广东省佛山市2016届高考数学一模试卷(理科)(解析版).doc

2016年广东省佛山市高考数学一模试卷（理科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．复数z满足z（l﹣i）=﹣1﹣i，则|z+1|=（　　）
A．0 B．1 C． D．2
2．已知U=R，函数y=ln（1﹣x）的定义域为M，集合N={x|x2﹣x＜0}．则下列结论正确的是（　　）
A．M∩N=N B．M∩（∁UN）=∅ C．M∪N=U D．M⊆（∁UN）
3．已知a，b都是实数，那么“＞”是“lna＞lnb”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．设变量x，y满足，则2x+3y的最大值为（　　）
A．20 B．35 C．45 D．55
5．己知x0=是函数f（x）=sin（2x+φ）的一个极大值点，则f（x）的一个单调递减区间是（　　）
A．（，） B．（，） C．（，π） D．（，π）
6．已知F1，F2分别是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右两个焦点，若在双曲线C上存在点P使∠F1PF2=90°，且满足2∠PF1F2=∠PF2F1，那么双曲线C的离心率为（　　）
A． +1 B．2 C． D．
7．某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责．每次献爱心活动均需该组织4位同学参加．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给4位同学，且所发信息都能收到．则甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为（　　）
A． B． C． D．
8．已知tanx=，则sin2（+x）=（　　）
A． B． C． D．
9．执行如图所示的程序框图，输出的z值为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
10．某一简单几何体的三视图如所示，该几何体的外接球的表面积是（　　）

A．13π B．16π C．25π D．27π
11．给出下列函数：
①f（x）=xsinx；
②f（x）=ex+x；
③f（x）=ln（﹣x）；
∃a＞0，使f（x）dx=0的函数是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
12．设直线y=t与曲线C：y=x（x﹣3）2的三个交点分别为A（a，t），B（b，t），C（c，t），且a＜b＜c．现给出如下结论：
①abc的取值范围是（0，4）；
②a2+b2+c2为定值；
③c﹣a有最小值无最大值．
其中正确结论的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.
13．（﹣）5的展开式的常数项为　　　　　　（用数字作答）．
14．已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4），若λ为实数，（ +λ）⊥，则λ的值为　　　　　　．
15．宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉鉴》卷中“茭草形段”第一个问题“今有茭草六百八十束，欲令‘落一形’埵（同垛）之．问底子在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，M是BC的中点，BM=2，AM=c﹣b，△ABC面积的最大值为　　　　　　．

三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an=3Sn﹣2（n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{nan}的前n项和Tn．
18．未来制造业对零件的精度要求越来越高.3D打印通常是采用数字技术材料打印机来实现的，常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，后逐渐用于一些产品的直接制造，已经有使用这种技术打印而成的零部件．该技术应用十分广泛，可以预计在未来会有广阔的发展空间．某制造企业向A高校3D打印实验团队租用一台3D打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件．该团队在实验室打印出了一批这样的零件，从中随机抽取10件零件，度量其内径的茎叶图如如图所示（单位：μm）．
（Ⅰ） 计算平均值μ与标准差σ；
（Ⅱ） 假设这台3D打印设备打印出品的零件内径Z服从正态分布N（μ，σ2），该团队到工厂安装调试后，试打了5个零件，度量其内径分别为（单位：μm）：86、95、103、109、118，试问此打印设备是否需要进一步调试，为什么？
参考数据：P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.95443=0.87，0.99744=0.99，0.04562=0.002．

19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C丄侧面ABB1A1，AC=AA1=AB，∠AA1C1=60°，AB⊥AA1，H为棱CC1的中点，D在棱BB1上，且A1D丄平面AB1H．
（Ⅰ）求证：D为BB1的中点；
（Ⅱ）求二面角C1﹣A1D﹣A的余弦值．

20．已知椭圆： +=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（2，0），且焦距为2，直线l交椭圆于E、F两点（E、F与A点不重合），且满足AE⊥AF．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）O为坐标原点，若点P满足2=+，求直线AP的斜率的取值范围．
21．设常数λ＞0，a＞0，函数f（x）=﹣alnx．
（1）当a=λ时，若f（x）最小值为0，求λ的值；
（2）对任意给定的正实数λ，a，证明：存在实数x0，当x＞x0时，f（x）＞0．

选修4-1：几何证明选讲
22．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，BA、CD的延长线交于点P，且AB=AD，BP=2BC
（Ⅰ）求证：PD=2AB；
（Ⅱ）当BC=2，PC=5时．求AB的长．

选修4-4：坐标系与参数方程选讲
23．已知直线l的方程为y=x+4，圆C的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴．建立极坐标系．
（Ⅰ）求直线l与圆C的交点的极坐标；
（Ⅱ）若P为圆C上的动点．求P到直线l的距离d的最大值．

选修4-5：不等式选讲
24．己知函数f（x）=|x﹣2|+a，g（x）=|x+4|，其中a∈R．
（Ⅰ）解不等式f（x）＜g（x）+a；
（Ⅱ）任意x∈R，f（x）+g（x）＞a2恒成立，求a的取值范围．

2016年广东省佛山市高考数学一模试卷（理科）
参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．复数z满足z（l﹣i）=﹣1﹣i，则|z+1|=（　　）
A．0 B．1 C． D．2
【考点】复数求模．
【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数．
【分析】根据复数的运算性质计算即可．
【解答】解：∵z（l﹣i）=﹣1﹣i，
∴z（1﹣i）（1+i）=﹣（1+i）2，
∴2z=﹣2i，
∴z=﹣i，
∴z+1=1﹣i，
则|z+1|=，
故选：C．
【点评】本题考查了复数的化简与模的计算．

2．已知U=R，函数y=ln（1﹣x）的定义域为M，集合N={x|x2﹣x＜0}．则下列结论正确的是（　　）
A．M∩NN B．M∩（∁UN）=∅ C．M∪N=U D．M⊆（∁UN）
【考点】集合的包含关系判断及应用．
【专题】转化思想；综合法；集合．
【分析】分别解出关于M，N的范围，然后判断即可．
【解答】解：由1﹣x＞0，解得：x＜1，
故函数y=ln（1﹣x）的定义域为M=（﹣∞，1），
由x2﹣x＜0，解得：0＜x＜1，
故集合N={x|x2﹣x＜0}=（0，1），
∴M∩N=N，
故选：A．
【点评】本题考察了集合的包含关系，考察不等式问题，是一道基础题．

3．已知a，b都是实数，那么“＞”是“lna＞lnb”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】转化思想；综合法；简易逻辑．
【分析】根据充分必要条件的定义，结合对数函数的性质，从而得到答案．
【解答】解：∵lna＞lnb⇒a＞b＞0⇒＞，是必要条件，
而＞，如a=1，b=0则lna＞lnb不成立，不是充分条件，
故选：B．
【点评】本题考查了充分必要条件，考查了对数函数的性质，是一道基础题．

4．设变量x，y满足，则2x+3y的最大值为（　　）
A．20 B．35 C．45 D．55
【考点】简单线性规划．
【专题】计算题．
【分析】先画出满足约束条件 的平面区域，结合几何意义，然后求出目标函数z=2x+3y取最大值时对应的最优解点的坐标，代入目标函数即可求出答案．
【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：
令z=2x+3y可得y=，则为直线2x+3y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越大
作直线l：2x+3y=0
把直线向上平移可得过点D时2x+3y最大，
由可得x=5，y=15，此时z=55
故选D

【点评】本题考查的知识点是简单线性规划，其中画出满足约束条件的平面区域，找出目标函数的最优解点的坐标是解答本题的关键．

5．己知x0=是函数f（x）=sin（2x+φ）的一个极大值点，则f（x）的一个单调递减区间是（　　）
A．（，） B．（，） C．（，π） D．（，π）
【考点】正弦函数的单调性；正弦函数的图象．
【专题】函数思想；数形结合法；三角函数的图像与性质．
【分析】由极值点可得φ=﹣，解2kπ+＜2x﹣＜2kπ+可得函数f（x）的单调递减区间，结合选项可得．
【解答】解：∵x0=是函数f（x）=sin（2x+φ）的一个极大值点，
∴sin（2×+φ）=1，∴2×+φ=2kπ+，解得φ=2kπ﹣，k∈Z，
不妨取φ=﹣，此时f（x）=sin（2x﹣）
令2kπ+＜2x﹣＜2kπ+可得kπ+＜x＜kπ+，
∴函数f（x）的单调递减区间为（kπ+，kπ+）k∈Z，
结合选项可知当k=0时，函数的一个单调递减区间为（，），
故选：B．
【点评】本题考查正弦函数的图象和单调性，数形结合是解决问题的关键，属基础题．

6．已知F1，F2分别是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右两个焦点，若在双曲线C上存在点P使∠F1PF2=90°，且满足2∠PF1F2=∠PF2F1，那么双曲线C的离心率为（　　）
A． +1 B．2 C． D．
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由已知得∠F1PF2=90°，∠PF1F2=30°，∠PF2F1=60°，设|PF2|=x，则|PF1|=，|F1F2|=2x，由此能求出双曲线C的离心率．
【解答】解：如图，∵∠F1PF2=90°，且满足2∠PF1F2=∠PF2F1，
∴∠F1PF2=90°，∠PF1F2=30°，∠PF2F1=60°，
设|PF2|=x，则|PF1|=，|F1F2|=2x，
∴2a=，2c=2x，
∴双曲线C的离心率e==．
故选：A．

【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的合理运用．

7．某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责．每次献爱心活动均需该组织4位同学参加．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给4位同学，且所发信息都能收到．则甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．
【分析】设A表示“甲同学收到李老师所发活动信息”，设B表示“甲同学收到张老师所发活动信息”，由题意P（A）=P（B）=，p（A+B）=P（A）+P（B）﹣P（A）P（B），能求出甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率．
【解答】解：设A表示“甲同学收到李老师所发活动信息”，设B表示“甲同学收到张老师所发活动信息”，
由题意P（A）==，P（B）=，
∴甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为
p（A+B）=P（A）+P（B）﹣P（A）P（B）
==．
故选：C．
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意任意事件概率加法公式的合理运用．

8．已知tanx=，则sin2（+x）=（　　）
A． B． C． D．
【考点】二倍角的正弦．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．
【分析】由条件利用半角公式、同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．
【解答】解：tanx=，则sin2（+x）===+
=+=+=，
故选：D．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，半角公式的应用，属于基础题．

9．执行如图所示的程序框图，输出的z值为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】程序框图．
【专题】操作型；算法和程序框图．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环累乘循环变量a值，并输出满足条件的累乘积关于2的对数值，模拟程序的运行过程，用表格将程序运行过程中变量的值的变化情况进行分析，不难给出答案．
【解答】解：执行循环体前，S=1，a=0，不满足退出循环的条件，执行循环体后，S=1×20=20，a=1，
当S=2°，a=1，不满足退出循环的条件，执行循环体后，S=1×21=21，a=2
当S=21，a=2，不满足退出循环的条件，执行循环体后，S=21×22=23，a=3
当S=23，a=3，不满足退出循环的条件，执行循环体后，S=23×23=26，a=4
当S=26，a=4，满足退出循环的条件，
则z==6
故输出结果为6
故选：D
【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．

10．某一简单几何体的三视图如所示，该几何体的外接球的表面积是（　　）

A．13π B．16π C．25π D．27π
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】计算题；数形结合；数形结合法；立体几何．
【分析】几何体为底面为正方形的长方体，底面对角线为4，高为3．则长方体的对角线为外接球的直径．
【解答】解：几何体为底面为正方形的长方体，底面对角线为4，高为3，∴长方体底面边长为2．
则长方体外接球半径为r，则2r==5．∴r=．∴长方体外接球的表面积S=4πr2=25π．
故选C．
【点评】本题考查了长方体的三视图，长方体与外接球的关系，属于中档题．

11．给出下列函数：
①f（x）=xsinx；
②f（x）=ex+x
③f（x）=ln（﹣x）；
∃a＞0，使f（x）dx=0的函数是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【考点】特称命题．
【专题】对应思想；转化法；导数的综合应用；简易逻辑．
【分析】①求出f（x）dx的积分，结合函数的图象得出存在a＞0，使f（x）dx=0成立；
②求出（ex+x）dx=0时a的值，得出命题不成立；
③根据f（x）是定义域上的奇函数，积分的上下限互为相反数，得出定积分值为0，满足条件．
【解答】解：对于①，f（x）=xsinx，
∵（sinx﹣xcosx）′=xsinx，
∴xsinxdx=（sinx﹣xcosx）=2sina﹣2acosa，
令2sina﹣2acosa=0，
∴sina=acosa，
又cosa≠0，∴tana=a；

画出函数y=tanx与y=x的部分图象，如图所示；
在（0，）内，两函数的图象有交点，
即存在a＞0，使f（x）dx=0成立，①满足条件；
对于②，f（x）=ex+x，（ex+x）dx=（ex+x2）=ea﹣e﹣a；
令ea﹣e﹣a=0，解得a=0，不满足条件；
对于③，f（x）=ln（﹣x）是定义域R上的奇函数，
且积分的上下限互为相反数，
所以定积分值为0，满足条件；
综上，∃a＞0，使f（x）dx=0的函数是①③．
故选：B．
【点评】本题主要考查了定积分运算性质的应用问题，当被积函数为奇函数且积分区间对称时，积分值为0，是综合性题目．

12．设直线y=t与曲线C：y=x（x﹣3）2的三个交点分别为A（a，t），B（b，t），C（c，t），且a＜b＜c．现给出如下结论：
①abc的取值范围是（0，4）；
②a2+b2+c2为定值；
③c﹣a有最小值无最大值．
其中正确结论的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】函数的图象．
【专题】函数思想；数形结合法；函数的性质及应用．
【分析】作出f（x）=x（x﹣3）2的函数图象，判断t的范围，根据f（x）的变化率判断c﹣a的变化情况，构造函数g（x）=x（x﹣32﹣t，根据根与系数的关系得出abc，a2+b2+c2，c﹣a的值进行判断．
【解答】解：令f（x）=x（x﹣3）2=x3﹣6x2+9x，f′（x）=3x2﹣12x+9，令f′（x）=0得x=1或x=3．
当x＜1或x＞3时，f′（x）＞0，当1＜x＜3时，f′（x）＜0．
∴f（x）在（﹣∞，1）上是增函数，在（1，3）上是减函数，在（3，+∞）上是增函数，
当x=1时，f（x）取得极大值f（1）=4，当x=3时，f（x）取得极小值f（3）=0．
作出函数f（x）的图象如图所示：
∵直线y=t与曲线C：y=x（x﹣3）2有三个交点，∴0＜t＜4．
令g（x）=x（x﹣3）2﹣t=x3﹣6x2+9x﹣t，则a，b，c是g（x）的三个实根．
∴abc=t，a+b+c=6，ab+bc+ac=9，
∴a2+b2+c2=（a+b+c）2﹣2（ab+bc+ac）=18．
由函数图象可知f（x）在（0，1）上的变化率逐渐减小，在（3，4）上的变化率逐渐增大，
∴c﹣a的值先增大后减小，故c﹣a存在最大值，不存在最小值．
故①，②正确，
故选：C．

【点评】本题考查了导数与函数的单调性，函数的图象，三次方程根与系数的关系，属于中档题．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.
13．（﹣）5的展开式的常数项为　﹣10　（用数字作答）．
【考点】二项式系数的性质．
【专题】计算题；二项式定理．
【分析】在（﹣）5展开式的通项公式中，令x的幂指数等于零，求出r的值，即可求出展开式的常数项．
【解答】解：由于（﹣）5展开式的通项公式为Tr+1=•（﹣1）r•，
令15﹣5r=0，解得r=3，故展开式的常数项是﹣10，
故答案为：﹣10．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．

14．已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4），若λ为实数，（ +λ）⊥，则λ的值为　﹣　．
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】对应思想；综合法；平面向量及应用．
分析】求出+λ和的坐标，根据向量垂直列出方程解出λ．
【解答】解： +λ=（1+λ，2λ），∵（+λ）⊥，∴（ +λ）•=0，即3（1+λ）+8λ=0，解得λ=﹣．
故答案为﹣．
【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，向量垂直与数量积的关系，是基础题．

15．宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉鉴》卷中“茭草形段”第一个问题“今有茭草六百八十束，欲令‘落一形’埵（同垛）之．问底子在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，M是BC的中点，BM=2，AM=c﹣b，△ABC面积的最大值为　2　．
【考点】余弦定理．
【专题】计算题；方程思想；综合法；解三角形．
【分析】在△ABM和△ABC中分别使用余弦定理得出bc的关系，求出cosA，sinA，代入面积公式求出最大值．
【解答】解：在△ABM中，由余弦定理得：
cosB==．
在△ABC中，由余弦定理得：
cosB==．
∴=．
即b2+c2=4bc﹣8．
∵cosA==，∴sinA==．
∴S=sinA=bc=．
∴当bc=8时，S取得最大值2．
故答案为2．
【点评】本题考查了余弦定理得应用，根据余弦定理得出bc的关系是解题关键．

三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an=3Sn﹣2（n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{nan}的前n项和Tn．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【专题】计算题；整体思想；综合法；等差数列与等比数列．
【分析】（1）通过an=3Sn﹣2与an﹣1=3Sn﹣1﹣2（n≥2）作差、整理可知an=﹣an﹣1（n≥2），进而可知数列{an}是首项为1、公比为﹣的等比数列，计算即得结论；
（2）通过（1）可知nan=（﹣1）n﹣1•，进而利用错位相减法计算即得结论．
【解答】解：（1）∵an=3Sn﹣2，
∴an﹣1=3Sn﹣1﹣2（n≥2），
两式相减得：an﹣an﹣1=3an，
整理得：an=﹣an﹣1（n≥2），
又∵a1=3S1﹣2，即a1=1，
∴数列{an}是首项为1、公比为﹣的等比数列，
∴其通项公式an=（﹣1）n﹣1•；
（2）由（1）可知nan=（﹣1）n﹣1•，
∴Tn=1•1+（﹣1）•2•+…+（﹣1）n﹣2•（n﹣1）•+（﹣1）n﹣1•，
∴﹣Tn=1•（﹣1）•+2•+…+（﹣1）n﹣1•（n﹣1）•+（﹣1）n•n•，
错位相减得： Tn=1+[﹣+﹣+…+（﹣1）n﹣1•]﹣（﹣1）n•n•
=1+﹣（﹣1）n•n•
=+（﹣1）n﹣1••，
∴Tn= [+（﹣1）n﹣1••]=+（﹣1）n﹣1••．
【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．

18．未来制造业对零件的精度要求越来越高.3D打印通常是采用数字技术材料打印机来实现的，常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，后逐渐用于一些产品的直接制造，已经有使用这种技术打印而成的零部件．该技术应用十分广泛，可以预计在未来会有广阔的发展空间．某制造企业向A高校3D打印实验团队租用一台3D打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件．该团队在实验室打印出了一批这样的零件，从中随机抽取10件零件，度量其内径的茎叶图如如图所示（单位：μm）．
（Ⅰ） 计算平均值μ与标准差σ；
（Ⅱ） 假设这台3D打印设备打印出品的零件内径Z服从正态分布N（μ，σ2），该团队到工厂安装调试后，试打了5个零件，度量其内径分别为（单位：μm）：86、95、103、109、118，试问此打印设备是否需要进一步调试，为什么？
参考数据：P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.95443=0.87，0.99744=0.99，0.04562=0.002．

【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；茎叶图．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计．
【分析】（I）利用平均值与标准差的计算公式即可得出μ，σ；
（II）假设这台3D打印设备打印出品的零件内径Z服从正态分布N（105，62），分别计算出满足满足2σ的概率及其3σ的概率，即可得出．
【解答】解：（I）平均值μ=100+=105．
标准差σ==6．
（II）假设这台3D打印设备打印出品的零件内径Z服从正态分布N（105，62），
∴P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=P（93＜Z＜117）=0.9544，可知：落在区间（93，117）的数据有3个：95、103、109，因此满足2σ的概率为：
0.95443×0.04562≈0.0017．
P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=P（87＜Z＜123）=0.9974，可知：落在区间（87，123）的数据有4个：95、103、109、118，因此满足3σ的概率为：
0.99744×0.0026≈0.0026．
由以上可知：此打印设备不需要进一步调试．
【点评】本题考查了茎叶图、平均值与标准差、正态分布，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C丄侧面ABB1A1，AC=AA1=AB，∠AA1C1=60°，AB⊥AA1，H为棱CC1的中点，D在棱BB1上，且A1D丄平面AB1H．
（Ⅰ）求证：D为BB1的中点；
（Ⅱ）求二面角C1﹣A1D﹣A的余弦值．

【考点】二面角的平面角及求法．
【专题】方程思想；向量法；空间位置关系与距离；空间角．
【分析】（Ⅰ）建立坐标系，求出向量坐标，利用线面垂直的性质建立方程关系即可证明D为BB1的中点；
（Ⅱ）求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角C1﹣A1D﹣A的余弦值．
【解答】（Ⅰ）证明：连接AC1，
∵AC=AA1，∠AA1C1=60°，
∴三角形ACC1是正三角形，
∵H是CC1的中点，
∴AH⊥CC1，从而AH⊥AA1，
∵侧面AA1C1C丄侧面ABB1A1，面AA1C1C∩侧面ABB1A1=AA1，AH⊂平面AA1C1C，
∴AH⊥ABB1A1，
以A为原点，建立空间直角坐标系如图，
设AB=，则AA1=2，
则A（0，2，0），B1（2，0），D（，t，0），
则=（，2，0），=（，t﹣2，0），
∵A1D丄平面AB1H．AB1⊂丄平面AB1H．
∴A1D丄AB1，
则•=（，2，0）•（，t﹣2，0）=2+2（t﹣2）=2t﹣2=0，得t=1，
即D（，1，0），
∴D为BB1的中点；
（2）C1（0，1，），=（，﹣1，0），=（0，﹣1，），
设平面C1A1D的法向量为=（x，y，z），
则由•=x﹣y=0），•=﹣y+z=0，得，
令x=3，则y=3，z=， =（3，3，），
显然平面A1DA的法向量为==（0，0，），
则cos＜，＞===，
即二面角C1﹣A1D﹣A的余弦值是．

【点评】本题主要考查空间直线和平面位置关系的判断以及二面角的求解，建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解二面角的常用方法．综合性较强，运算量较大．

20．已知椭圆： +=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（2，0），且焦距为2，直线l交椭圆于E、F两点（E、F与A点不重合），且满足AE⊥AF．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）O为坐标原点，若点P满足2=+，求直线AP的斜率的取值范围．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】方程思想；分析法；平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（Ⅰ）由题意可得a=2，c=1，由a，b，c的关系可得b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）设直线AE的方程为y=k（x﹣2），代入椭圆方程，运用韦达定理，可得E的坐标，由两直线垂直可得F的坐标，再由直线的斜率公式，结合基本不等式即可得到斜率的最值，进而得到所求范围．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得a=2，2c=2，即c=1，
b==，
则椭圆的标准方程为+=1；
（Ⅱ）设直线AE的方程为y=k（x﹣2），
代入椭圆方程，可得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣12=0，
由2+xE=，可得xE=，
yE=k（xE﹣2）=，
由于AE⊥AF，只要将上式的k换为﹣，
可得xF=，yF=，
由2=+，可得P为EF的中点，
即有P（，），
则直线AP的斜率为t==，
当k=0时，t=0；
当k≠0时，t=，
再令s=﹣k，可得t=，
当s=0时，t=0；当s＞0时，t=≤=，
当且仅当4s=时，取得最大值；
当s＜0时，t=≥﹣，
综上可得直线AP的斜率的取值范围是[﹣，]．
【点评】本题考查椭圆的方程的求法，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理，考查直线的斜率的取值范围的求法，注意运用基本不等式，考查运算能力，属于中档题．

21．设常数λ＞0，a＞0，函数f（x）=﹣alnx．
（1）当a=λ时，若f（x）最小值为0，求λ的值；
（2）对任意给定的正实数λ，a，证明：存在实数x0，当x＞x0时，f（x）＞0．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】综合题；分类讨论；转化思想；分类法；导数的概念及应用．
【分析】（1）当a=λ时，函数f（x）=﹣（x＞0）．f′（x）=，分别解出f′（x）＞0，f′（x）＜0，研究其单调性，即可得出最小值．
（2）函数f（x）=x﹣﹣alnx＞x﹣λ﹣alnx．令u（x）=x﹣λ﹣alnx．利用导数研究其单调性即可得出．
【解答】（1）解：当a=λ时，函数f（x）=﹣alnx=﹣（x＞0）．
f′（x）=﹣=，
∵λ＞0，x＞0，∴4x2+9λx+3λ2＞0，4x（λ+x）2＞0．
∴当x＞λ时，f′（x＞0，此时函数f（x）单调递增；
当0＜x＜λ时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．
∴当x=λ时，函数f（x）取得极小值，即最小值，
∴f（（λ）==0，解得λ=．
（2）证明：函数f（x）=﹣alnx=﹣alnx=x﹣﹣alnx＞x﹣λ﹣alnx．
令u（x）=x﹣λ﹣alnx．
u′（x）=1﹣=，可知：当x＞a时，u′（x）＞0，函数u（x）单调递增，x→+∞，u（x）→+∞．
一定存在x0＞0，使得当x＞x0时，u（x0）＞0，
∴存在实数x0，当x＞x0时，f（x）＞u（x）＞u（x0）＞0．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法、恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

选修4-1：几何证明选讲
22．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，BA、CD的延长线交于点P，且AB=AD，BP=2BC
（Ⅰ）求证：PD=2AB；
（Ⅱ）当BC=2，PC=5时．求AB的长．

【考点】与圆有关的比例线段．
【专题】选作题；方程思想；综合法；推理和证明．
【分析】（Ⅰ）证明：△APD∽△CPB，利用AB=AD，BP=2BC，证明PD=2AB；
（Ⅱ）利用割线定理求AB的长．
【解答】（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠PAD=∠PCB，
∴∠APD=∠CPB，
∴△APD∽△CPB，
∴=，
∵BP=2BC
∴PD=2AD，
∴AB=AD，
∴PD=2AB；
（Ⅱ）解：由题意，BP=2BC=4，设AB=t，由割线定理得PD•PC=PA•PB，
∴2t×5=（4﹣t）×4
∴t=，即AB=．
【点评】本题考查三角形相似的判断，考查割线定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

选修4-4：坐标系与参数方程选讲
23．已知直线l的方程为y=x+4，圆C的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴．建立极坐标系．
（Ⅰ）求直线l与圆C的交点的极坐标；
（Ⅱ）若P为圆C上的动点．求P到直线l的距离d的最大值．
【考点】参数方程化成普通方程．
【专题】选作题；转化思想；消元法；坐标系和参数方程．
【分析】（I）由圆C的参数方程为（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1化为普通方程，与直线方程联立解得交点坐标，利用可得极坐标．
（II）圆心（0，2）到直线l的距离为d1，可得P到直线l的距离d的最大值为d1+r．
【解答】解：（I）由圆C的参数方程为（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1化为：x2+（y﹣2）2=4，联立，解得或．
可得极坐标分别为：，．
（II）圆心（0，2）到直线l的距离=，
∴P到直线l的距离d的最大值为+r=+2．
【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

选修4-5：不等式选讲
24．己知函数f（x）=|x﹣2|+a，g（x）=|x+4|，其中a∈R．
（Ⅰ）解不等式f（x）＜g（x）+a；
（Ⅱ）任意x∈R，f（x）+g（x）＞a2恒成立，求a的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】（Ⅰ）问题转化为解不等式|x﹣2|＜|x+4|，两边平方，解出即可；
（Ⅱ）f（x）+g（x）＞a2可化为a2﹣a＜|x﹣2|+|x+4|，根据绝对值的性质，求出|x﹣2|+|x+4|的最小值，从而求出a的范围．
【解答】解：（Ⅰ）不等式f（x）＜g（x）+a即|x﹣2|＜|x+4|，
两边平方得：x2﹣4x+4＜x2+8x+16，解得：x＞﹣1，
∴原不等式的解集是（﹣1，+∞）；
（Ⅱ）f（x）+g（x）＞a2可化为a2﹣a＜|x﹣2|+|x+4|，
又|x﹣2|+|x+4|≥|（x﹣2）﹣（x+4）|=6，
∴a2﹣a＜6，解得：﹣2＜a＜3，
∴a的范围是（﹣2，3）．
【点评】本题考察了解绝对值不等式问题，考察转化思想，是一道基础题．

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