高三数学期末专题复习三角函数的图像和性质.doc

高三数学期末专题复习
三角函数的图像与性质

例1已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)的最小正周期为π，且f()＝.
(1) 求ω、φ的值；
(2) 若f()＝－(0＜α＜π)，求cos2α的值．
解：(1) 由函数的周期为π，可知＝π，所以ω＝2.(2分)
又由f()＝，得2sin(＋φ)＝，所以cosφ＝.又φ∈(0，π)，所以φ＝.(5分)
(2) (方法1)由f()＝－，得sin(α＋)＝－.(7分)
因为α∈(0，π)，所以α＋∈(，)．
又sin(α＋)＝－＜0，所以α＋∈(π，)，所以cos(α＋)＝－.(10分)
所以cos2α＝sin(＋2α)＝2sin(α＋)cos(α＋)＝.(14分)
(方法2)由f()＝－，得sin(α＋)＝－.(7分)
因为α∈(0，π)，所以α＋∈(，)．
又sin(α＋)＝－＜0，所以α＋∈(π，)，所以cos(α＋)＝－.(10分)
所以cosα＝cos[(α＋)－]＝cos(α＋)cos＋sin(α＋)sin＝－.
所以cos2α＝2cos2α－1＝2×(－)2－1＝.(14分)
(方法3)由f()＝－，得sin(α＋)＝－.(7分)
所以sinα＋cosα＝－.所以1＋sin2α＝，即sin2α＝－.(10分)
因为α∈(0，π)，所以α＋∈(，)．
又sinα＋)＝－＜0，所以α＋∈(π，)，即α∈(，π)，2α∈(，2π)．
所以cos2α＝＝.(14分)

例2已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0，－＜φ＜)的图象如图所示，直线x＝，x＝是其两条对称轴．
(1) 求函数f(x)的解析式并写出函数的单调增区间；
(2) 若f(α)＝，且＜α＜，求f(＋α)的值．

解：(1) 由题意，＝－＝，∴ T＝π.
又ω＞0，故ω＝2，∴ f(x)＝2sin(2x＋φ)．(2分)
由f()＝2sin(＋φ)＝2，解得φ＝2kπ－(k∈Z)．
又－＜φ＜，∴ φ＝－，∴ f(x)＝2sin(2x－)．(5分)
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，知kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
∴ 函数f(x)的单调增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．(7分)
(2) 解法1：依题意得2sin(2α－)＝，即sin(2α－)＝，(8分)
∵ ＜α＜， ∴ 0＜2α－＜.
∴ cos(2α－)＝＝＝，(10分)
f(＋α)＝2sin[(2α－)＋]．
∵ sin[(2α－)＋]＝sin(2α－)cos＋cos(2α－)sin＝(＋)＝，
∴ f(＋α)＝.(14分)
解法2：依题意得sin(2α－)＝，得sin2α－cos2α＝，①(9分)
∵ ＜α＜， ∴ 0＜2α－＜，
∴ cos(α－)＝＝＝11分)
由cos(2α－)＝得sin2α＋cos2α＝.②
①＋②得2sin2α＝，
∴ f(＋α)＝.(14分)
解法3：由sin(2α－)＝得sin2α－cos2α＝，(9分)
两边平方得1－sin4α＝，sin4α＝，
∵ ＜α＜，∴ ＜4α＜，
∴ cos4α＝－＝－，(11分)
∴ sin22α＝＝.又＜2α＜，∴ sin2α＝，
∴ f(＋α)＝.(14分)

例3已知函数f(x)＝为偶函数，且函数y＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为
（Ⅰ）求f（）的值；
（Ⅱ）将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间.

16.解：（Ⅰ）f(x)＝
＝
＝2sin(-)
因为　f(x)为偶函数，
所以　对x∈R,f(-x)=f(x)恒成立，
因此　sin（--）＝sin(-).
即-sincos(-)+cossin(-)=sincos(-)+cossin(-),
整理得　sincos(-)=0.因为　＞0，且x∈R,所以　cos（-）＝0.
又因为　0＜＜π，故　-＝.所以　f(x)＝2sin(+)=2cos.
由题意得　　　
故　　　　f(x)=2cos2x.
因为　　　
（Ⅱ）将f(x)的图象向右平移个个单位后，得到的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到的图象.

当　　　　　2kπ≤≤2 kπ+ π (k∈Z),
即　　　　　4kπ＋≤≤x≤4kπ+ (k∈Z)时，g(x)单调递减.
因此g(x)的单调递减区间为　　　　　(k∈Z)

巩固练习
1.已知函数f(x)＝2cosxsin－sin2x＋sinxcosx.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)的单调增区间；
(3)当x∈时，求f(x)的值域．
解：(1)f(x)＝2cosxsin－sin2x＋sinxcosx
＝2cosx－sin2x＋sinxcosx
＝2sinxcosx＋(cos2x－sin2x)(2分)
＝sin2x＋cos2x
＝2sin.(5分)
∴　f(x)的最小正周期为π.(7分)
(2)由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，解得kπ－≤x≤kπ＋，
∴　f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．(10分)
(3)∵　x∈，
∴　2x＋∈.(12分)
则　sin∈，
∴　f(x)的值域为[1,2]．(14分)

2 在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，a2－c2＝ab－b2，S△ABC＝2.
(1) 求·的值；
(2) 设函数y＝sin(ωx＋φ)(其中φ∈[0，]，ω＞0)，最小正周期为π，当x等于角C时函数取到最大值，求使该函数取最小值时的x的集合．
解：(1) cosC＝＝，(2分)
∵ 0＜C＜π，
∴ C＝.(3分)
∵ S△ABC＝2，
∴ absin30°＝2，
∴ ab＝8，(5分)
∴ ·＝abcos30°＝8×＝4.(7分)
(2) ω＝2.(8分)
当且仅当2x＋φ＝＋2kπ，即＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，(9分)
此时φ＝＋2kπ.又∵ φ∈[0，]，∴ φ＝.(10分)
∴ 当2x＋＝－＋2kπ时函数取最小值．(12分)
即函数取最小值时的x的集合为{x|x＝－＋kπ，k∈Z}．(14分)

3.如图，函数的图象与轴交于点，且在该点处切线的斜率为．
（1）求和的值；
（2）已知点，点是该函数图象上一点，点是的中点，当，时，求的值．
.解：（1）将，代入函数得，
因为，所以．
又因为，，，所以，
因此．
（2）因为点，是的中点，，
所以点的坐标为．
又因为点在的图象上，所以．
因为，所以，
从而得或．
即或．

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