概率与数理统计,第二章.doc

第一讲
Ⅰ 授课题目
第二章 随机变量及其分布
§1 随机变量 §2 离散型随机变量及其分布律
Ⅱ 教学目的与要求
1、深刻理解随机变量的意义，熟练掌握用随机变量表示随机试验的结果；
2、离散型随机变量的分布律及其表示；
3、熟记两点分布、二项分布、泊松分布的分布律或密度函数及性质。 教学方法：发现式为主，讲授式为辅，讲练案结合
Ⅲ 教学重点与难点
重点：掌握离散型随机变量及其分布律，如何用分布律求任何事件的概率。
难点：随机变量的概念及离散型随机变量的分布。
Ⅳ 讲授内容：
一、 引言
在随机试验中，人们除对某些特定事件发生的概率感兴趣外，往往还关心某个与随机试验的结果相联系的变量. 由于这一变量的取值依赖于随机试验结果，因而被称为随机变量. 与普通的变量不同，对于随机变量，人们无法事先预知其确切取值，但可以研究其取值的统计规律性. 本章将介绍两类随机变量及描述随机变量统计规律性的分布.
二、§1 随机变量
1、随机变量概念的引入
为全面研究随机试验的结果, 揭示随机现象的统计规律性, 需将随机试验的结果数量化，即把随机试验的结果与实数对应起来.
1. 在有些随机试验中, 试验的结果本身就由数量来表示.
2. 在另一些随机试验中, 试验结果看起来与数量无关,但可以指定一个数量来表示之.
例1 在将一枚硬币抛掷三次, 观察正面、反面出现情况的试验中, 其样本空间

记每次试验出现正面的总次数为随机变量, 则作为样本空间上的函数定义为

例2在抛掷一枚硬币进行打赌时, 若规定出现正面时抛掷者赢1元钱, 出现反面时输1元钱, 则其样本空间为
{正面, 反面},
记赢钱数为随机变量, 则作为样本空间的实值函数定义为

例3 在测试灯泡寿命的试验中, 每一个灯泡的实际使用寿命可能是中任何一个实数, 若用表示灯泡的寿命（小时），则是定义在样本空间上的函数，即，是随机变量.
2、随机变量的定义
定义 设随机试验的样本空间为, 是定义在样本空间上的实值单值函数，称为随机变量.
随机变量与高等数学中函数的比较:
(1) 它们都是实值函数,但前者在试验前只知道它可能取值的范围,而不能预先肯定它将取哪个值;
(2) 因试验结果的出现具有一定的概率,故前者取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率.如
例1中易见, 使取值为的样本点构成的子集为

故
类似地，有

3、引入随机变量的意义
随机变量的引入,使得随机试验中的各种事件可通过随机变量的关系式表达出来.
由此可见,随机事件这个概念实际上是包容在随机变量这个更广的概念内.也可以说,随机事件是从静态的观点来研究随机现象,而随机变量则以动态的观点来研究之.其关系类似高等数学中常量与变量的关系.
随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件. 引入随机变量后,对随机现象统计规律的研究,就由对事件及事件概率的研究转化为随机变量及其取值规律的研究,使人们可利用数学分析的方法对随机试验的结果进行广泛而深入的研究.
随机变量因其取值方式不同, 通常分为离散型和非离散型两类. 而非非离散型随机变量中最重要的是连续型随机变量. 今后，我们主要讨论离散型随机变量和连续型随机变量.
三、 §2 离散型随机变量及其分布律
1、离散型随机变量及其概率分布
有些随机变量的取值是有有限个或可列无限多个，称此随机变量为离散型随机变量。
定义 设离散型随机变量的所有可能取值为, 取各个可能值得概率，即事件称的概率，为
（2.1）
由概率的定义，满足如下两个条件：
1）； 2）（分布列的性质）
称（2.1）式为离散型随机变量为的概率分布或分布律, 也称概率函数.
常用表格形式来表示的概率分布:

例1 设一汽车在开往目的地的道路上需要经过四组信号灯，每组信号灯以1/2的概率允许或禁止汽车通过，以表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的组数（设各组信号灯的工作是相互独立的），求的分布律。
例2（加）：有一批产品共40件，其中有3件次品. 从中随机抽取5件，以表示取到次品的件数，求X的分布列.
解：随机变量X可能取到的值为0，1，23，按古典概率计算事件{}(k=0,1,2,3)的概率，得的概率分布为

或
X
0 1 2 3
p
0.6624 0.3011 0.0354 0.0011

2、常用离散分布
退化分布 两点分布 个点上的均匀分布 二项分布 几何分布 超几何分布
泊松分布：泊松分布是概率论中最重要的几个分布之一. 实际问题中许多随机现象都服从或近似服从泊松分布.
一个随机变量X以概率1取某一常数，即，则称X服从点a处的退化分布（一点分布）。

3、常见的分布
(1)两点（0-1）分布 设随机变量值可能取0与1两个值，它的分布律是
，0，1
则称服以为参数的（0—1）分布或两点分布，简记为分布.
（0—1）分布的分布律也可写成

X
0 1

1-

其中，则称服从两点分布，亦称服从（0—1）分布，简记为分布.
(2)伯努利试验、二项分布
伯努里试验：设实验E只有两个可能结果：,则称E为伯努里试验。
n重伯努里试验:设此时，将E独立重复的进行n次，则称这一串重复的独立实验为n重伯努里试验。
设X表示n重贝努里试验中事件A发生的次数，则X所有可能的取值为0，1，…，n，且相应的概率为
，0，1，…，n.
称X服从参数为n、p的二项分布，记作 易验证

显然，当=1时，二项分布就化为两点分布.可见两点分布是二项分布的特例.
两点分布、二项分布的关系及应用：
例2 按规定，某种型号电子元件的使用寿命超过1500小时的为一级品，已知某一大批产品的一级品率为0.2，现在从中随机地抽查20只，问20只元件中恰有只为一级品的概率是多少?
解：略
例3 某人进行射击，设每次射击的命中率为0.02.独立射击400次，试求至少几种两次的概率.
解：略
例4 设有80台同类型设备，各太工作是相互独立的，发生故障的概率都是0.01，且一台设备的故障能由一个人处理。考虑两种配备维修工人的方法，其一是由4人维护，没人负责20台；其二是由3人共同维护80台，试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小。
解：略
例1（加）：假设某篮球运动员投篮命中率为0.8，表示他投篮一次命中的次数，求的概率分布.
解：投篮一次只有“不中”和“命中”两个结果，命中次数只可能取0、1两个值，且概率分别为 =0.8 ，
也可表示为
X
0 1
p
0.2 0.8
例2（加）：甲、乙两名棋手约定进行10盘比赛，以赢的盘数较多者为胜. 假设每盘棋甲赢的概率都为0.6，乙赢的概率为0.4，且各盘比赛相互独立，问甲、乙获胜的概率各为多少？甲平均赢得的盘数是多少？
解：每一盘棋可看作一次贝努里试验. 设X为甲赢的盘数，则，即

按约定，甲只要赢6盘或6盘以上即可获胜. 所以
{甲获胜} =
若乙获胜， 则甲赢棋的盘数，即
.
事件“甲获胜”与“乙获胜”并不是互逆事件，因为两人还有输赢相当的可能. 容易算出：.
由于
甲平均赢得的盘数为6盘 .
例3（加）：某厂需从外地购买12只集成电路. 已知该型号集成电路的不合格率为0.1，问至少需要购买几只才能以99%的把握保证其中合格的集成电路不少于12只？
解：设需要购买n只，X表示这n只集成电路中合格品个数，则，按题意，要求事件“”的概率不小于0.99，即

可算出至少需要购买17只集成电路，才能以99%的把握保证其中合格品不少于12只.
（三）（补充）几何分布
设是一个无穷次贝努里试验序列中事件首次发生时所需的试验次数，且可能的值为而取各个值的概率为

其中，则称服从几何分布.记为.易验证

(四) 泊松分布
设随机变量所有可能取的值为0，1，2，，而取各个值的概率为

其中是常数，则称服从参数为的泊松分布，记为.易验证

定理（泊松定理）设是一个常数， 是任意正整数，设，则对于任一固定的非负整数，有

证明略
泊松定理的应用：
在实际应用中，当n比较大，p较小，而不太大时，可直接利用以下近似公式：， 其中
(iii)泊松定理的计算：
例5 计算机硬件公司制造某种特殊型号的微型芯片，次品率达0.1%，各芯片称为次品相互独立，求在1000只产品中至少有2只次品的概率，以及产品中的次品数，。
例5（加）：在500个人组成的团体中，恰有5个人的生日是元旦的概率是多少？
解：该团体中每个人的生日恰好是元旦的概率都是，则该团体中生日为元旦的人数，恰有5个人的生日是元旦的概率为

其中，满足泊松定理条件，可以用的泊松分布来近似计算：

Ⅴ 小结：
本节课介绍随机变量，掌握离散型随机变量的几个常见分布；
Ⅵ 课外作业：
P55. 1,2.3

第二讲
Ⅰ 授课题目
§3 随机变量的分布函数
Ⅱ 教学目的与要求
1、理解随机变量分布函数的概念及性质，会利用概率分布计算有关事件的概率。
Ⅲ 教学重点与难点
重点：离散型随机变量分布函数的计算。
难点：一维随机变量的分布函数
Ⅳ 讲授内容：
一、 引言
当我们要描述一个随机变量时，不仅要说明它能够取哪些值，而且还要指出它取这些值的概率. 只有这样，才能真正完整地刻画一个随机变量, 为此，我们引入随机变量的分布函数的概念.
二、 随机变量的分布函数
定义 设是一个随机变量, 是任意实数，函数

称为的分布函数.有时记作或.
分布函数的性质
1. 单调非减. 若, 则；
2. 且
3. 右连续性. 即
三、离散型随机变量的分布函数
例1 设随机变量的分布律为

求的分布函数，并求.
解：略
一般，设离散型随机变量的分布律为

则的分布函数为
由概率的可列可加性得的分布函数为
.
离散型随机变量的分布函数计算：
例2 一个靶子是半径为2cm的圆盘。设击中靶上任一同心圆【盘上的点的概率与该圆盘的面积呈正比，并设射击都能击中靶，以表示弹着点与圆心的距离，试求随机变量的分布函数。
例1（加）：有一批产品共40件，其中有3件次品. 从中随机抽取5件，以表示取到次品的件数，求X的分布列及分布函数.
解：随机变量X可能取到的值为0，1，2，3，按古典概率计算事件{}(k=0,1,2,3)的概率，得的概率分布为

或
X
0 1 2 3
p
0.6624 0.3011 0.0354 0.0011
当时，；
当时，；
当时，=0.9635；
类似地可求得：
当时，；
当时，.
故
Ⅴ 小结：
本节课介绍分布函数的概念以及离散型随机变量的分布函数；
Ⅵ 课外作业：
P57. 17,18

第三讲
Ⅰ 授课题目
§4 连续型随机变量及其概率密度
Ⅱ 教学目的与要求
1、理解一维连续型随机变量的概念、常见分布；会求连续型随机变量的分布函数。
Ⅲ 教学重点与难点
重点：掌握一维连续型随机变量及分布。
难点：求一维连续随机变量的分布函数
Ⅳ 讲授内容：
一、 连续型随机变量及其概率密度
定义 如果对于随机变量的分布函数,存在非负可积函数,使得对于任意实数有

则称为连续型随机变量, 称为的概率密度函数,简称为概率密度或密度函数
密度函数具有下述性质：
（1）非负性
（1）规范性
（3）对于任意实数

（4）
（5）若在点处连续，则有
(由式可知，对的连续点)
例1 设随机变量X具有概率密度

（1） 确定常数； (2)求 X的分布函数（3）求
解：略
例1（加）：设随机变量X的分布函数为 。
（1）求A，B ， (2)求
解;

得 ，，
=
二、常用连续型分布
均匀分布
定义 若连续型随机变量具有概率密度

则称在区间上服从均匀分布, 记为.
均匀分布的应用：
例2 设电阻值是一个随机变量，均匀分布在，求的概率密度及落在的概率。
例3（加）：某公共汽车站每隔5分钟有一辆车通过，可将车站上侯车的乘客全部运走. 设乘客在两趟车之间的任何时刻到站都是等可能的，求乘客侯车时间不超过3分钟的概率和乘客平均候车时间.
解：设乘客到达汽车站的时刻为X，他到站前最后离去公共汽车到站时刻为，将要来到的下一辆车的到站时刻为. 据题意，X服从上的均匀分布，其密度函数为

乘客侯车时间不超过3分钟的概率，即X落在区间内的概率

乘客平均候车时间
（分钟）
指数分布
定义 若连续型随机变量的概率密度为

其中为常数，则称服从参数为的指数分布.
服从指数分布的随机变量具有的性质：
对于任意，有

性质称为无记忆性。
分析略
指数分布的应用：
例4：假设某种热水器首次发生故障的时间X（单位：小时）服从指数分布，求：（1）该热水器在100小时内需要维修的概率是多少？（2）该热水器平均能正常使用多少小时？
解：X的密度函数为

（1）100小时内需要维修的概率

（2）(小时)
该热水器平均能正常使用500小时.

正态分布
定义 若连续型随机变量的概率密度为

其中和为常数, 则称服从参数为，的正态分布或高斯分布. 记为
注: 正态分布是概率论中最重要的连续型分布, 在十九世纪前叶由高斯加以推广, 故又常称为高斯分布.
一般来说，一个随机变量如果受到许多随机因素的影响，而其中每一个因素都不起主导作用（作用微小），则它服从正态分布. 这是正态分布在实践中得以广泛应用的原因. 例如, 产品的质量指标, 元件的尺寸, 某地区成年男子的身高、体重, 测量误差, 射击目标的水平或垂直偏差, 信号噪声、农作物的产量等等, 都服从或近似服从正态分布.
标准正态分布
正态分布当时称为标准正态分布, 此时, 其密度函数和分布函数常用和表示:

标准正态分布的重要性在于, 任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.
引理 若则
证明略
标准正态分布表的使用：
（1）表中给出了时的数值, 当时, 利用正态分布的对称性, 易见有

（2） 若则

（3）若, 则 故的分布函数

例3 讲一温度调节器放置在储存着某种液体的容器里，调节器整定在,液体的温度（以计）是一个随机变量，且，（1）若，求小于的概率。（2）若要求保持液体的温度至少为的概率不低于0.99，问至少为多少？
解略
例5(加)：设，求和.
解查表可得；

例6（加）：设随机变量服从正态分布，
（1）求.
（2）求常数使
解：

（2），所以
；
Ⅴ 小结：
本节课介绍分布函数的概念以及连续型随机变量的分布函数；
Ⅵ 课外作业：
P57. 17,18

第四讲
Ⅰ 授课题目
§4随机变量的函数的分布
Ⅱ 教学目的与要求
1、掌握一维随机变量函数的分布。
Ⅲ 教学重点与难点
重点：掌握一维随机变量函数的分布。
难点：一维随机变量函数的分布
Ⅳ 讲授内容：
一、 随机变量的函数
定义 如果存在一个函数, 使得随机变量满足:
,
则称随机变量是随机变量的函数.
注: 在微积分中,我们讨论变量间的函数关系时, 主要研究函数关系的确定性特征, 例如:导数、积分等.而在概率论中, 我们主要研究是随机变量函数的随机性特征, 即由自变量的统计规律性出发研究因变量的统计性规律.
一般地, 对任意区间, 令, 则

注: 随机变量与的函数关系确定,为从的分布出发导出的分布提供了可能.
二、离散型随机变量函数的分布
设离散型随机变量的概率分布为

易见, 的函数显然还是离散型随机变量.
如何由的概率分布出发导出的概率分布? 其一般方法是：先根据自变量的可能取值确定因变量的所有可能取值, 然后对的每一个可能取值确定相应的于是

从而求得的概率分布
例1 设随机变量具有以下的分布律，试求的分布律。

解略。
例1（加）已知， 求的分布列。
解：

三、 连续型随机变量函数的分布
例2设随机变量具有概率密度

求随机变量的概率密度。
解略。
例3设随机变量具有概率密度，求的概率密度。
解略。
一般地, 连续型随机变量的函数不一定是连续型随机变量, 但我们主要讨论连续型随机变量的函数还是连续型随机变量的情形, 此时我们不仅希望求出随机变量函数的分布函数, 而且还希望求出其概率密度函数.
设已知的分布函数或概率密度函数, 则随机变量函数的分布函数可按如下方法求得:

其中
而常常可由的分布函数来表达或用其概率密度函数的积分来表达:

进而可通过的分布函数, 求出的密度函数.
定理 设随机变量具有概率密度,又设函数处处可导且恒有(或恒有), 则是连续型随机变量,其概率密度为

其中是的反函数。
证明略
不妨设是严格单调上升函数，这时它的反函数也是严格单调上升函数，于是

由此得的密度为

同理可证当严格单调下降时，有

由此定理得证.
例4 设随机变量，试证明的线性函数也服从正态分布。
证明略
例5 设电压,其中是一个已知的正常数，相角是一个随机变量，且有，试求电压的概率密度。
解略。
例2（加）已知，求的概率密度。
【解】

=
例3（加）已知随机变量的概率密度为

求的概率密度。
解题步骤：
（1）求出x的有效作用范围（的范围）， 并根据 求出Y的有效作用范围[] ;
(2)当时，
当时，
当时，

（3）求出概率密度。
解：（1）时， ，;
(2)当时，
当时，
当时，

=
（3）
例4（加）设随机变量X的概率密度为

F(x)是X的分布函数. 求随机变量Y=F(X)的分布函数.
解：易见，当x<1时，F(x)=0; 当x>8 时，F(x)=1.对于，有

设G(y)是随机变量Y=F(X)的分布函数. 显然，当时，G(y)=0；当时，G(y)=1.
对于，
==
于是，Y=F(X)的分布函数为

例5（加）设随机变量的概率密度为
，
令求的概率密度
解： 设的分布函数为，即，则
1) 当时，；
2) 当时，
　　　　　　　　　　　　.
3) 当时，
　　　　　　　　　　　　.
4) 当，.
所以
　　　　.
例6（加）： 设，又，易验证这时定理3.1的条件满足，又因为的反函数为，所以有

由此可见.
Ⅴ 小结：
本节课介绍随机变量的函数的分布；
Ⅵ 课外作业：
P57-58. 21-23