直线和圆锥曲线的交点及弦长.doc

直线和圆锥曲线的位置关系

例32. AB为过椭圆=1中心的弦，F(c，0)为椭圆的右焦点，则△AFB的面积最大值是( )
(A)b2 (B)ab (C)ac (D)bc

五、圆锥曲线综合问题
直线与圆锥曲线的位置关系
⑴直线与圆锥曲线的位置关系和判定
直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：相交、相切、相离.
直线方程是二元一次方程,圆锥曲线方程是二元二次方程,由它们组成的方程组,经过消元得到一个一元二次方程,直线和圆锥曲线相交、相切、相离的充分必要条件分别是、、.
⑵直线与圆锥曲线相交所得的弦长
直线具有斜率,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为,则它的弦长
注:实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标设而不求的技巧而已(因为，运用韦达定理来进行计算.
当直线斜率不存在是,则.
注: 1.圆锥曲线，一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化运算。
2.当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理；二是点差法.
3.圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考:一是建立函数，用求值域的方法求范围；二是建立不等式，通过解不等式求范围。
例32. AB为过椭圆=1中心的弦，F(c，0)为椭圆的右焦点，则△AFB的面积最大值是( )
(A)b2 (B)ab (C)ac (D)bc

例33 若直线y＝kx＋2与双曲线的右支交于不同的两点，则k的取值范围是（　）
,　, 　, ,

例34. 若双曲线x2－y2=1右支上一点P(a, b)到直线y=x的距离为，则a＋b的值是( ).
或 (D)2或－2

例35 抛物线y=x2上的点到直线2x- y =4的距离最近的点的坐标是( )
) (B)(1,1) (C) () (D) (2,4)

例36 抛物线y2=4x截直线所得弦长为3，则k的值是( )
(A)2 (B)-2 (C)4 (D)-4

例37 如果直线与双曲线没有交点，则的取值范围是 .

例38 已知抛物线上两点关于直线对称，且，那么m的值为 .

四、求点的轨迹问题
例25. B
例26. D
例27. C
例28. A
例29. B
例30. 9x+16y=0 (椭圆内部分)
例31. y２＝－8x

五、圆锥曲线综合问题
例32 解析：∵S△AFB=2S△AOF，∴当点A位于短轴顶点处面积最大.答案：D
例33. D
例34. B
例35. B 数形结合估算出D
例36 D
例37.k<
例38.
例39 解：设AB：y=-x+m,代入双曲线方程得11x2+4mx-4(m2+1)=0,
这里△=(4m)2-4×11［-4(m2+1)］=162m2+11)＞0恒成立，
设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为M(x0,y0),则x1+x2=-，∴x0=-,y0=-x0+m=,
若A、B关于直线y=2x对称，则M必在直线y=2x上，
∴=-得m=1，由双曲线的对称性知，直线y=-x与双曲线的交点的A、B必关于直线y=2x对称.
∴存在A、B且求得A(，-)，B(-，)

例39 双曲线3x2-y2=1上是否存在关于直线y=2x对称的两点A、B?若存在，试求出A、B两点的坐标；若不存在，说明理由.

1．圆锥曲线的弦长求法
设圆锥曲线C∶f(x，y)=0与直线l∶y=kx+b相交于A()、B()两点，则弦长|AB|为：

(2)若弦AB过圆锥曲线的焦点F，则可用焦半径求弦长，|AB|=|AF|+|BF|．
例1 过抛物线的焦点作倾斜角为的直线与抛物线交于A、B两点，旦|AB|=8，求倾斜角．
分析一：由弦长公式易解．解答为：
∵　 抛物线方程为x2=-4y，　 ∴焦点为(0，-1)．
设直线l的方程为y-(-1)=k(x-0)，即y=kx-1．
将此式代入x2=-4y中得：x2+4kx-4=0．∴x1+x2=-4，x1+x2=-4k．
由|AB|=8得: ∴
又有得:或.
分析二:利用焦半径关系.∵
∴|AB|y2)+p=-[(kx1-1)+(kx2-1)]+p=-k(+x2)+2+p．由上述解法易求得结果，可由同学们自己试试完成．
2．与圆锥曲线有关的最值(极值)的问题
在解析几何中求最值，关键是建立所求量关于自变量的函数关系，再利用代数方法求出相应的最值．注意点是要考虑曲线上点坐标(x，y)的取值范围．
例2已知+4(y-1)2=4，求：(1)+y2的最大值与最小值;(2)x+y的最大值与最小值．
解一：将+4(y-1)2=4代入得：+y2=4-4(y-1)2+y2=-3y2+8y

由点(x，y)满足+4(y-1)2=4知：4(y-1)2≤4 即|y-1|≤1．∴0≤y≤2．

当y=0时，(+y2)min=0．
解二：分析：显然采用(1)中方法行不通．如果令u=x+y，则将此代入+4(y-1)2=4中得关于y的一元二次方程，借助于判别式可求得最值．
令x+y=u， 则有x=u-y,代入+4(y-1)2=4得：5-(2u+8)y+=0．
又∵0≤y≤2，(由(1)可知) ∴[-(2u+8)]2-4×5×≥0．
∴
当时,; 当时,
∴;