高等数学模拟试题一.doc

高等数学模拟试题一

一、填空题：（每小题4分，共20分）
1 . 函数的极小值为 。
2. 积分= 。
3. 曲线在点（0，1）处的切线方程是 。
4. 设，则=( )。
5．已知三角形ABC的顶点分别是A (1, 2, 3 ) 、 B (3, 4, 5 ) 、C (2, 4, 7 ) , 则三角形ABC的面积为
二、选择题：（每小题4分，共20分）
6. 设函数，则（ ）
（A）为可去间断点，为无穷间断点；
（B）为无穷间断点，为可去间断点；
（C）和均为可去间断点；
（D）和均为无穷间断点。
7. 设函数可微，则的微分dy=（ ）
（A）； （B）；
（C）； （D）
8. 设函数连续，，则（ ）
（A）； （B）；
（C）； （D）；
9. 设函数连续，交换二次积分次序得（ ）
（A）； （B）；
（C）； （D）。
10. （ ）
A) B)
C) D)
三、解答题：（每小题7分，共42分）

11、
12、
13、
，
14. 设： 求
15. 求幂级数的收敛区间，并求和函数。
16. 已知。
四、证明题（本题8分）
17. 。
五、应用题（本题10分）
18. 设非负函数在上满足 ，曲线与直线及坐标轴围成图形的面积为2，
1：求函数；
2：为何值时，所围图形绕轴一周所得旋转体的体积最小？

高等数学模拟试题一解答

一、填空题：（每小题4分，共20分）

1 函数的极小值为 。-2
2. 积分=（ ）。
3. 曲线在点（0，1）处的切线方程是 （ ） 。
4.设，则=( )。
5．已知三角形ABC的顶点分别是A (1, 2, 3 ) 、 B (3, 4, 5 ) 、C (2, 4, 7 ) , 则三角形ABC的面积为。S= = = 。

二、选择题：（每小题4分，共20分）
6. 设函数，则（ ） B
（A）为可去间断点，为无穷间断点；
（B）为无穷间断点，为可去间断点；
（C）和均为可去间断点；
（D）和均为无穷间断点。
7. 设函数可微，则的微分dy=（ ） D
（A）； （B）；
（C）； （D）
8. 设函数连续，，则（ ）C
（A）； （B）；
（C）； （D）；
9. 设函数连续，交换二次积分次序得（ ）A
（A）； （B）；
（C）； （D）。
10. （ ）D
A) B)
C) D)

三、解答题：（每小题7分，共42分）

11、
解：

12、

13、
，
解：

14. 设： 求

15. 求幂级数的收敛区间，并求和函数。
解：，
当时，收敛；当时，发散
即收敛区间为；
设，则两边求积分得：
．

16. 已知。
解：两边对x求偏导得：；
两边对y求偏导得：．

四、证明题（本题8分）
17. 。
，
，

五、应用题（本题10分）
18. 设非负函数在上满足 ，曲线与直线及坐标轴围成图形的面积为2，
1：求函数；
2：为何值时，所围图形绕轴一周所得旋转体的体积最小？
解：1：由方程得

故得：

(2) 旋转体体积

为唯一极小点, 因此时 V 取最小值

高等数学模拟试题二

一、填空题：（每小题4分，共20分）
1．向量满足：，则
2．函数，当，则
3．级数的收敛域 ．
4. =
5. .
二、选择题：（每小题4分，共20分）
6．若级数在处收敛，则此级数在处（ ）
（A）条件收敛 （B）绝对收敛
（C）发散 （D）敛散性不能确定
7．设函数y = f (x)可导，且，则当时，该函数在x0处的微分是 .
（A）Δx的等阶无穷小； （B）Δx的同阶无穷小；
（C）Δx的高阶无穷小； （D）Δx的低阶无穷小
8．对于不定积分，在下列等式中正确的是 .
（A）； （B）；
（C）； （D）.

9．的间断点类型是（ ）
（A）可去； （B）跳跃；
（C）无穷； （D）A、B、C都有.
10. 微分方程的一个特解,应具有形式 ( )
A) B) C) D)

三、解答题：（每小题7分，共42分）
11 设，且存在，求
12. 求
13. 计算

14. 计算重积分，其中D为圆域：
15. 求的和函数及收敛范围。
16. 已知函数，试求：（1）的单调区间；
（2）的凹凸区间及拐点；（3）曲线的渐近线.
四、 证明题（本题8分）
17. 证明当时,函数 是单调增的.
五、 应用题（本题10分）
18. 在旋转椭球面上，求距平面为最近和最远的点。

高等数学模拟试题二解答

一、填空题：（每小题4分，共20分）
1．向量满足：，则 4
2．函数，当，则0.25e
3．级数的收敛域 ．
4.
5. .
二、选择题：（每小题4分，共20分）
1．若级数在处收敛，则此级数在处（ ）B
（A）条件收敛 （B）绝对收敛
（C）发散 （D）敛散性不能确定
2．设函数y = f (x)可导，且，则当时，该函数在x0处的微分是 .B
（A）Δx的等阶无穷小； （B）Δx的同阶无穷小；
（CΔx的高阶无穷小； （D）Δx的低阶无穷小
3．对于不定积分，在下列等式中正确的是 .D
（A）； （B）；
（C）； （D）.
4．的间断点类型是（ ）D
（A）可去； （B）跳跃；
（C）无穷； （D）A、B、C都有.
5. 微分方程的一个特解,应具有形式 ( )A
A) B) C) D)

三、解答题：（每小题7分，共42分）
1 设，且存在，求
解：

2. 求
解法1 利用中值定理求极限
原式
解法2 利用罗必塔法则
原式

3.

4. 计算重积分，其中D为圆域：
解：

5. 求的和函数及收敛范围。
解：，，
又时，级数收敛，故收敛区间为；
记，则有：
，；
又
，；
，又．

6. 已知函数，试求：（1）的单调区间；
（2）的凹凸区间及拐点；（3）曲线的渐近线.
解：（1）当，或时，单调减少；
当时，单调增加。
（2）当时，曲线凸；当，时，曲线凹；是曲线的拐点。
（3）水平渐近线，铅垂渐近线.

六、 证明当时,函数 是单调增的. （8分）
证 由于 , 设 ,
, 单调增.
对 有 即 单调增.

五、在旋转椭球面上，求距平面为最近和最远的点。（10分）

解：因为
设，则有
，
解得：
得点的坐标为和
把点和代入距离公式得：
，
故最近点为，最远点为．

高等数学模拟试题三

一、选择题：本大题共5小题：每小题4分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内．
1. 下列函数中,奇函数是
; ;
;
2. 当时,下列哪个是的高阶无穷小?
; ;
; .

; ;
; .

; ;
; .

A . 1; B . －1; C . 1/2; D . －1/2

二、填空题：本大题共10小题；每小题4分，共40分．把答案填在题中横线上．
.

.

.

.
.
.
.

三、计算题：本大题共4小题,每小题6分,共24分。

四、综合题：本大题共2小题，每小题8分，共16分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

附：参考答案
一、 选择题：
1.B 2.B 3.A 4.D 5.C
二、 填空题：
6.[1,+∞] 7.x 8.In2 9.y=3x-2 10.500(100x+1)4

三、 计算题：

四、 问答题：

故此广义积分发散。

故此广义积分收敛。其值为1 - ln2
21．设矩形高为h,圆半径r