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“圆”知识整理 
一、与圆有关的概念
1、圆是由一条曲线围成的平面图形。 
   （以前所学的图形如长方形、梯形等都是由几条线段围成的平面图形）  
2、 画圆时，针尖固定的一点是圆心，通常用字母O表示；    
连接圆心和圆上任意一点的线段是半径，通常用字母r表示；    
通过圆心并且两端都在圆上的线段是直径，通常用字母d表示。    
在同一个圆里，有无数条半径和直径。 
在同一个圆里，所有半径的长度都相等，所有直径的长度都相等。
在同一个圆内的所有线段中，圆的直径是最长的。 
3、用圆规画圆的过程：先两脚叉开，再固定针尖，最后旋转成圆。 
    画圆时要注意：针尖必须固定在一点，不可移动；两脚间的距离必须保持不变；要旋转一周。 
4、 在同一个圆里，半径是直径的一半，直径是半径的2倍。（d=2r,   r =d÷2） 
5、 圆是轴对称图形，有无数条对称轴，对称轴就是直径所在的直线。 
6、 圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。要比较两圆的大小，就是比较两个圆的直径或半径。
7、任何一个圆的周长除以它直径的商都是一个固定的数，我们把它叫做圆周率。用字母π表示。
π是一个无限不循环小数。π＝3.141592653……     
我们在计算时，一般保留两位小数，取它的近似值3.14。π大于3.14 
8、周长相等的平面图形中，圆的面积最大；面积相等的平面图形中，圆的周长最短。
9、几个直径和为n的圆的周长=直径为n的圆的周长（如图）     
几个直径和为n的圆的面积<直径为n的圆的周长
10、常用的3.14的倍数： 
3.14×2＝6.28     3.14×3＝9.42    3.14×4＝12.56    3.14×5＝15.7    3.14×6＝18.84 
3.14×7＝21.98    3.14×8＝25.12   3.14×9＝28.26  3.14×12＝37.68  3.14×14＝43.96  
3.14×16＝50.24   3.14×18＝56.52    3.14×24＝7536   3.14×25＝78.5     
3.14×36＝113.04  3.14×49＝153.86   3.14×64＝200.96   3.14×81=254.34 
11、 常用的平方数：
11²＝121    12²＝144    13²＝169    14²＝196    15²＝225    
16²＝256    17²＝289    18²＝324    19²＝361    20²＝400
二、 圆的周长公式
1、 已知圆的半径（r），求圆的周长(c)：C=2πr
2、 已知圆的直径（d)，求圆的周长（c）C=πd
3、已知圆的周长，求圆的半径：r=C÷π÷2
4、已知圆的周长，求圆的直径：d=C÷π
5、求半圆的弧长,半圆的弧长等于圆周长的一半:半圆的弧长=πr或者半圆的弧长=πd÷2
6、求半圆的周长,半圆的周长等于圆周长的一半加一条直径：
C半圆= πr＋2r=5.14r      C半圆= πd÷2＋d=2.57d 
7、车轮滚动一周前进的路程就是车轮的周长。     每分前进米数（速度）＝车轮的周长×每分的转数
8、求阴影部分的周长：总体思路，记住一点，周长的概念，所有围成这个图形的线段或曲线的长度之和。所以求阴影部分的周长时，首先把阴影部分这个图形的轮廓画出来，找出这个图形都由哪些线段、哪些曲线组合起来的。再分别求出这些线段、曲线的长度，最后相加。比如,这个图形：
首先，我找出阴影部分在哪，找出阴影部分后发现这个阴影部分的周长是由两个圆弧、两个条线段组成。那么这两个圆弧合起来正好是一个圆的周长，所以这个阴影部分的周长=10×2×3.14+10×2+10×2
三、 圆面积公式
1、
2、已知圆的半径，求圆的面积S=πr²
3、已知圆的直径，求圆的面积S=π(d÷2)²
4、已知圆的周长，求圆的面积S=π（C÷π÷2）²
5、半圆的面积，即整圆面积的一半：
半圆面积=πr²÷2=π(d÷2)²÷2=π（C÷π÷2）²÷2总之，都得除以2
6、求圆环的面积一般是用外圆的面积减去内圆的面积，还可以利用乘法分配律进行简便计算。 
S圆环=S外圆—S内圆=πR²-πr²=π（R²-r²）
7、正方形里最大的圆。两者联系：边长＝直径；圆的面积=78.5%正方形的面积 
    画法：（1）画出正方形的两条对角线；（2）以对角线交点为圆心，以边长为直径画圆。
8、长方形里最大的圆。两者联系：宽＝直径 
    画法：（1）画出长方形的两条对角线；（2）以对角线交点为圆心，以宽为直径画圆。
9、 在圆内画一个最大的正方形：这个最大的正方形的面积=直径×半径
画法：

10、 在半圆内画一个最大的三角形，三角形的底就是圆的直径，三角形的高就是圆的关径。
三角形的面积=直径×半径÷2
11、 周长相等的平面图形中，圆的面积最大；      面积相等的平面图形中，圆的周长最短。
大小两个圆比较，半径的倍数＝直径的倍数＝周长的倍数，面积的倍数＝半径倍数的平方     
（即r扩大n倍，直径扩大n倍，周长扩大n倍，面积扩大n2倍）

“分数混合运算”知识整理
一、分数混合运算
1、 分数混合运算顺序与整数混合运算顺序相同，没有括号的先算（乘除），再算（加减）;有括号的先算（括号里面的），再算（括号外面的）。
2、 整数的运算律在分数运算中同样适用。
加法运算定律：
加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：a+b+c=a+(b+c)
乘法定律：
乘法交换律：a×b=b×a 乘法结合律：a×b×c=a×(b×c)
乘法分配律：（a+b）×c=a×c+b×c或a×c+b×c=（a+b）×c
减法定律：
减法的性质a-b-c=a-(b+c)或a-(b+c) =a-b-c
除法的特性：a÷b÷c=a÷(b×c)或a÷(b×c)= a÷b÷c
3、用方程解决有关分数混合运算的实际问题，关键是找出 （单位1），并把它设为未知数，再找出等量关系计算。
4、分数基本性质：分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除外分数的大小不变。
例：

5、分数加减法
同分母分数相加减，分母不变，分子相加减，异分母分数相加减，要先通分为同分母分数再相加减。二、分数混合运算的应用
1、 打折 计算方法：现价÷原价=折扣
2、 一件商品打几折，求现价。 计算方法：原价×折数
3、 一件商品打几折，求原价。 计算方法：现价÷折数
4、 分数混合运算的应用题解答方法
解答方法：
1、找准单位1——并在题目的文字下面标注
①总数量是单位“1”
例如：小红看完整本书的，那么单位“1”是整本书的页码。
②原价就是单位“1”
例如：笔记本电脑原价是300元，现在降价了，那么单位“1是原价3000元。
③分数比率之前的“的”字前面的量是单位“1”
例如：全校男生的人数是女生人数的，那么单位“1”是女生人数。
④一个东西比另一个东西多几分之几中“比”后面的东西是单位“1”
例如：商店卖的苹果比橘子多，那么单位“1”是橘子数量。
2、确定乘或除 3、对应量和对应分率
（1）已知单位“1”，用乘法——————————（1）单位“1”×对应分率
（2）未知单位“1”，用除法或方程———————（2）对应量÷对应分率=单位“1”
若用方程：一般设单位“1”的量为未知数
4、如何根据分率句来写等量关系
找出关键性的字和词，“是”字、“占”字、“相当于”、“正好是”等字、词，相当于等量关系式中的等于号，分率前面的“的”字相当于等量关系式中的乘号。
如：（1）公鸡的只数是（“是”可以改为“占”或“相当于”、或“正好是”等字词）母鸡的。
等量关系式是：母鸡的只数×=公鸡的只数
（2）五年级有男生15人，相当于（“相当于”可以改为“是”或、“占”或“正好是”等字、词）。全班人数的。
数量关系式是：全班人数×=男生人数
基本知识规律：
甲是乙的
甲相当于乙的 等量关系：
甲恰好是乙的 乙×=甲
甲占乙的
（单位“1”是乙）

甲比乙多，等量关系：乙×（1+）=甲
甲比乙少，等量关系：乙×（1—）=甲
原价，降价，等量关系：原价×（1—）＝现价
用去 全部 的
看了 全部 的
修了 全部 的
卖掉 全部 的
完成 全部 的
吃了 全部 的
等量关系：
全部×=用去/看了/修了/卖掉/完成/吃了
全部×（1—）=剩下的
三、 百分数及百分数的应用
1、表示一个数是另一个数的百分之几的数叫作（百分数），也叫作（百分率）或（百分比）。
2、百分率一般是指（部分）占(整体)的百分之几。
3、小数化百分数时，把小数点向（右）移动（两）位，后面添上百分号；分数化成百分数，可以先化成小数，再化成百分数。
4、百分数化成小数时，把（百分号）先去掉，再把小数点向（左）移动（两）位；百分数化成分数，先写成分母是（100）的分数形式，再化成（最简）分数。
5、求一个数是另一个数的几分之几（或百分之几）？
“是”字前面的数÷“是”字后面的数
6、求一个数比另一个数多（或少）几分之几（或百分之几）？
（大数-小数）÷“比”字后面的数
7、常见的分数、小数和百分数的互化

8、打折 计算方法：现价÷原价=折扣
9、一件商品打几折，求现价。 计算方法：原价×折数
10、一件商品打几折，求原价。 计算方法：现价÷折数
11、应纳税额。 计算方法： 营业额×税率
12、利息=本金×利率×时间，本金=利息÷利率÷时间，
利率=利息÷本金÷时间，时间=利息÷本金÷利率
13、税后利息 计算方法：利息-利息×税率
14、到期后可以取出的钱数 计算方法：本金+税后利息
15、生活中的百分率：
出勤率、缺勤率、发芽率、优秀率、及格率、合格率、命中率、近视率、出粉率、出米率、成活率、出油率、入学率、升学率、森林覆盖率、绿化覆盖率、收视率、体育达标率、疫苗接种率、含糖率、含盐率、正确率、错误率
达标率 = 达标学生人数 ÷ 学生总人数 发芽率 = 发芽种子数 ÷ 种子总数
出勤率 = 出勤人数 ÷ 学生总人数 合格率 = 合格的产品数 ÷ 产品总数
出粉率 = 粉的重量 ÷ 小麦的重量 出油率 = 油的重量 ÷ 花生的重量
出米率 = 米的重量 ÷ 稻谷的重量 成活率 = 成活的数量 ÷ 种植总数
命中率 = 命中的次数 ÷ 投篮总数 含盐率 = 盐的重量 ÷ 盐水的重量
四、百分数题型分类及解题方法
百分数应用题三种类型
第一大类求分率用除法：求一个数是另一个数的百分之几
1. 直接求一个数是另一个数的百分之几 一个数÷另一个数
2. 求一个数比另一个数多百分之几 多的部分÷单位1
3. 求一个数比另一个数少百分之几 少的部分÷单位1
例：（1）男生有25人，女生有20人，女生是男生的百分之几？
（2）男生有25人，女生有20人，男生比女生多百分之几？
（3）男生有25人，女生有20人，女生比男生少百分之几？
第二大类单位1已知用乘法：求一个数的百分之几是多少
1. 直接求一个数的百分之几是多少 单位1×分率
2. 求比一个数多百分之几的数是多少 单位1×（1＋分率）
3. 求比一个数少百分之几的数是多少 单位1×（1－分率）
例：（1）男生有25人，女生是男生的80% ，女生有多少人？
（2）女生有20人，男生比女生多25%，女生有多少人？
（3）男生有25人，女生比男生少20%，女生有多少人？
第三大类单位1未知用除法：已知一个数的百分之几是多少，求这个数。
1. 已知一个数的百分之几是多少，求这个数。 已知量÷分率=单位1
2. 已知比一个数多百分之几的数是多少，求这个数 已知量÷（1＋多的分率）=单位1
3. 已知比一个数少百分之几的数是多少，求这个数 已知量÷（1－少的分率）=单位1
例：（1）女生有25人，是男生的80%，男生有多少人？
（2）男生有25人，比女生多25%，女生有多少人？
（3）女生有20人，比男生少20%，男生有多少人？

“比的认识”知识整理
一、比的意义 
1、比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。 
2、在两个数的比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。 
例如  15  ： 10 = 15÷10= （比值通常用分数表示，也可以用小数或整数表示） 
         ∶  ∶   ∶      ∶             
前项  比号  后项    比值 
3、 比可以表示两个相同量的关系，即倍数关系。也可以表示两个不同量的比，得到一个新量。例：  路程÷速度=时间。
4、 区分比和比值 
比：表示两个数的关系，可以写成比的形式，也可以用分数表示。
  比值：相当于商，是一个数，可以是整数，分数，也可以是小数。 
5、根据分数与除法的关系，两个数的比也可以写成分数形式。
6、 比和除法、分数的联系：  
7、比和除法、分数的区别：除法是一种运算，分数是一个数，比表示两个数的关系。
 8、根据比与除法、分数的关系，可以理解比的后项不能为0。
体育比赛中出现两队的分是2：0等，这只是一种记分的形式，不表示两个数相除的关系。 
二、比的基本性质 
1、根据比、除法、分数的关系： 
商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。 
分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数时（0除外），分数值不变。 
比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外)，比值不变。
2、 最简整数比：比的前项和后项都是整数，并且前、后项的公因数只有1，这样的比就是最简整数比。 
3、 根据比的基本性质，可以把比化成最简单的整数比。 
4、 化简比： 

5、按比例分配：把一个数量按照一定的比来进行分配。这种方法通常叫做按比例分配。 
6、 路程一定，速度比和时间比成反比。
（如：路程相同，速度比是4：5，时间比则为5：4） 
工作总量一定，工作效率和工作时间成反比。 
（如：工作总量相同，工作时间比是3：2，工作效率比则是2：3）
三、 和比的应用题有关的概念
1、求每份数的方法 
和÷分数和=每份数     相差数÷相差份数=每份数     部分数÷对应份数=每份数 

2、图形求比的常见公式 
长方体：（长+宽+高）的和=棱长和÷4      长方形：（长+宽）的和=周长÷2
3、相遇问题  速度和 = 路程÷相遇时间
四、比的应用 
在工农业生产和生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。这种分配方法通常叫按比例分配。 
按比例分配应用题分为三种情况，看下面的三个例子，注意它们之间的联系与区别： 
例（1）一年级与二年级共有学生130人，一年级与二年级人数比是5︰8，两个年级各有学生多少人？ 
例（2）二年级比一年级多30人，一年级与二年级人数比是5︰8，两个年级各有多少人？ 
例（3）二年级有80人，一年级与二年级人数比是5︰8，一年级有多少人？ 
五、解题方法总结： 
在解决“比的应用”的有关问题时，要抓住解题关键，用所给的数量除以对应的份数，求出每份数，然后用每份数分别乘所求数量的份数，从而求出所求数量。类型不同的题要用不同的方法求出每份数： 
（1）“已知两数的和与两数的比，求两数分别是多少？” 每份数=两数的和÷比各项的和 
（2）“已知两数的差与两数的比，求两数分别是多少？”每份数=两数的差÷比各项的差 
（3）“已知其中一项与两数的比，求另一个数是多少？” 每份数=其中一项÷对应的份数
题型体系 
●己知总数和比。 
解题方法：
（1）每份数=两数的和÷比中各项的和 
2）用各部分数占的份数×每份数 求出每部分量。 3、答题并检验。 
例1、 沙、石共36吨，沙与石的比是1：8，沙、石各是多少吨？
2、水泥、沙子和石子的比是2：3：5。要搅拌20吨这样的混凝土，需要水泥、沙子和石子各是多少吨？    
3、用120厘米的铁丝做一个长方体的框架。长、宽、高的比是3：2：1。这个长方体的长、宽、高分别是多少？体积是多少？
●已知一个量和比。 
解题方法：1、每份数=其中一项÷对应的份数 
           2、用各部分数占的份数×每份数 求出每部分量。 
3、答题并检验。 
例1、男工有40人，男工与女工的比是4：5，女工有多少人？一共有多少人？    
2、一种什锦糖是由水果糖、奶糖、软糖按5：3：2混合而成的。 
（1）如果先称20千克的水果糖，奶糖与软糖各需多少千克？    
（2）如果先称出15千克的奶糖，水果糖与软糖各需多少千克？
3、学校美术组的人数是书法组的，美术组人数与数学组人数的比是3∶5。书法组有30人，数学组有多少人？
●已知相差数和比。 
解题方法：1、每份数=两数的差÷比中各项的差 
               2、用各部分数占的份数×每份数 求出每部分量。 
3、答题并检验。 
 例1、男工与女工的比是4：5，女比男多4人，男、女各多少人？   
 2、沙和石的比是7：9，沙比石少10吨，沙、石各多少吨？
3、一桶油用去的量占剩下的,已知这桶油共有50千克，用去了多少千克?还剩下多少千克？   

“数据处理”知识整理
统计图
特点
扇形统计图
能够清晰地看出整体和部分之间的关系，也就是部分占整体的百分比的大小
条形统计图
能够清晰地看出各数据的多少，便于相互比较
折线统计图
能清晰地看出数据增减变化的情况，也能看出数据的多少

“常用的数量关系”整理
1、每份数×份数＝总数    总数÷每份数＝份数   总数÷份数＝每份数 
2、速度×时间＝路程    路程÷速度＝时间    路程÷时间＝速度 
3、单价×数量＝总价    总价÷单价＝数量    总价÷数量＝单价 
4、工作效率×工作时间＝工作总量      
工作总量÷工作效率＝工作时间      工作总量÷工作时间＝工作效率  
5、加数＋加数＝和      和－一个加数＝另一个加数 
6、被减数－减数＝差     被减数－差＝减数    差＋减数＝被减数 
7、因数×因数＝积      积÷一个因数＝另一个因数 
8、被除数÷除数＝商    被除数÷商＝除数    商×除数＝被除数

“常见的单位换算”整理
【长度单位】
1千米=1000米=10000分米=100000厘米1000000毫米
1米=10分米=100厘米 1厘米=10毫米 1分米=10厘米
【面积单位】
1平方千米=100公顷 1公顷=10000平方米 一平方千米=1000000平方米
1平方米=100平方分米 1平方分米=100平方厘米 1平方厘米=100平方毫米
相邻面积单位间的进率是100。大单位转化成小单位乘以进率，小单位转化成大单位除以进率。
【体积、容积单位】
1立方米=1000立方分米 1立方分米=1000立方厘米 1立方厘米=1000立方毫米
1升=1000毫升 1立方分米=1升 1立方厘米=1毫升
相邻体积间进率为1000。大单位转化成小单位乘以进率，小单位转化成大单位除以进率。
【质量单位】
1吨=1000千克 1千克=1000克
【人民币单位换算】
1元=10角 1角=10分 1元=100分
【时间换算】
1世纪=100年 1年=12月 1日=24小时 1时=60分 1分=60
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