2021-2022学年广东省广州市荔湾区九年级（上）期末数学试卷（含答案）.docx

2021-2022 学年广东省广州市荔湾区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共 10 小题。每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．（3 分）下列图形中，不是中心对称图形的是( )

A． B． C． D．

2．（3 分）若关于 x 的方程(m -1)x2 + mx -1 = 0 是一元二次方程，则 m 的取值范围是( )

第 9页（共 31页）

A. m ¹ 1
B. m = 1
C. m > 1

D. m ¹ 0

3．（3 分）从拼音“ shuxue ”中随机抽取一个字母，抽中字母u 的概率为( )

A. 1
3
B. 1
4
C. 1
5
D. 1
6

4．（3 分）正十边形的中心角是( )

A．18° B． 36° C． 72° D．144°

5．（3 分）将抛物线 y = 3x2 的图象先向右平移 2 个单位，再向上平移 5 个单位后，得到的抛物线解析式是( )

A． y = 3(x - 2)2 - 5
B． y = 3(x - 2)2 + 5
C． y = 3(x + 2)2 - 5
D． y 3(x + 2)2 + 5

6．（3 分）一个不透明的盒子中有 100 个红色小球，10 个白色小球，1 个黄色小球，现从中随机取出一个球，下列事件是不可能事件的是( )
A．取出的是红色小球 B．取出的是白色小球

C．取出的是黄色小球 D．取出的是黑色小球
7．（3 分）已知eO 半径为 4，圆心O 在坐标原点上，点 P 的坐标为(3, 4) ，则点 P 与eO 的位置关系是( )
A．点 P 在eO 内 B．点 P 在eO 上 C．点 P 在eO 外 D．不能确定
8．（3 分）某超市销售一种饮料．平均每天可售出 100 箱，每箱利润 12 元．为了扩大销售，

增加利润，超市准备适当降价．据测算，若每箱降价 1 元，每天可多售出 20 箱．若要使每天销售饮料获利 1400 元，设每箱降价的价钱为 x 元，则根据题意可列方程( )

A． (12 - x)(100 + 20x) = 1400
C． (12 - x)(100 - 20x) = 1400
B． (12 + x)(100 + 20x) = 1400
D． (12 + x)(100 - 20x) = 1400

9．（3 分）如图，将 DABC 绕点C 顺时针旋转a得到DDEC ，此时点 D 落在边 AB 上，且 DE
垂直平分 BC ，则 AC 的值是( )
DE

A. 1
3
B. 1
2
C. 3
5
D. 2

10．（3 分）已知抛物线 y = ax2 + bx + c(a ， b ， c 为常数且 a ¹ 0) 经过 P (1, y ) ， P (2, y ) ，
1 1 2 2

P3 (3, y3 ) ， P4 (4, y4 ) 四点．若 y1 < y2 < y3 ，则下列说法中正确的是( )

A. 若 y4 > y3 ，则 a > 0
B. 对称轴不可能是直线 x = 2.7

C. y1 < y4
D. 3a + b < 0

二、填空题（本大题共 6 小题。每小题 3 分，共 18 分。）
11．（3 分）在平面直角坐标系中，点 P(-10, a) 与点Q(b,1) 关于原点对称，则 a + b = ．

12．（3 分）若关于 x 的一元二次方程 x2 - 2x + k = 0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 ．

13．（3 分）在一个不透明的口袋中装有 5 个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在 0.25 附近，则估计口袋中白球大约有 个．

14．（3 分）飞机着陆后滑行的距离 y （单位：米）关于滑行时间t （单位：秒）的函数解析式是 y = 60t -1.5t2 ，则飞机从开始滑行到完全停下来总共用时 秒．

15．（3 分）如图所示，矩形纸片 ABCD 中， AD = 12cm ，把它分割成正方形纸片 ABFE 和矩形纸片 EFCD 后，分别裁出扇形 ABF 和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧
面，则圆锥的表面积为 cm2 ．（结果保留p)

16．（3 分）如图所示，ABCD 是边长为 2 的正方形，点 E ，F 分别为边 BC ，CD 上动点（点

E 不与 B ， C 重合，点 F 不与C ， D 重合），且ÐEAF = 45° ，下列说法：
①点 E 从 B 向C 运动的过程中， DCEF 的周长始终不变；
②以 A 为圆心，2 为半径的圆一定与 EF 相切；

2
③ DAEF 面积有最小值 ；

④ DCEF 的面积最大值小于 2 ．
2
其中正确的有 ．（填写序号）

三、解答题（本大题共 9 小题，共 72 分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤）

17．（4 分）解一元二次方程： x2 - 2x - 3 = 0 ．

18．（4 分）如图，在平面直角坐标系中， DABC 的顶点均在格点上， A(1, 0) 、 B(2, -2) ，

C(4, -1) ．将DABC 绕坐标原点O 顺时针旋转90° 得到△ A1 B1C1 ．

（1） 画出△ A1 B1C1 ；

（2） 求点C 在旋转过程中运动的路径长．（结果保留p)

19．（6 分）如图所示，eO 的弦 BD ，CE 所在直线相交于点 A ，若 AB = AC ，求证：BD = CE ．

20．（6 分）如图，抛物线 y = x2 + bx + c 与 x 轴交于 A(-3, 0) 、B 两点，与 y 轴交于点C(0, -3) ．

（1） 求抛物线的解析式；
（2） 结合图形，求 y > 0 时自变量 x 的取值范围．

21．（8 分）一只箱子里共 3 个球，其中 2 个白球，1 个红球，它们除颜色外均相同．

（1） 从箱子中任意摸出一个球是白球的概率是多少？

（2） 从箱子中任意摸出一个球，不将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球，求两次摸出的球 都是白球的概率，并画出树状图或列出表格．

22．（10 分）受各方面因素的影响，最近两年来某市平均房价由 40000 元/ 平方米，下降到

32400 元/ 平方米．
（1） 求房价年平均下降率；

（2） 按照这个年平均下降率，预计下一年该市的平均房价每平方米多少元？

23．（10 分）如图，四边形 ABCD 中， ÐA = ÐB = 90° ，以CD 为直径的eO 与边 AB 相切于点 E ．
（1） 求作eO ，并标出点 E （尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2） 连接CE ，求证： CE 平分ÐBCD ；
（3） 若 BC = 5 ， AB = 6 ，求CD 的长．

24．（12 分）已知抛物线G : y = mx2 - (4m + 2)x + 4m + 1(m ¹ 0) 经过定点 A ，直线l : y = kx + b

经过点 A 和抛物线G 的顶点 B ．
（1） 求点 A 的坐标；

（2） 求直线l 的解析式；

（3） 已知点 P 为抛物线G 上的一点，且DPAB 的面积为 2．若满足条件的点 P 有且只有 3
个，求抛物线的顶点 B 的坐标．

25．（12 分）如图 1， ABCD 是边长为 4 的正方形，以 B 为圆心的eB 与 BC ， BA 分别交于点 E ， F ，连接 EF ，且 EF = 4 ．
（1） 求 BE 的长；

（2） 在平面内将图 1 中DBEF 绕点 B 顺时针旋转360° ，在旋转的过程中，
①求ÐCDE 的取值范围；
②如图 2，取 DE 的中点G ，连接CG 并延长交直线 DF 于点 H ，点 P 为正方形内一动点， 试求 PH + PA + PB 的最小值．

2021-2022 学年广东省广州市荔湾区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共 10 小题。每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．（3 分）下列图形中，不是中心对称图形的是( )

A． B． C． D．

【分析】根据中心对称图形的概念求解．

【解答】解： A 、是中心对称图形，故本选项错误；

B 、是中心对称图形，故本选项错误； C 、是中心对称图形，故本选项错误； D 、不是中心对称图形，故本选项正确．
故选： D ．

【点评】本题考查了中心对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转180° ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
2．（3 分）若关于 x 的方程(m -1)x2 + mx -1 = 0 是一元二次方程，则 m 的取值范围是( )

A. m ¹ 1
B. m = 1
C. m > 1
D. m ¹ 0

【分析】根据一元二次方程的定义解答即可．

【解答】解：Q关于 x 的方程(m -1)x2 + mx -1 = 0 是一元二次方程，

\ m - 1 ¹ 0 ， 解得： m ¹ 1 ． 故选： A ．
【点评本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是 2 的整式方程，叫一元二次方程． 3．（3 分）从拼音“ shuxue ”中随机抽取一个字母，抽中字母u 的概率为( )

A. 1
3
B. 1
4
C. 1
5
D. 1
6

【分析】“ shuxue ”中共有 6 个字母， u 有 2 个，根据概率公式可得答案．
【解答】解：Q单词“ shuxue ”，共 6 个字母， u 有 2 个，

\抽中l 的概率为 2 = 1 ，
6 3
故选： A ．

【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率= 所求情况数与总情况数之比．
4．（3 分）正十边形的中心角是( )

A．18° B． 36° C． 72° D．144°
【分析】根据正多边形的圆心角定义可知：正 n 边形的圆中心角为： 360° ，则代入求解即
10
可．
【解答】解：正十边形的中心角为： 360° = 36° ．
10
故选： B ．

【点评】此题考查了正多边形的中心角的知识．题目比较简单，注意熟记定义．

5．（3 分）将抛物线 y = 3x2 的图象先向右平移 2 个单位，再向上平移 5 个单位后，得到的抛物线解析式是( )

第 32页共 31页）

A． y = 3(x - 2)2 - 5
B． y = 3(x - 2)2 + 5
C． y = 3(x + 2)2 - 5
D． y = 3(x + 2)2 + 5

【分析】首先确定抛物线 y = 3x2 的顶点坐标，再确定平移后的抛物线顶点坐标，然后可得答案．
【解答】解：抛物线 y = 3x2 的顶点坐标为(0, 0) ，

Q先向右平移 2 个单位，再向上平移 5 个单位，
\新的抛物线顶点坐标为(2,5) ，
\新抛物线的解析式为： y = 3(x - 2)2 + 5 ， 故选： B ．

【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，关键是掌握平移的规律：左加右减，上 加下减．
6．（3 分）一个不透明的盒子中有 100 个红色小球，10 个白色小球，1 个黄色小球，现从中随机取出一个球，下列事件是不可能事件的是( )
A．取出的是红色小球 B．取出的是白色小球

C．取出的是黄色小球 D．取出的是黑色小球

【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的定义判断即可．

【解答】解：一个不透明的盒子中有 100 个红色小球，10 个白色小球，1 个黄色小球，现从中随机取出一个球，
可能取出的是红色小球，也可能取出的是白色小球，也可能取出的是黄色小球， 不可能取出的是黑色小球，
所以：取出的是黑色小球是不可能事件， 故选： D ．
【点评】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的定义是解题的 关键．
7．（3 分）已知eO 半径为 4，圆心O 在坐标原点上，点 P 的坐标为(3, 4) ，则点 P 与eO 的
位置关系是( )
A．点 P 在eO 内 B．点 P 在eO 上 C．点 P 在eO 外 D．不能确定
【分析】先根据勾股定理求出OP 的长，再与eO 的半径为 5 相比较即可．
【解答】解：Q P 的坐标为(3, 4) ，

32 + 42
\OP = = 5 ．

QeO 的半径为 4， 5 > 4 ，
\点 P 在eO 外． 故选： C ．
【点评】本题考查点与圆的位置关系，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是熟知点与圆 的三种位置关系．
8．（3 分）某超市销售一种饮料．平均每天可售出 100 箱，每箱利润 12 元．为了扩大销售，

增加利润，超市准备适当降价．据测算，若每箱降价 1 元，每天可多售出 20 箱．若要使每天销售饮料获利 1400 元，设每箱降价的价钱为 x 元，则根据题意可列方程( )

A． (12 - x)(100 + 20x) = 1400
C． (12 - x)(100 - 20x) = 1400
B． (12 + x)(100 + 20x) = 1400
D． (12 + x)(100 - 20x) = 1400

【分析】设每箱降价的价钱为 x 元，则每箱的利润为(12 - x) 元，每天的销售量为(100 + 20x) 箱，根据每天销售饮料获得的利润= 每箱的利润´ 日销售量，即可得出关于 x 的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设每箱降价的价钱为 x 元，则每箱的利润为(12 - x) 元，每天的销售量为
(100 + 20x) 箱，

依题意，得(12 - x)(100 + 20x) = 1400 ． 故选： A ．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方

程是解题的关键．

9．（3 分）如图，将 DABC 绕点C 顺时针旋转a得到DDEC ，此时点 D 落在边 AB 上，且 DE
垂直平分 BC ，则 AC 的值是( )
DE

A. 1
3
B. 1
2
C. 3
5
D. 2

【分析】根据旋转的性质和线段垂直平分线的性质证明DDCF∽DDEC ，对应边成比例即可解决问题．
【解答】解：如图，设 DE 与 BC 交于点 F ，

由旋转可知： CA = CD ， AB = DE ， BC = EC ， ÐB = ÐE ，
Q DE 垂直平分 BC ，
\ DF ^ BC ， DC = DB ， CF = BF = 1 BC = 1 EC ，
2 2
\ÐDCB = ÐB = ÐE ，
QÐDCB + ÐFDC = 90° ，
\ÐE + ÐFDC = 90° ，
\ÐDCE = 90° ，
\DDCF∽DDEC ，
\ CD = CF = 1 ，
DE CE 2

\ AC = 1 ．
DE 2
故选： B ．

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，旋转的性质，解决 本题的关键是得到DDCF∽DDEC ．
10．（3 分）已知抛物线 y = ax2 + bx + c(a ， b ， c 为常数且 a ¹ 0) 经过 P (1, y ) ， P (2, y ) ，
1 1 2 2

P3 (3, y3 ) ， P4 (4, y4 ) 四点．若 y1 < y2 < y3 ，则下列说法中正确的是( )

A. 若 y4 > y3 ，则 a > 0
B. 对称轴不可能是直线 x = 2.7

C. y1 < y4
D. 3a + b < 0

【分析】根据题意判定抛物线开口方向，对称轴的位置，然后根据点到对称轴的距离的大小 即可判断．
【解答】解：当 a < 0 时，抛物线开口向下，

当 x < - b
2a

时， y 随 x 增大而增大，

若 a < 0 ， 4 < - b
2a
\选项 A 错误．

时， y
4 > y3 ，

当对称轴为直线 x = 2.7 时， 3 - 2.7 < 2.7 - 2 < 4 - 2.7 < 2.7 - 1 ， 若 a > 0 则 y3 < y2 ，不符题意，
若 a < 0 则 y3 > y2 > y4 > y1 ，符合题意，

\选项 B 错误．
若 a > 0 ，当抛物线对称轴为直线 x = 1 + 2 = 1.5 时， y = y



< y ，

2
\对称轴直线 x = h < 1.5 时满足题意， 此时 4 - 1.5 > 1.5 - 1
\ y4 > y1 ，
1 2 3

若 a < 0 ，当抛物线对称轴为直线 x = h = 2 + 3 = 2.5 时， y = y

> y = y ，

当 h > 2.5 时 y4 > y1 ，

\选项C 正确．
2 3 2 4 1

Q y1 < y2 ，

\ a + b + c < 4a + 2b + c ，
\3a + b > 0 ，
\选项 D 错误． 故选： C ．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，判定对称轴的位置是 解题的关键．
二、填空题（本大题共 6 小题。每小题 3 分，共 18 分。）
11．（3 分）在平面直角坐标系中，点 P(-10, a) 与点Q(b,1) 关于原点对称，则 a + b = 9 ．
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出 a ， b 的值进而得出答案．
【解答】解：Q点 P(-10, a) 与点Q(b,1) 关于原点对称，
\b = 10 ， a = -1 ， 则 a + b = -1 + 10 = 9 ． 故答案为：9．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确得出 a ， b 的值是解题关键． 12．（3 分）若关于 x 的一元二次方程 x2 - 2x + k = 0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 k < 1 ．
【分析】根据根的判别式的意义得到(-2)2 - 4k > 0 ，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得△ = (-2)2 - 4 ´ k > 0 ， 解得 k < 1 ．
故答案为： k < 1 ．

【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2 + bx + c = 0(a ¹ 0) 的根与△ = b2 - 4ac 有

如下关系，当△ > 0 时，方程有两个不相等的实数根；当△ = 0 时，方程有两个相等的实数根；当△ < 0 时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
13．（3 分）在一个不透明的口袋中装有 5 个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在 0.25 附近，则估计口袋中白球大约有 15 个．
【分析】由摸到红球的频率稳定在 0.25 附近得出口袋中得到红色球的概率，进而求出白球

个数即可．

【解答】解：设白球个数为： x 个，
Q摸到红色球的频率稳定在 0.25 左右，
\口袋中得到红色球的概率为 0.25，
\ 5 = 1 ，

x + 5 4
解得： x = 15 ，
即白球的个数为 15 个， 故答案为：15．
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是 解题关键．
14．（3 分）飞机着陆后滑行的距离 y （单位：米）关于滑行时间t （单位：秒）的函数解析

式是 y = 60t -1.5t2 ，则飞机从开始滑行到完全停下来总共用时 20 秒．

【分析】根据二次函数的解析式求得其对称轴即可得答案．

【解答】解：Q当 s = 0 时， 60t -1.5t 2 = 0 ， 解得： t = 40 或t = 0 ，
\飞机着陆后从开始滑行到完全停止所用的时间是 40 + 0 = 20 （秒) ，
2
故答案为：20．

【点评】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．

15．（3 分）如图所示，矩形纸片 ABCD 中， AD = 12cm ，把它分割成正方形纸片 ABFE 和矩形纸片 EFCD 后，分别裁出扇形 ABF 和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧
面，则圆锥的表面积为 20p cm2 ．（结果保留p)

【分析】求出圆锥底面半径和扇形 ABF 的半径，再根据圆锥表面积的计算方法，求出底面积、侧面积即可．

【解答】解：设圆锥的底面半径为 xcm ，则扇形 ABF 的半径为(12 - 2 x)cm ， 由题意得，
2px = 90p(12 - 2x) ，
180
解得 x = 2 ，
即圆锥的底面半径为 2cm ， AB = BF = 12 - 4 = 8cm ，
\圆锥的底面积为p´ 22 = 4p(cm2 ) ，侧面积为 1p´ 82 = 16p(cm2 ) ，
4

\圆锥的表面积为 4p+16p= 20p(cm2 ) ， 故答案为： 20p．
【点评】本题考查圆锥的计算，掌握圆锥底面积、侧面积的计算方法是正确解答的前提，求

出圆锥的底面半径、扇形的半径是正确计算的关键．

16．（3 分）如图所示，ABCD 是边长为 2 的正方形，点 E ，F 分别为边 BC ，CD 上动点（点

E 不与 B ， C 重合，点 F 不与C ， D 重合），且ÐEAF = 45° ，下列说法：
①点 E 从 B 向C 运动的过程中， DCEF 的周长始终不变；
②以 A 为圆心，2 为半径的圆一定与 EF 相切；

2
③ DAEF 面积有最小值 ；

④ DCEF 的面积最大值小于 2 ．
2
其中正确的有 ①② ．（填写序号）

【分析】延长CD 至点 E¢ ，使得 BE = E¢D ，连接 AE¢ ，然后证明DFAE¢ @ DFAE ，从而得到
DCEF 的周长；由 AD ^ FE¢ 和 AD = 2 可知以 A 点为圆心、2 为半径的圆与 FE¢ 相切，然后利用对称性可得e A 与 EF 相切；设 BE = DE¢ = x ， DF = y ，则 EF = DF + DE ¢ = x + y 然后结合RtDEFC 的三边关系得到 x 与 y 之间的关系，进而可以用含有 x 的式子表示DAEF 的
面积和DCEF 的面积，进而求得对应的最值．
【解答】解：如图，延长CD 至点 E¢ ，使得 BE = E¢D ，连接 AE¢ ，

Q四边形 ABCD 是正方形，
\ AB = AD ， ÐBAD = ÐABE = ÐADE¢ = 90° ，
Q BE = DE ¢ ，
\DBAE¢ @ DDAE¢(SAS ) ，
\ AE = AE ¢ ， ÐBAE = ÐDAE¢ ，
QÐEAF = 45° ，
\ÐFAE¢ = ÐFAD + ÐDAE¢ = ÐFAD + ÐBAE = 90° - 45° = 45° ，
\ÐFAE¢ = ÐFAE ，
Q AE = AE ¢ ， AF = AF ，
\DEAF @ △ E¢AF (SAS ) ，
\ EF = FE¢ ， DEAF 和△ E¢AF 关于 AF 所在直线对称，
\ EF = FD + DE ¢ = FD + BE ，

\CDCEF = CE + CF + EF = CE + CF + FD + BE = BC + CD = 4 ，

\DCEF 的周长始终不变，故①正确，符合题意；
Q AD ^ FE¢ ， e A 的半径 r = 2 ， AD = 2 ，
\e A 与 FE¢ 相切，
QDEAF 和△ E¢AF 关于 AF 所在直线对称，
\e A 与 EF 相切，故②正确，符合题意；
设 BE = DE¢ = x ， DF = y ，则 EF = DF + DE ¢ = x + y ， CE = 2 - x ， CF = 2 - y ， 在RtDEFC 中， EC 2 + CF 2 = EF 2 ，
\(2 - x)2 + (2 - y)2 = (x + y)2 ，

化简得， y = 4 - 2x = -2 +
x + 2
8 ，
x + 2
x + 2

\ SDAEF

，

= SV AE ¢F
= 1 E¢F × AD = 1 ´ 2 × (x + y) = x + (-2 +
2 2
8

x + 2

) = (x + 2) +
8

x + 2

- 4 = ( -

2 2
x + 2
2
)2 + 4 - 4

SDCEF
= 1 CE × CF = 1 ´ (2 - x) × (2 - y) = 1 ´ (2 - x)[2 - (-2 +
2 2 2
8

x + 2

)] = 12 - 2[(x + 2) +
8

2
x + 2

] = -2(

2 2
x + 2
x + 2 -

2
)2 + 12 - 8

，

x + 2
\当 =


2 2
x + 2
2
即 x = 2


- 2 时， S


DAEF


的最小值为 4


- 4 ，故③错误，不符合题意；

x + 2
2 2
x + 2
2
当 = 即 x = 2
- 2 时， S


DCEF
的最大值为12 - 8

，故④错误，不符合题意；

2
故答案为：①②．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、与圆有关的位置关系、正方形的性质、二次 函数的性质求最值，解题的关键是准确作出辅助线构造全等三角形．
三、解答题（本大题共 9 小题，共 72 分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤）

17．（4 分）解一元二次方程： x2 - 2x - 3 = 0 ．
【分析】先把方程左边分解，原方程转化为 x + 1 = 0 或 x - 3 = 0 ，然后解一次方程即可．
【解答】解：Q x2 - 2x - 3 = 0 ，
\(x + 1)(x - 3) = 0 ，
\ x + 1 = 0 或 x - 3 = 0 ，

\ x1 = -1 ， x2 = 3 ．

【点评】本题考查了解一元二次方程- 因式分解法：先把方程右边变形为 0，再把方程左边分解为两个一次式的乘积，这样原方程转化为两个一元一次方程，然后解一次方程即可得到 一元二次方程的解．
18．（4 分）如图，在平面直角坐标系中， DABC 的顶点均在格点上， A(1, 0) 、 B(2, -2) ，

C(4, -1) ．将DABC 绕坐标原点O 顺时针旋转90° 得到△ A1 B1C1 ．

（1） 画出△ A1 B1C1 ；

（2） 求点C 在旋转过程中运动的路径长．（结果保留p)

【分析】（1）分别作出 A ， B 的对应点 A1 ， B1 即可；

（2）根据弧长公式列式计算即可得解．

【解答】解：（1）如图，△ A1 B1C 即为所求作．

（2）点C 在旋转过程中运动的路径长= 1 ´ 2 ´p´

42 + 12
= 17p

4 2
【点评】本题考查作图 - 旋转变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．
19．（6 分）如图所示，eO 的弦 BD ，CE 所在直线相交于点 A ，若 AB = AC ，求证：BD = CE ．

【分析】如图，连接 DE ， BC ．证明ÐADE = ÐAED ，推出 AD = AE ，可得结论．
【解答】证明：如图，连接 DE ， BC ．
Q AB = AC ，
\ÐB = ÐC ，
QÐADE + ÐEDB = 180° ， ÐC + ÐEDB = 180° ，
\ÐADE = ÐC ，
同法可证， ÐAED = ÐB ，
\ÐADE = ÐAED ，
\ AD = AE ，
\ BD = EC ．
【点评】本题考查圆心角，弧，弦的关系，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是 证明 AD = AE ．
20．（6 分）如图，抛物线 y = x2 + bx + c 与 x 轴交于 A(-3, 0) 、B 两点，与 y 轴交于点C(0, -3) ．

（1） 求抛物线的解析式；
（2） 结合图形，求 y > 0 时自变量 x 的取值范围．

【分析】（1）根据待定系数法，将点 A(-3, 0) ， C(0, -3) 代入抛物线解析式即可；
（2）令 y = 0 可求得抛物线与 x 轴的交点，即可得 B 的坐标，然后根据图象取 x 轴上方图象对应的 x 范围即可．
【解答】解：（1）Q抛物线 y = x2 + bx + c 经过点 A(-3, 0) ， C(0, -3) ，

íc = -3
\ ì9 - 3b + c = 0 ，
î

íc = -3
解得： ìb = 2 ，
î

\抛物线的解析式为 y = x2 + 2x - 3 ；
（2）由（1）知： y = x2 + 2x - 3 ； 令 y = 0 ，则 x2 + 2x - 3 = 0 ，

解得： x = -3 或 1，
\ B 的坐标为(1, 0) ，
Q A(-3, 0) ， B(1, 0) ，
\由图可得，当 y > 0 时，自变量 x 的取值范围为： x < -3 或 x > 1 ．
【点评】本题主要考查抛物线与 x 轴的交点，解题的关键是用函数图象来解一元二次不等式．
21．（8 分）一只箱子里共 3 个球，其中 2 个白球，1 个红球，它们除颜色外均相同．

（1） 从箱子中任意摸出一个球是白球的概率是多少？

（2） 从箱子中任意摸出一个球，不将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球，求两次摸出的球 都是白球的概率，并画出树状图或列出表格．
【分析】（1）直接利用概率公式求解；

（2）画树状图展示所有 6 种等可能的结果数，再找出两次摸出的球都是白球的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）因为箱子里共 3 个球，其中 2 个白球，所以从箱子中任意摸出一个球是白
球的概率是 2 ；
3
（2）画树状图为：

共有 6 种等可能的结果数，其中两次摸出的球都是白球的结果数为 2， 所以两次摸出的球都是白球的概率= 2 = 1 ．
6 3
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 n ， 再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m ，然后利用概率公式计算事件 A 或事件 B 的概率． 22．（10 分）受各方面因素的影响，最近两年来某市平均房价由 40000 元/ 平方米，下降到
32400 元/ 平方米．
（1） 求房价年平均下降率；

（2） 按照这个年平均下降率，预计下一年该市的平均房价每平方米多少元？
【分析】（1）设房价年平均下降率为 x ，利用经过两年降价后的房价= 原房价´(1 - 年平均

下降率） 2 ，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
（2）利用下一年该市的平均房价 = 32400 ´ (1 - 年平均下降率），即可预计出下一年该市的平均房价．
【解答】解：（1）设房价年平均下降率为 x ，依题意得： 40000(1 - x)2 = 32400 ，
解得： x1 = 0.1 = 10% ， x2 = 1.9 （不合题意，舍去）．

答：房价年平均下降率为10% ．
（2） 32400 ´ (1 -10%) = 32400 ´ 90% = 29160 （元) ．
答：下一年该市的平均房价约为每平方米 29160 元．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，列式计算．
23．（10 分）如图四边形 ABCD 中， ÐA = ÐB = 90° ，以CD 为直径的eO 与边 AB 相切于

点 E ．
（1） 求作eO ，并标出点 E （尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2） 连接CE ，求证： CE 平分ÐBCD ；
（3） 若 BC = 5 ， AB = 6 ，求CD 的长．

【分析】（1）按题意作出CD 的中点O ，则可画出图形；

（2）由等腰三角形的性质得出ÐOEC = ÐOCE ，由切线的性质得出OE ^ AB ，证出OE / / BC ，由平行线的性质可得出结论；
（ 3 ） 证出 AD + BC = CD ， 连接 DF ， 设 AD = x ， 则 CF = 5 - x ， 由勾股定理得出

62 + (5 - x)2 = (x + 5)2 ，求出 x 的值，则可得出答案．

【解答】（1）解：如图，

（2） 证明：QOE = OC ，
\ÐOEC = ÐOCE ，
Q AB 为eO 的切线，
\OE ^ AB ，
QÐB = 90° ，
\OE / / BC ，
\ÐOEC = ÐECB ，
\ÐECB = ÐECO ， 即CE 平分ÐBCD ；

（3） 解：QOE / / AD / / BC ， O 为CD 的中点，
\OE 为梯形的中位线，
\OE = 1 ( AD + BC) ，
2
\ AD + BC = CD ， 连接 DF ，

Q CD 为eO 的直径，
\ÐDFC = 90° ，
\四边形 ABFD 为矩形，
\ AD = BF ， 设 AD = x ，
\CF = 5 - x ，
Q DF 2 + CF 2 = CD2 ，
\62 + (5 - x)2 = (x + 5)2 ，
解得 x = 9 ，
5
\ AD = 9 ，
5
\CD = 5 + x = 5 + 9 = 34 ．
5 5
【点评】本题是圆的综合题，考查了尺规作图，圆周角定理，勾股定理，切线的性质，等腰 三角形的性质，熟练掌