学习小组的解法是：设，在中,①,
在中,②, 比较①②可知:
假设，又,，
再有
这与已知矛盾.从而
即
又此时直线成为的平分线.
另一个学习小组的解法是：设
分别在中利用余弦定理：
①， ②
③，由②③可得：④，
由①②可得：即⑤，将④代入⑤得：
解得：或.，
故舍去 从而，又
“生5”问题有一定的难度，学生在课后经过协作探究，有一个学习小组提交的解答是：
以为原点,为轴建立直角坐标系,如图1所示.
点.

当即时,取最大值.
要使,则,

评注：让学生自主地观察、思考，并提出问题，产生解决新问题的方法和策略,探究出教材上没有的观念和结论,这样即使是小的发现或点滴积累,都会增强学生发自内心的成就感,也一定会加深对知识的理解，丰富知识的存储量,进一步激发学生探究问题的兴趣，培养学生发现问题、提出问题的能力.
二、运用归纳、类比、联想的方法，让学生发现问题、提出问题
归纳是由个别、特殊的事例推出同一类事物的一般性结论的思维方法. 类比是根据两个不同的对象在某些方面的相似之处，猜想这两个对象在其它方面可能有类似之处的思维方法. 归纳、类比都是具有创造性的推理，通过这些合情推理得到的猜想，超越了前提所包含的范围，可以作为进一步研究的起点，帮助学习者发现问题、提出问题. 拉普拉斯（Laplace，P.S.）说过“在数学里，发现真理的主要工具是归纳和类比.”他盛赞欧拉（Euler，L.）是数学研究中“善于应用归纳法的大师”（欧拉凭观察、大胆猜测和巧妙证明得出了许多重要的发现）. 联想是由某种概念而引发其它相关概念的思维方法，它不受两类对象是否具有相似性质的限制，所以联想比类比更自由、更活跃，发散性也更强.
【教学案例2】抛物线：的顶点为O，A、B是抛物线上两个不同
的点，且，求证：A、B两点关于轴对称（2004年人教版，数学第二册（上）第121页例3改编）.
师:这个问题研究的对象是抛物线，可否换个对象，通过类比、联想，提出一个新的命题吗？
生6:我把研究的对象改为椭圆，与上述命题类比后得到一个新命题为：
椭圆T：的上顶点为A，过A的两条直线分别交椭圆于点
B、C，若， 求证：点B、C关于轴对称.
证明：，设，
由，同理，，
，
，其中，
由此得到：.
A
B
C
生7: 我认为，不能断定. 因为可能有，所以B、C不一定关于轴对称. 事实上，当椭圆“较扁”时，如图2，
从短轴端点A出发的两条线段相等，但是B、C
不关于短轴对称. 因此该命题是假命题.
师:很好，这位同学敏锐察觉到了“问题”，敢于
发表自己的见解，值得大家学习（鼓掌）.
我们能否添加条件让它“起死回生”成为一个真命题呢？ 图2
生8: 我的思考如下：，
所以，只要使即时，使不可能成立.故只要在试题中添加条件，让椭圆不那么“扁平”，该命题就成立了.
评注：归纳、类比、联想所得结论不一定是正确的，但它们都是具有创造性的思维方法，能够让人们发现问题、提出猜想，是建立概念、方法、性质的重要手段. 但是，当前的数学课堂上，学生基本上处于听老师讲概念或解题方法的学习状态，学习形式主要呈现为：吸收—储存—再现的模式，缺乏亲历观察问题、发现问题、提出问题的过程. 因此，让学生提出问题，增强学生的创新意识和提高学生的创新能力是一个亟待解决的问题.
三、将问题一般化或特殊化，让学生发现问题、提出问题
一般化是指从问题一个对象过度到考虑包含该对象的一个集合，一般化方法之所以能在解决问题中发挥作用，其主要原因在于：由特殊向一般过度是为问题的分析提供了方向，从而也就为解决问题提供了可能性. 用一般化提出问题，既可以源于已有的问题，也可以源于已有的结论.

O
A
B
Q
P

【教学案例3】椭圆T：的上顶点为，过的一条直线交椭圆于另一点B，且直线AB与轴不垂直. 设直线是线段的垂直平分线，证明：椭圆T上不存在另外两点关于直线对称（自编题）.
师：……，能试着将问题一般化，提出一个新的命题吗？
生9：我将椭圆的上顶点换为椭圆上任意一点A，如图3，
图形给我们启示，猜想一般化命题为：椭圆上不存在两
条互相平行的弦有同一条垂直平分线.
生10 ：不准确，平行弦应限制为与坐标轴不垂直.
即一般化的命题是：椭圆上不存在互相平行的弦（与 图3
坐标轴不垂直）有同一条垂直平分线.
师：对，命题的表述应注意严谨性. 请大家考虑如何证明.
生11：用反证法证明，命题可以转化为中点弦问题，考虑用“点差法”.设弦AB的中点为，弦PQ的中点为，，.
设，则①，②，①-②得：
③，
同理可得：④，③-④：即，，，这与矛盾，猜想成立.
评注：一般化方法是人们认识事物的重要方法.人们认识事物总是从个别开始的，再逐步扩大到一类事物的全体，这样可以提出单称判断的问题扩展到提出特称判断、全称判断的问题.学生掌握一般化的思维方法，有利于深化对数学问题的理解，感悟数学问题本质，有助于探求问题解决的途径和方法.
特殊化与一般化的思维方向相反，是从具有某种性质或关系一般对象的集合过渡到其中的个别元素. 特殊化可以用于数学问题的提出，通常有两种基本类型：一般问题的特殊化，否定性结论的肯定化.
【教学案例4】已知函数满足对于任意实数都有：
，且，请猜想函数的“性质”，然后对猜想加以判断. 若猜想成立，请给予证明；若猜想不成立，试说明理由.（自编题）.
生12：我找到满足条件的函数模型：，猜想函数具有下列的“性质”：
(1)函数是奇函数；（2）函数是周期函数；（3）；
（4）；（5）在上是增函数.
.生13：性 质（1）的证明：令得：，
是奇函数.
性质（2）的证明：令，则，
，是周期函数.
生14：由于函数也满足问题条件，所以性质（3）、（5）不成立.
生15：函数也满足条件，但是的最大值3，故性质（4）不成立.
评注：当可判断的问题结果有肯定和否定两种情形时，要否定结论，即所讨论的对象不具有某种性质，我们可以考察特定对象即寻求“反例”来说明. 这是从否定性结论产生的新的特殊化.
总之，发现问题、提出问题是学生学习的一种独特方式，它对促进学生数学创新能力的发展有着不可低估的作用. 学生养成善于发现问题、敢于提出问题的良好习惯不是一朝一夕能够实现的. 我们要更新教育观念，营造探究性学习的宽松环境，消除学生提出问题时的紧张、焦虑情绪，不断鼓励学生大胆猜想、质疑，要运用不同的思维方法培养学生提出问题的能力，为他们终身学习打下坚实的知识和智能基础.
【参考文献】
1. 方均斌. 《中学生数学提问意识与能力现状分析及思考》，数学通报，2005年第8期.
2. 冒建生 冒玮. 《让悟性在反思中生长》，中学数学月刊，2012年第9期.
3. 蔡亲鹏 陈建花主编. 《数学教育学》，浙江大学出版社，2008年10月.
【作者简介】冒建生（1964—），男，江苏如皋人，大学本科，中学高级教师，数学组教研组长，如皋市骨干教师，南通市226工程学科技术带头人.
【原文出处】全国中文核心期刊《数学通报》2013年第6期.