4-定积分概念及牛顿莱布尼茨公式PPT参考课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,复 习,若 则,积分法：,用,基本积分公式,及,积分性质,求积分的方法,第一换元积分法：,第二换元积分法：,(,根式换元、三角换元）,分部积分公式,换元积分法,分部积分法,直接积分法,:,不定积分：,1,4.2,定积分概念,【,学习本节要达到的目标,】,1,、了解定积分概念；,2,、掌握定积分的几何意义,.,2,一、问题的提出,背景来源,面积的计算,矩形的面积,定义为两直角边长度的乘积,我们可以用大大小小的矩形将图形不断填充，但闪烁部分永远不可能恰好为矩形，这些,“,边角余料,”,无外乎是右图所示的,“,典型图形,”,（必要时可旋转）,“,典型图形,”,面积的计算问题就产生了,定积分,一般图形的面积是什么？,3,实例,1,（求曲边梯形的面积）,设曲边梯形是由连续曲线,以及两直线,所围成,求其面积,A,.,矩形面积,梯形面积,4,a,b,x,y,o,a,b,x,y,o,用矩形面积近似取代曲边梯形面积,显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积,（四个小矩形）,（九个小矩形）,5,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,6,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,7,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,8,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,9,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,10,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,11,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,12,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,13,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,14,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,15,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,16,解决步骤,:,1),分割,.,在区间,a,b,中,任意,插入,n,1,个分点,用直线,将曲边梯形分成,n,个小曲边梯形,;,2),近似,.,在第,i,个窄曲边梯形上,任取,作以,为底,为高的小矩形,并以此小,梯形面积近似代替相应,窄曲边梯形面积,得,17,3),求和,.,把,n,个小矩形的面积加起来。,4),取极限,.,当分割无限加细时，,则曲边梯形面积,18,实例,2,（求变速直线运动的路程）,设某物体作直线运动,且,求在运动时间内物体所经过的路程,s,.,解决步骤,:,1),分割,.,将它分成,在每个小段上物体经,2),近似,.,得,已知速度,n,个小段,过的路程为,部分路程值,某时刻的速度,19,3),求和,.,4),取极限,.,上述两个问题的,共性,:,解决问题的方法步骤相同,:,“,分割,近似,求和,取极限,”,所求量极限结构式相同,:,特殊乘积和式的极限,20,二、定积分概念,任一种,分法,任取,总趋于确定的极限,I,则称此极限,I,为函数,在区间,上的,定积分,即,此时称,f,(,x,),在,a,b,上,可积,.,记作,21,积分上限,积分下限,被积函数,被积表达式,积分变量,积分和,22,注意：,4,（,）定义中区间的分法和,i,x,的取法是任意的,.,23,1,：,2,：,定积分存在的充分条件,3,：,24,三、定积分的几何意义,1,、,25,2,、,26,3,、,27,定积分的几何意义,:,曲边梯形面积,曲边梯形面积的负值,28,小 结,定积分的实质：特殊和式的极限,定积分的思想和方法：,分割,化整为零,求和,积零为整,取极限,精确值,定积分,求近似以直（不变）代曲（变）,取极限,3,定积分的几何意义,29,4.3,定积分的性质及微积分基本公式,【,学习本节要达到的目标,】,1,、掌握定积分的性质；,2,、掌握奇偶函数计算定积分的简要公式；,3,、熟练掌握牛顿,莱布尼茨公式,.,30,对定积分的,补充规定,:,注意,在定积分的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小,一、定积分的性质,31,证,性质,1,32,证,（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）,性质,2,33,注意,：不论 的相对位置如何总成立,.,若,（定积分对于积分区间具有可加性）,则,性质,3(,可加性）,34,(2),由同学们自己完成,35,（,1,）,性质,4,（比较性质）,用于比较同一个区间上两个函数积分值大小,o,x,y,a,b,y,=,f,(,x,),y,=,g,(,x,),36,解,令,于是,37,证,（此性质可用于估计积分值的大致范围）,性质,5,（估值性质）,o,x,y,a,b,38,解,39,证,由闭区间上连续函数的介值定理知,性质,6,（定积分中值定理）,积分中值公式,40,使,即,积分中值公式的几何解释：,41,（一）定理（微积分基本定理）,微积分学基本定理,Newton-Leibniz,公式,（不定积分和定积分的关系）,微积分基本公式实质：,注意,求定积分问题转化为求原函数的问题,.,二、牛顿,莱布尼茨公式,42,例,6,解：,依题意，所求面积为,43,例,7,计算下列定积分,44,例,8,求,解,原式,45,（二）定积分的第一换元积分法,例,9,解,例,10,先看求不定积分：,解,46,（三）定积分的第二换元积分法,设函数,f,(,x,),在区间,a,b,上连续；函,数 在 上单值且有连续导数；当,时，有 ，,且 ，则,定积分的换元公式,注意：应用定积分的换元公式时，换元必换限。,47,例,11,计算定积分,解：,（根式换元）,练习,48,例,12.,计算,解,:,令,则,原式,=,且,（三角换元）,49,例,13.,证,:,(1),若,(2),若,偶倍奇零,奇偶函数计算对称区间上定积分的简要公式,50,（四）定积分的分部积分法,定积分的分部积分公式,例,14.,计算,解,:,51,例,15.,计算,解,:,原式,=,练习,.,计算,52,小 结,牛顿,莱布尼茨公式,定积分的第二换元积分法,定积分的分部积分法,53,作 业,P100.A,组,2.,P106.A,组,3.(2)(4)(6);4.(2)(3);,P110.A,组,2.(1)(4),54,