2022-2023学年广东省广州市黄埔区九年级（上）期末数学试卷（含答案）.docx

2022-2023 学年广东省广州市黄埔区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.)
1．（3 分）下列关于防范“新冠肺炎”的标志中是中心对称图形的是( )

A． 戴口罩讲卫生 B． 勤洗手勤通风
C． 有症状早就医 D． 少出门少聚集
2．（3 分）“掷一枚质地均匀的骰子，向上一面点数为 6”这个事件是( )

A．随机事件 B．确定事件 C．不可能事件 D．必然事件

3．（3 分）若关于 x 的方程(m + 2)x2 - 3x + 1 = 0 是一元二次方程，则 m 的取值范围是( )

第 9页（共 28页）

A. m ¹ 0
B. m > -2
C. m ¹ -2
D. m > 0

4．（3 分）抛物线 y = (x - 3)2 + 4 的顶点坐标是( )

A． (-3, 4)
B． (-3, -4)
C． (3, 4) D． (3, -4)

5．（3 分）如图， AB 是eO 的直径， ÐABC = 45° ， AC 是eO 的切线，则ÐACB 的度数为
( )

A． 45° B． 50° C． 90° D．135° 6．（3 分）已知反比例函数 y = - 2 经过两点(1, y ) ， (2, y ) ，则( )
x 1 2

A. y1„y2
B. y1 < y2
C. y1…y2
D. y1 > y2

7．（3 分）如图，是某商店售卖的花架简图，其中 AD / / BE / /CF ，DE = 24cm ，EF = 40cm ，
BC = 50cm ，则 AB 长为( )cm ．

A． 80
3


B． 100
3


C．50 D．30

8．（3 分）关于 x 的一元二次方程 x2 + 3x + k = 0 有两个不相等的实数根，则 k 的值可能是(

)

A．2 B．3 C．4 D．5

9．（3 分）已知一次函数 y = kx + b 的图象如图，则二次函数 y = kx2 + bx 的图象大致是( )

A． B．
C． D．

10．（3 分）如图，将正六边形 ABCDEF 放置在直角坐标系内， A(-2, 0) ，点 B 在原点，点 P是正六边形的中心，现把正六边形 ABCDEF 沿 x 轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60° 经过 2022 次翻转之后，则点 P 的坐标是( )

A． (2022, 3) B． (2021, 3) C． (4043, 3) D． (4044, 3)

二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分。）
11．（3 分）已知点 A(2, -1) 与点 A¢ 关于原点对称，则点 A¢ 坐标为 ．
12．（3 分）若 2 是关于 x 的方程 x2 - c = 0 的一个根，则 c = ．
13．（3 分）如图，以点O 为位似中心，将DABC 缩小得到△ A¢B¢C¢ ，若 OA¢ = 1 ，△ A¢B¢C¢

的周长为 2，则DABC 的周长为 ．
OA 3

14．（3 分）如果二次函数 y = ax2 + bx + c(a ¹ 0) 的图象经过点(-1, 0) ，对称轴为 x = 1 ，那么一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的解为 ．
3
15．（3 分）如图，在直角三角形 ABC 中，ÐABC = 60° ，BC = ，将DABC 顺时针旋转15°得到△ A¢BC¢ ， AB 与 A¢C¢ 相交于点 E ，则 A¢E 的长为 ．（结果保留根号）

16．（3 分）定义：若一个矩形中，一组对边的两个三等分点在同一个反比例函数 y = k 的图
x
象上，则称这个矩形为“奇特矩形”．如图，在直角坐标系中，矩形 ABCD 是第一象限内的一个“奇特矩形”．且点 A(4, 2) ， D(7, 2) ，则 AB 的长为 ．

三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．（4 分）解方程： x2 - 8x + 7 = 0.2222aa

18．（4 分）如图， eO 的直径CD = 10 ， AB 是eO 的弦， AB ^ CD ，垂足为 M ，OM = 3 ，求 AB 的长．

19．（6 分）如图，已知 AB ^ BC ，EC ^ BC ，垂足分别为 B 、C ，AE 交 BC 于点 D ，AB = 12 ，
BD = 15 ， DC = 5 ，求 EC 的长．

20．（6 分）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，我国新能源汽车近几年出口量逐年增加，2020 年出口量为 20 万台，2022 年出口量增加到 45 万台．
（1） 求 2020 年到 2022 年新能源汽车出口量的年平均增长率是多少？

（2） 按照这个增长速度，预计 2023 年我国新能源汽车出口量为多少？

组别
分数段
频数（人)
频率
1
60 分以下
30
0.1
2
60„x < 70
45
0.15
3
70„x < 80
60
n
4
80„x < 90
m
0.4
5
90„x„100
45
0.15

21．（8 分）2022 年 3 月 23 日“天宫课堂”第二课正式开讲，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站进行太空授课，神奇的太空实验堪称宇宙级精彩．为此，我区某校组织九年级全体学生进行了“天宫课堂”知识竞赛，赛后对全体参赛选手的竞赛成绩进行了整理与统计，结果如表：

请根据以上信息，解答下列问题：

（1）表中 m = ， n = ；
（2竞赛结束后，九（1）班得分前 4 名的同学中，刚好有 2 名男同学和 2 名女同学，现准备从中选取两名同学宣讲“天宫课堂”知识，请用列举法求这两名同学恰好是一男一女的概 率．

22．（10 分）如图， DOAB 的三个顶点的坐标分别为O(0, 0) ， A(0, 2) ， B(3, 3) ，将DOAB 绕原点O 逆时针旋转90° 得到△ OA1B1 ．
（1） 请画出△ OA1B1 ，并写出点 B1 的坐标．

（2） 在旋转过程中，线段OB 扫过的图形恰好是一个圆锥的侧面展开图，求这个圆锥的底面圆的半径．

23．（10 分）如图，已知点 A 在反比例函数 y = k 的图象上，点 A 的横坐标为-1 ，过点 A 作
x
AB ^ x 轴，垂足为 B ，且 AB = 3BO ．
（1） 求该反比例函数的解析式；
（2） 若点 P(m, 0) 在 x 轴的正半轴上，将线段 AP 绕着点 P 顺时针旋转90° ，点 A 的对应点C
恰好落在反比例函数 y = k 在第一象限的图象上，求 m 的值．
x

24．（12 分）如图 1，eO 为DABC 的外接圆，半径为 6， AB = AC ， ÐBAC = 120° ，点 D 为优弧 B¶C 上异于 B 、C 的一动点，连接 DA 、 DB 、 DC ．
（1） 求证： AD 平分ÐBDC
（2） 如图 2， CM 平分ÐBCD ，且与 AD 交于 M ．
花花同学认为：无论点 D 运动到哪里，始终有 AM = AC ； 都都同学认为： AM 的长会随着点 D 运动而变化．
你赞同谁的观点，请说明理由．

（3） 求 DA + DB + DC 的最大值．

25．（12 分）已知抛物线 y = x2 - (2m + 2)x + m2 + 2m(m 是常数）与 x 轴交于 A ， B 两点， A

在 B 的左侧．

（1） 若抛物线的对称轴为直线 x = 2 ，求抛物线的解析式；
（2） 在（1）的条件下， C(a, -1) ， D(4, n) 是抛物线上的两点，点 P 是线段CD 下方抛物线上的一动点，连接 PC ， PD ，求DPCD 的面积最大值；
1
（3） 已知代数式 M = m2 + 5m ，记抛物线位于 x 轴下方的图象为T ，抛物线位于 x 轴上方的

图象为T2 ，将T1 沿 x 轴翻折得图象T3 ，T3 与T2 组合成的新图象记为T ，当直线 y = x + 1 与图象T 有两个交点时，结合图象求 M 的取值范围．

第 28页（共 28页）

2022-2023 学年广东省广州市黄埔区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.)
1．（3 分）下列关于防范“新冠肺炎”的标志中是中心对称图形的是( )

A． 戴口罩讲卫生 B． 勤洗手勤通风
C． 有症状早就医 D． 少出门
少聚集

【解答】解： A ．不是中心对称图形，故此选项不合题意；

B ．不是中心对称图形，故此选项不合题意；

C ．是中心对称图形，故此选项符合题意；
D ．不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选： C ．
2．（3 分）“掷一枚质地均匀的骰子，向上一面点数为 6”这个事件是( )

A．随机事件 B．确定事件 C．不可能事件 D．必然事件

【解答】解：“掷一枚质地均匀的骰子，向上一面点数为 6”这个事件是随机事件．故选： A ．
3．（3 分）若关于 x 的方程(m + 2)x2 - 3x + 1 = 0 是一元二次方程，则 m 的取值范围是( )

A. m ¹ 0
B. m > -2
C. m ¹ -2
D. m > 0

【解答】解：Q关于 x 的方程(m + 2)x2 - 3x + 1 = 0 是一元二次方程，

\ m + 2 ¹ 0 ，
解得： m ¹ -2 ． 故选： C ．

4．（3 分）抛物线 y = (x - 3)2 + 4 的顶点坐标是(
)
A． (-3, 4) B． (-3, -4)
C． (3, 4)
D． (3, -4)

【解答】解：Q y = (x - 3)2 + 4 ，
\该函数的顶点坐标是(3, 4) ， 故选： C ．
5．（3 分）如图， AB 是eO 的直径， ÐABC = 45° ， AC 是eO 的切线，则ÐACB 的度数为
( )

A． 45° B． 50° C． 90° D．135°
【解答】解：Q AC 是eO 的切线，
\ÐCAB = 90° ，
在RtDABC 中， ÐABC = 45° ，
\ÐACB = 45° ． 故选： A ．
6．（3 分）已知反比例函数 y = - 2 经过两点(1, y ) ， (2, y ) ，则( )

x 1 2

A. y1„y2
B. y1 < y2
C. y1…y2
D. y1 > y2

【解答】解：Q反比例函数 y = - 2 经过两点(1, y ) ， (2, y ) ，

x 1 2
\每个象限内 y 随 x 的增大而增大， 则 y1 < y2 ．
故选： B ．

7．（3 分）如图，是某商店售卖的花架简图，其中 AD / / BE / /CF ，DE = 24cm ，EF = 40cm ，
BC = 50cm ，则 AB 长为( )cm ．

A． 80
3
B． 100
3

C．50 D．30

【解答】解：Q AD / / BE / /CF ，
\ DE = AB ，
EF BC
即 24 = AB ，
40 50
\ AB = 30 ，
\ AB 的长是30cm ． 故选： D ．
8．（3 分）关于 x 的一元二次方程 x2 + 3x + k = 0 有两个不相等的实数根，则 k 的值可能是(

)

A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：根据题意，得：△ = 32 - 4 ´1´ k > 0 ， 解得 c < 9 ，
4
故选： A ．

9．（3 分）已知一次函数 y = kx + b 的图象如图，则二次函数 y = kx2 + bx 的图象大致是( )

A． B．

C． D．
【解答】解：由一次函数 y = kx + b 的图象可得，
k < 0 ， b < 0 ，
\二次函数 y = kx2 + bx 的图象开口向下，对称轴为 x = - b
2k


< 0 ，

故选： A ．
10．（3 分）如图，将正六边形 ABCDEF 放置在直角坐标系内， A(-2, 0) ，点 B 在原点，点 P是正六边形的中心，现把正六边形 ABCDEF 沿 x 轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60° ，经过 2022 次翻转之后，则点 P 的坐标是( )

A． (2022, 3) B． (2021, 3) C． (4043, 3) D． (4044, 3)

【解答】解：由题意可知：

第一次翻转，中点 P 移动到点C 的位置，点 A 移动到点 P 的位置连接 PC ，与 y 轴交于点Q ， 过点 P 作 PG ^ x 轴，垂足为G ，

Q A(-2, 0) ，
\OA = OP = OC = 2 ， 由正六边形可知：
ÐAOC = (6 - 2) ´180° = 120° ， ÐPOG = 60° ， ÐPOC = 60°
6

3
\DPOC 是等边三角形， GO = 1 ， PG = ，

\ PC = 2 ， PQ = CQ = 1， P(-1, 3) ，

\第一次翻转，点 P 的横坐标增加 2，纵坐标不变，

\经过 2022 次翻转之后，点 P 的坐标是(-1 + 2 ´ 2022, 3) ，

即(4043, 3) ，

故选： C ．
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分。）
11．（3 分）已知点 A(2, -1) 与点 A¢ 关于原点对称，则点 A¢ 坐标为 (-2,1) ．
【解答】解：Q点 A(2, -1) 与点 A¢ 关于坐标原点对称，
\点 A¢ 的坐标为(-2,1) ． 故答案为： (-2,1) ．
12．（3 分）若 2 是关于 x 的方程 x2 - c = 0 的一个根，则 c = 4 ．
【解答】解：把 x = 2 代入方程 x2 - c = 0 得 4 - c = 0 ， 解得 c = 4 ．
故答案为：4．
13．（3 分）如图，以点O 为位似中心，将DABC 缩小得到△ A¢B¢C¢ ，若 OA¢ = 1 ，△ A¢B¢C¢
OA 3
的周长为 2，则DABC 的周长为 6 ．

【解答】解：Q以点O 为位似中心，将DABC 缩小后得到△ A¢B¢C¢ ，

\△ A¢B¢C¢∽DABC ，

\ A¢B¢ = OA¢ = 1 ，
AB OA 3
\△ A¢B¢C¢ 与DABC 的周长比为1: 3 ，
Q△ A¢B¢C¢ 的周长为 2，
\DABC 的周长为故答案为：6． 故答案为：6．
14．（3 分）如果二次函数 y = ax2 + bx + c(a ¹ 0) 的图象经过点(-1, 0) ，对称轴为 x = 1 ，那么

一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的解为 x = -1 ， x = 3 ．
1 2

【解答】解：Q抛物线与 x 轴的一个交点坐标为(-1, 0) ， 而抛物线的对称轴为 x = 1
\抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为(3, 0) ，

\一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的解为 x = -1 ， x = 3 ．
1 2

故答案为： x1 = -1 ， x2 = 3 ．

3
15．（3 分）如图，在直角三角形 ABC 中，ÐABC = 60° ，BC = ，将DABC 顺时针旋转15°

3
得到△ A¢BC¢ ， AB 与 A¢C¢ 相交于点 E ，则 A¢E 的长为 3 -

3
【解答】解：在直角三角形 ABC 中， ÐABC = 60° ， BC = ，
 ．（结果保留根号）

3
\ AC = tan ÐABC × BC = 3 ´ = 3 ，

由题意得ÐCBC¢ = 15° ， ÐC = ÐC¢ = 90° ， A¢C¢ = 3 ，
QÐABC = 60° ，
\ÐC¢BE = 45° ，
\ÐBEC¢ = 45° ，

3
\ EC¢ = BC¢ = ，

3
\ A¢E = A¢C¢ - EC¢ = 3 - ．

3
故答案为： 3 - ．
16．（3 分）定义：若一个矩形中，一组对边的两个三等分点在同一个反比例函数 y = k 的图
x
象上，则称这个矩形为“奇特矩形”．如图，在直角坐标系中，矩形 ABCD 是第一象限内的

一个“奇特矩形”．且点 A(4, 2) ， D(7, 2) ，则 AB 的长为 9 或 1 ．
5 3
【解答】解：点 A(4, 2) ， D(7, 2) ， 矩形 ABCD 中， BC = AD = 3 ，
设 AB = m ，则CD = m ，

: B(
)4 ， 2 - m) ， C(7, 2 - m) ，

因为反比例函数图象的一支在第一象限，故 k > 0 ， 当反比例函数图象经过 AB 和CD 的三等分点时，
\反比例函数经过(4 ， 2 - 1 m)(7 ， 2 - 2 m) ，
3 3
\ 4(2 - 1 m) = 7(2 - 2 m) ，
3 3
解得 m = 9 ，
5
当反比例函数图象经过 AD 和 BC 的三等分点时，反比例函数经过(5, 2) 和(6 ， 2 - m ) ， 可得： 6(2 - m ) = 5 ´ 2 ，
解得 m = 1 ，
3

故 AB 的长为

9
9 或 1 ．
5 3
1

故答案为： 或 ．
5 3
三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．（4 分）解方程： x2 - 8x + 7 = 0.2222aa

【解答】解：
分解因式可得(x -1)(x - 7) = 0 ，
\ x - 1 = 0 或 x - 7 = 0 ，
\ x = 1 或 x = 7 ．
18．（4 分）如图， eO 的直径CD = 10 ， AB 是eO 的弦， AB ^ CD ，垂足为 M ，OM = 3 ，求 AB 的长．

【解答】解：连接OA ，

QeO 的直径CD = 10 ，
\OA = 5 ，
Q AB ^ CD ，且CD 为eO 的直径，
\DAOM 是直角三角形，且 AB = 2AM ，

OA2 - OM 2
\ AM =

\ AB = 8 ．
= 4 ，

19．（6 分）如图，已知 AB ^ BC ，EC ^ BC ，垂足分别为 B 、C ，AE 交 BC 于点 D ，AB = 12 ，
BD = 15 ， DC = 5 ，求 EC 的长．

【解答】解：Q AB ^ BC ， EC ^ BC ，
\ÐC = ÐB = 90° ，
QÐCDE = ÐBDA ，
\DDCE∽DDBA ，
\ DC = EC ，
BD AB
Q AB = 12 ， BD = 15 ， DC = 5 ，
\ 5 = EC ，
15 12
\ EC = 4 ．
20．（6 分）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，我国新能源汽车近几年出口量逐年增加，2020 年出口量为 20 万台，2022 年出口量增加到 45 万台．
（1） 求 2020 年到 2022 年新能源汽车出口量的年平均增长率是多少？

（2） 按照这个增长速度，预计 2023 年我国新能源汽车出口量为多少？

【解答】解：（1）设年平均增长率为 x，根据题意可列方程：20（1+x）2＝45，
解得：x1＝0.5，x2＝﹣2.5（不合题意舍去），
答：2020 年到 2022 年新能源汽车出口量的年平均增长率是 50%；

（2）由（1）得，45×（1+50%）＝67.5（万），

答：预计 2023 年我国新能源汽车出口量为 67.5 万辆．

组别
分数段
频数（人)
频率

21．（8 分）2022 年 3 月 23 日“天宫课堂”第二课正式开讲，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站进行太空授课，神奇的太空实验堪称宇宙级精彩．为此，我区某校组织九年级全体学生进行了“天宫课堂”知识竞赛，赛后对全体参赛选手的竞赛成绩进行了整理与统计，结果如表：

1
60 分以下
30
0.1
2
60„x < 70
45
0.15
3
70„x < 80
60
n
4
80„x < 90
m
0.4
5
90„x„100
45
0.15
请根据以上信息，解答下列问题：

（1）表中 m = 120 ， n = ；
（2）竞赛结束后，九（1）班得分前 4 名的同学中，刚好有 2 名男同学和 2 名女同学，现准备从中选取两名同学宣讲“天宫课堂”知识，请用列举法求这两名同学恰好是一男一女的概 率．
【解答】解：（1）由题意可知：总人数为30 ¸ 0.1 = 300 （人) ，
所以 m = 300 ´ 0.4 = 120 （人) ， n = 60 ¸ 300 = 0.2 ， 故答案为：120，0.2；

（2）根据题意画出树状图如下：

一共有 12 种情况，恰好是 1 男 1 女的情况有 8 种，
\这 2 名同学恰好是一男一女的概率为： 8 = 2 ．
12 3
22．（10 分）如图， DOAB 的三个顶点的坐标分别为O(0, 0) ， A(0, 2) ， B(3, 3) ，将DOAB 绕原点O 逆时针旋转90° 得到△ OA1B1 ．
（1） 请画出△ OA1B1 ，并写出点 B1 的坐标．

（2） 在旋转过程中，线段OB 扫过的图形恰好是一个圆锥的侧面展开图，求这个圆锥的底面圆的半径．

【解答】解：（1）如图，△ OA1B1 即为所求，点 B1 的坐标(-3, 3) ．
（2）设这个圆锥的底面圆的半径为 r ，则有pr = 90p´ 3 2 ，
180

3 2
2
\ r = ．

23．（10 分）如图，已知点 A 在反比例函数 y = k 的图象上，点 A 的横坐标为-1 ，过点 A 作
x
AB ^ x 轴，垂足为 B ，且 AB = 3BO ．
（1） 求该反比例函数的解析式；
（2） 若点 P(m, 0) 在 x 轴的正半轴上，将线段 AP 绕着点 P 顺时针旋转90° ，点 A 的对应点C
恰好落在反比例函数 y = k 在第一象限的图象上，求 m 的值．
x

【解答】解：（1）Q点 A 的横坐标为-1 ，
\OA = 1 ，
Q AB ^ x 轴，垂足为 B ，且 AB = 3BO ，
\ AB = 3 ，
\ A(-1, -3) ，
Q点 A 在反比例函数 y = k 的图象上，
x
\ k = -1´ (-3) = 3 ，
\该反比例函数的解析式为 y = 3 ；
x
（2）将线段 AP 绕着点 P 顺时针旋转90° ，点 A 的对应点C 恰好落在反比例函数 y = k 在第
x
一象限的图象上， 过点C 作CD ^ x 轴交于点 D ，设点 P(a, 0) ，

QÐPAB + ÐBPA = 90° ， ÐBPA + ÐCPD = 90° ，
\ÐCPD = ÐPAB ，
QÐABP = ÐCDP = 90° ， PA = PC ，
\DPAB @ DCPD (AAS ) ，
\ PD = AB = 3 ， DC = PB = a + 1 ，
\OD = a - 3 ，
则点C 的坐标为(a - 3, a + 1) ， 则(a - 3)(a + 1) = 3 ，
7
解得： a = 1 + （负值已舍去）．

7
\点 P 坐标为(1 + ， 0) ．

24．（12 分）如图 1，eO 为DABC 的外接圆，半径为 6， AB = AC ， ÐBAC = 120° ，点 D 为优弧 B¶C 上异于 B 、C 的一动点，连接 DA 、 DB 、 DC ．

（1） 求证： AD 平分ÐBDC ；
（2） 如图 2， CM 平分ÐBCD ，且与 AD 交于 M ．
花花同学认为：无论点 D 运动到哪里，始终有 AM = AC ； 都都同学认为： AM 的长会随着点 D 运动而变化．
你赞同谁的观点，请说明理由．

（3） 求 DA + DB + DC 的最大值．

【解答】（1）证明：Q AB = AC ，
\ ¶AB = ¶AC ，

\ÐBDA = ÐADC ，
\ AD 平分ÐBDC ；
（2） 解：贽同花花的观点，理由如下： 如图，连接 BC ，
Q CM 平分ÐBCD ， AD 平分ÐBDC ，
\ÐBCM = ÐDCM ， ÐBDA = ÐADC ，
QÐACB = ÐBDA ，
\ÐACB = ÐADC ，
\ÐAMC = ÐADC ÐDCM = ÐACB + ÐBCM = ÐACM ，
\ AC = AM ，
\无论点 D 运动到哪里，始终有 AM = AC ；

（3） 解：如图，在 AD 右侧作ÐDAE = 120° ，与 DC 延长线交于点 E ，过点 A 作 AF ^ CD 于点 F ，

Q ÐBAC = 120° ，
\ÐBDC = 180° - ÐBAC = 60° ，
\ÐADC = 30° ，

\ÐE = ÐADC = 30° ，
\ AD = AE ，
QÐBAD + ÐDAC = ÐDAC + ÐCAE = 120° ，
\ÐBAD = ÐCAE ， 在DABD 和DACE 中，
ì AD = AE
í
ïÐBAD = ÐCAE,
î
ï AB = AC

\DABD @ DACE (SAS ) ，
\ BD = CE ，
\ BD + CD = CE + CD = DE ，
Q AF ^ CD ，
\ DE = 2DF ，
在RtDADF 中， ÐADC = 30° ，
\ AD = 2 AF ，

\ AD2 = AF 2 + DF 2 ，即 AD2 = ( 1
2

AD)

2 + DF 2 ，

\ DF =
3 AD ，
2

\ DE = 2DF =
3AD ，

\ DA + DB + DC = DE + AD = ( 3 + 1)AD ，

当 AD 为直径时， AD 取得最大值，即 AD = 12 ，

3
\ DA + DB + DC 的最大值为12( +1) = 12 3 +12 ．

25．（12 分）已知抛物线 y = x2 - (2m + 2)x + m2 + 2m(m 是常数）与 x 轴交于 A ， B 两点， A

在 B 的左侧．

（1） 若抛物线的对称轴为直线 x = 2 ，求抛物线的解析式；
（2） 在（1）的条件下， C(a, -1) ， D(4, n) 是抛物线上的两点，点 P 是线段CD 下方抛物线上的一动点，连接 PC ， PD ，求DPCD 的面积最大值；
1
（3） 已知代数式 M = m2 + 5m ，记抛物线位于 x 轴下方的图象为T ，抛物线位于 x 轴上方的

图象为T2 ，将T1 沿 x 轴翻折得图象T3 ，T3 与T2 组合成的新图象记为T ，当直线 y = x + 1 与图

象T 有两个交点时，结合图象求 M 的取值范围．
【解答】解：（1）Q抛物线的对称轴为直线 x = 2 ，
\ x = - -(2m + 2) = 2 ，
2
解得 m = 1，

\抛物线的解析式为： y = x2 - 4x + 3 ；

（2）当 y = -1 时， x2 - 4x + 3 = -1 ，解得 x = 2 ，

\C(2, -1) ，

当 x = 4 时， y = 42 - 4 ´ 4 + 3 = 3 ，

\ D(4, 3) ，
\直线CD 的解析式为： y = 2x - 5 ，
过点 P 作 PQ / / y 轴交CD 于点Q ，如图 1，

设点 P 的横坐标为t ，

\ P(t,t2 - 4t + 3) ， Q(t, 2t - 5) ，

\QP = 2t - 5 - (t2 - 4t + 3) = -t2 + 6t - 8 ，

\ SDPCD
= 1 (x
2
D - xC
) × QP

= 1 ´ (4 - 2)(-t 2 + 6t - 8)
2
= -t 2 + 6t - 8

= -(t - 3)2 +1 ，

\当t = 3 时， SDPCD 的最大值为 1；

（3）Q y = x2 - (2m + 2)x + m2 + 2m = (x - m)(x - m - 2) ，

\ A(m, 0) ， B(m + 2, 0) ，
根据题意可知，当点 B 在直线 y = x + 1 上时， m = -3 ，此时 y = x + 1 与图象T 有无交点，如

图 2（1），
随 着 m 的 增 大 ， 图 象 T 与 直 线

y = x + 1


有 两 个 交 点 ， 如 图 2 （ 2 ），

当 y = x + 1 过点 A ，图象T 与直线 y = x + 1 有两个交点，如图 2（3），此时 m = -1 ，
\当-3 < m„-1 时，图象T 与 y = x + 1 有两个交点；

当 m 继续增大，图象T 与 y = x + 1 有四个交点，当 y = x + 1 与图象T3 相切，如图 2（4），

3
由对称可知，图象T 所对应的解析式为： y = -x2 + (2m + 2)x - m2 - 2m ， 令-x2 + (2m + 2)x m2 - 2m = x + 1，整理得 x2 - (2m + 1)x + m2 + 2m + 1 = 0 ，
令△ = 0 ，即(2m + 1)2 - 4(m2 + 2m + 1) = 0 ，
解得 m = - 3 ，
4
当 m 继续增大时，图象T 与直线 y = x + 1 有两个交点，符合题意；
综上， -3 < m„-1 或 m > - 3 ；
4
Q M = m2 + 5m = (m + 5 )2 - 25 ，
2 4
\当 m < - 5 ， M 随 m 的增大而减小，当 m… - 5 ， M 随 m 的增大而增大，
2 2
\当 m = - 5 ， M 的最小值为- 25 ；
2 4
当 x = -3 时， M 的值为-6 ； 当 x = -1 时， M 的值为-4 ；
当 x = - 3 时， M 的值为- 51 ．
4 16
由二次函数的性质可知， M 的取值范围为： - 25 „M„ - 4 或 M > - 51 ．
4 16