2022-2023学年广东省广州113中九年级（上）期末数学试卷（含答案）.docx

2022-2023 学年广东省广州 113 中九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．）
1．（3 分）下列事件中，属于不可能事件的是( )

A. 购买 1 张体育彩票中奖

B. 从地面发射 1 枚导弹，未击中空中目标

C. 汽车累积行驶10000km ，从未出现故障
D. 从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球

2．（3 分）用配方法解方程 x2 + 2x - 1 = 0 时，配方结果正确的是( )

第 9页（共 26页）

A． (x 2)2 = 2
B． (x + 1)2 = 2
C． (x + 2)2 = 3
D． (x +1)2 = 3

3．（3 分）下列二次函数中，其图象的对称轴为 x = -2 的是( )

A． y = 2x2 - 2
B． y = -2x2 - 2
C． y = 2(x - 2)2
D． y = (x + 2)2

4．（3 分）下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．（3 分）如图，正方形 ABOC 的边长为 2反比例函数 y = k 的图象过点 A ，则 k 的值是(
x
)

A．2 B． -2 C．4 D． -4

6．（3 分）如图， PA 、PB 、分别切eO 于 A 、B 两点，ÐP = 40° ，则ÐC 的度数为( )

A． 40° B．140° C． 70° D． 80°

7．（3 分）将抛物线 y = 2(x - 4)2 -1先向左平移 4 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为( )

A． y = 2x2 +1
B． y = 2x2 - 3
C． y = 2(x - 8)2 + 1
D． y = 2(x - 8)2 - 3

8．（3 分）如图，将矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转到矩形 AB¢C¢D¢ 的位置，若旋转角为20° ，则Ð1 为( )

2
2
2
A．110° B．120° C．150° D．160° 9．（3 分）一个圆的半径为 4，则该圆的内接正方形的边长为( )

2
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5

10．（3 分）如图， eO 的半径为 2，点C 是圆上的一个动点， CA ^ x 轴， CB ^ y 轴，垂足分别为 A 、B ， D 是 AB 的中点，如果点C 在圆上运动一周，那么点 D 运动过的路程长为(
)

A． p B． p C．p D． 2p
4 2

二、填空题（本大题共 6 题，每小题 3 分，满分 18 分）
11．（3 分）已知点 P(2, -3) 与点Q(a,b) 关于原点对称，则 a + b = ．
12．（3 分）在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的 5 个红球和若干白球，通过多次摸球试验后，发现摸到红球的频率约为 0.25，估计袋中白球有 个．
13．（3 分）如图所示，正比例函数 y = k x 与反比例函数 y = k2 的图象有一个交点(2, -1) ，

1 x
则这两个函数图象的另一个交点坐标是 ．

14．（3 分）已知扇形的圆心角为120° ，它所对弧长为 20pcm ，则扇形的半径为 ．

15．（3 分）若关于 x 的函数 y = kx2 + 2x -1与 x 轴仅有一个公共点，则实数 k 的值为 ．

16．（3 分）如图是抛物线 y1 = ax + bx + c(a ¹ 0) 图象的一部分，抛物线的顶点坐标为 A(1, -3)
2

与 x 轴的一个交点为 B(4, 0) ，点 A 和点 B 均在直线上 y2 = mx + n(m ¹ 0) 上．

① 2a + b = 0 ；
②抛物线与轴的另一个交点为(-4, 0) ；
③方程 ax2 + bx + c = -3 有两个不相等的实数根；
④ a - b + c < 4m + n ；
⑤不等式 mx + n > ax 2 + bx + c 的解集为1 < x < 4 ．
上述五个结论中，其中正确的结论是 填写序号即可．

三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分）

17．（4 分）解方程： x2 - 6x + 5 = 0 （两种方法）．

18．（4 分）如图， AB 是eO 的直径，弦CD ^ AB 于点 E ，OC = 10cm ，CD = 16cm ，求 AE
的长．

19．（6 分）如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中， DAOB 的三个顶点均在格点上．

（1） 画出DAOB 绕点O 顺时针旋转90° 后得到的△ A1OB1 ；

（2） 求线段OA 旋转到OA1 所扫过的图形面积（结果保留p) ．

20．（6 分）已知二次函数 y = ax2 + bx 的图象过点(2, 0) ， (-1, 6) ．

（1） 求二次函数的关系式；

（2） 写出它与 x 轴的两个交点及顶点坐标．

21．（8 分）一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外都相同，其
中红球有 1 个，若从中随机摸出一个球，这个球是白球的概率为 2 ．
3
（1） 求袋子中白球的个数；（请通过列式或列方程解答）

（2） 随机摸出一个球后，放回并搅匀，再随机摸出一个球，求两次都摸到相同颜色的小球 的概率．（请结合树状图或列表解答）

22．（10 分）某商场一月份的销售额为 125 万元，二月份的销售额下降了 20% ，商场从三月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，四月份的销售额达到了 144 万元．
（1） 求二月份的销售额；

（2） 求三、四月份销售额的平均增长率．

23 ．（ 10 分） 如图， 在平面直角坐标系中， 一次函数 y = -x + b 的图象与反比例函数
y = k (x < 0) 的图象交于点 A(-1, 6) 与 x 轴交于点 B ．点C 是线段 AB 上一点，且DOCB 与
x
DOAB 的面积比为1: 2 ．
（1） 求 k 和b 的值；
（2） 将DOBC 绕点O 逆时针旋转90° ，得到△ OB¢C¢ ，判断点C¢ 是否落在函数 y = k (k < 0)
x
的图象上，并说明理由．

24．（12 分）如图，在DABC 中， AB = AC ， ÐBAC 与ÐABC 的角平分线相交于点 E ， AE
的延长线交DABC 的外接圆于点 D ，连接 BD ．
（1） 求证： ÐBAD = ÐDBC ；
（2） 证明：点 B 、 E 、C 在以点 D 为圆心的同一个圆上；
（3） 若 AB = 5 ， BC = 8 ，求DABC 内心与外心之间的距离．

第 26页（共 26页）

A(0, )
25．（12 分）在平面直角坐标系中，抛物线 y = ax2 + bx + c 的开口向上，且经过点 3 ．
2
（1） 求c 的值；
（2） 若此抛物线经过点 B(2, - 1 ) ，且与 x 轴相交于点 E(x ， 0) ， F (x ， 0) ．

2 1 2
①求b 的值（用含 a 的代数式表示）；

②当 EF 2 的值最小时，求抛物线的解析式；
（3） 若 a = 1 ，当0„x„1 ，抛物线上的点到 x 轴距离的最大值为 3 时，求b 的值．
2

2022-2023 学年广东省广州 113 中九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．）
1．（3 分）下列事件中，属于不可能事件的是( )

A. 购买 1 张体育彩票中奖

B. 从地面发射 1 枚导弹，未击中空中目标

C. 汽车累积行驶10000km ，从未出现故障
D. 从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球

【解答】解： A ．购买 1 张体育彩票中奖，这是随机事件，故 A 不符合题意 B ．从地面发射 1 枚导弹，未击中空中目标，这是随机事件，故 B 不符合题意； C ．汽车累积行驶10000km ，从未出现故障，这是随机事件，故C 不符合题意；
D ．从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球，这是不可能事件，故 D 符合题意；

故选： D ．

2．（3 分）用配方法解方程 x2 + 2x - 1 = 0 时，配方结果正确的是(

)
A． (x + 2)2 = 2 B． (x + 1)2 = 2 C． (x + 2)2 = 3

D． (x +1)2 = 3
【解答】解：Q x2 + 2x - 1 = 0 ，

\ x2 + 2x 1 = 2 ，

\(x + 1)2 = 2 ．

故选： B ．
3．（3 分）下列二次函数中，其图象的对称轴为 x = -2 的是(

)

A． y = 2x2 - 2 B． y = -2x2 - 2 C． y = 2(x - 2)2

D． y = (x + 2)2

【解答】解： A ． y = 2x2 - 2 的对称轴为 x = 0 ，不符合题意；

B ． y = -2x2 - 2 的对称轴为 x = 0 ，不符合题意； C ． y = 2(x - 2)2 的对称轴为 x = 2 ，不符合题意； D ． y = (x + 2)2 的对称轴为 x = -2 ，符合题意．
故选： D ．

4．（3 分）下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形；

B、是轴对称图形，也是中心对称图形； C、是轴对称图形，不是中心对称图形；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形． 故选：B．
5．（3 分）如图，正方形 ABOC 的边长为 2，反比例函数 y = k 的图象过点 A ，则 k 的值是(
x
)

A．2 B． -2 C．4 D． 4

【解答】解：因为图象在第二象限， 所以 k < 0 ，
根据反比例函数系数 k 的几何意义可知| k |= 2 ´ 2 = 4 ，
所以 k = -4 ． 故选： D ．
6．（3 分）如图， PA 、PB 、分别切eO 于 A 、B 两点，ÐP = 40° ，则ÐC 的度数为( )

A． 40° B．140° C． 70° D． 80°
【解答】解：Q PA 是圆的切线．

\ÐOAP = 90° ， 同理ÐOBP = 90° ，
根据四边形内角和定理可得：

ÐAOB = 360° - ÐOAP - ÐOBP - ÐP = 360° - 90° 90° - 40° = 140° ，
\ÐACB = 1 ÐAOB = 70° ．
2
故选： C ．

7．（3 分）将抛物线 y = 2(x - 4)2 -1先向左平移 4 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为( )

A． y = 2x2 +1
B． y = 2x2 - 3
C． y = 2(x - 8)2 + 1
D． y = 2(x - 8)2 - 3

【解答】解：抛物线 y = 2(x - 4)2 -1 先向左平移 4 个单位长度，得到的抛物线解析式为

y = 2(x - 4 + 4)2 -1 ， 即 y = 2x2 -1 ， 再向上平移 2 个单位长度得到的抛物线解析式为

y = 2x2 -1 + 2 ，即 y = 2x2 +1；

故选： A ．

8．（3 分）如图，将矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转到矩形 AB¢C¢D¢ 的位置，若旋转角为20° ，则Ð1 为( )

A．110° B．120° C．150° D．160°
【解答】解：设C¢D¢ 与 BC 交于点 E ，如图所示．
Q旋转角为 20° ，
\ÐDAD¢ = 20° ，
\ÐBAD¢ = 90° - ÐDAD¢ = 70° ．

QÐBAD¢ + ÐB + ÐBED¢ ÐD¢ = 360° ，
\ÐBED¢ = 360° - 70° - 90° - 90° = 110° ，
\Ð1 = ÐBED¢ = 110° ． 故选： A ．

9．（3 分）一个圆的半径为 4，则该圆的内接正方形的边长为( )

2
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5

2
2
2
【解答】解：如图所示： eO 的半径为 4，
Q四边形 ABCD 是正方形， ÐB = 90° ，
\ AC 是eO 的直径，
\ AC = 2 ´ 4 = 8 ，
Q AB2 + BC 2 = AC 2 ， AB = BC ，
\ AB2 + BC 2 = 64 ，

2
解得： AB = 4 ，

2
即eO 的内接正方形的边长等于 4 ．

故选： C ．
10．（3 分）如图， eO 的半径为 2，点C 是圆上的一个动点， CA ^ x 轴， CB ^ y 轴，垂足分别为 A 、B ， D 是 AB 的中点，如果点C 在圆上运动一周，那么点 D 运动过的路程长为(
)

A． p B． p C．p D． 2p
4 2
【解答】解：如图，连接OC ，

Q CA ^ x 轴， CB ^ y 轴，
\四边形OACB 是矩形，

Q D 为 AB 中点，
\点 D 在 AC 上，且OD = 1 OC ，
2
QeO 的半径为 2，
\如果点C 在圆上运动一周，那么点 D 运动轨迹是一个半径为 1 圆，
\点 D 运动过的路程长为 2pg1 = 2p， 故选： D ．
二、填空题（本大题共 6 题，每小题 3 分，满分 18 分）
11．（3 分）已知点 P(2, -3) 与点Q(a,b) 关于原点对称，则 a + b = 1 ．
【解答】解：由点 P(2, -3) 与点Q(a,b) 关于原点对称，得
a = -2 ， b = 3 ，
则 a + b = -2 + 3 = 1 ， 故答案为：1．
12．（3 分）在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的 5 个红球和若干白球，通过多次摸

球试验后，发现摸到红球的频率约为 0.25，估计袋中白球有 15 个．

【解答】解：设袋中白球有 x 个，

5

5 + x

= 0.25 ，

解得 x = 15 ， 故答案为：15．
13．（3 分）如图所示，正比例函数 y = k x 与反比例函数 y = k2 的图象有一个交点(2, -1) ，

1 x
则这两个函数图象的另一个交点坐标是 (-2,1) ．

【解答】解：由图象可知：直线 y = k x 经过原点与双曲线 y = k2 相交于两点，

1 x
又由于双曲线 y = k2 与直线 y = mx 均关于原点对称．
x
则两点关于原点对称，一个交点的坐标为(2, -1) ， 则另一个交点的坐标为(-2,1) ．
故答案为： (-2,1) ．

14．（3 分）已知扇形的圆心角为120° ，它所对弧长为 20pcm ，则扇形的半径为 30cm ．
【解答】解：根据题意得
120 ´p´ r = 20p，
180
r = 30cm ，
故答案为30cm ．

15．（3 分）若关于 x 的函数 y = kx2 + 2x -1与 x 轴仅有一个公共点，则实数 k 的值为 0 或

-1 ．

【解答】解：令 y = 0 ，则 kx2 + 2x - 1 = 0 ．

Q关于 x 的函数 y = kx2 + 2x -1与 x 轴仅有一个公共点，
\关于 x 的方程 kx2 + 2x - 1 = 0 只有一个根．

①当 k = 0 时， 2x - 1 = 0 ，即 x = 1 ，\原方程只有一个根，\ k = 0 符合题意；
2
②当 k ¹ 0 时，△ = 4 + 4k = 0 ， 解得， k = -1 ．
综上所述， k = 0 或-1 ． 故答案为：0 或-1 ．
16．（3 分）如图是抛物线 y1 = ax + bx + c(a ¹ 0) 图象的一部分，抛物线的顶点坐标为 A(1, -3)
2

与 x 轴的一个交点为 B(4, 0) ，点 A 和点 B 均在直线上 y2 = mx + n(m ¹ 0) 上．

① 2a + b = 0 ；
②抛物线与轴的另一个交点为(-4, 0) ；
③方程 ax2 + bx + c = -3 有两个不相等的实数根；
④ a - b + c < 4m + n ；
⑤不等式 mx + n > ax 2 + bx + c 的解集为1 < x < 4 ．
上述五个结论中，其中正确的结论是 ①④⑤ 填写序号即可．

【解答】解：Q抛物线的对称轴为直线 x = - b
2a
= 1，

\b = -2a 即 2a + b = 0 ，所以①正确；
Q抛物线的对称轴为直线 x = 1 ，抛物线与 x 轴的一个交点为 B(4, 0) ，
\抛物线与 x 轴的另一个交点为(-2, 0) ，所以②错误；
Q抛物线的顶点坐标为(-1, -3) ，
\抛物线与直线 y = -3 只有一个交点，
\方程 ax2 + bx + c = -3 有两个相等的实数根，所以③错误；
Q x = -1时， y < 0 ，
\ a - b + c < 0 ，

Q直线 y2 = mx + n(m ¹ 0) 经过点 B(4, 0) ，

\ 4m + n = 0 ，
\ a - b + c < 4m + n ，所以④正确；
Q当1 < x < 4 时，直线在抛物线的上方，
\等式 mx + n > ax 2 + bx + c 的解集为1 < x < 4 ．所以⑤正确． 故答案为：①④⑤．
三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分）

17．（4 分）解方程： x2 - 6x + 5 = 0 （两种方法）．
【解答】解：方法一： (x - 5)(x -1) = 0 ，
x - 5 = 或 x - 1 = 0 ， 所以 x1 = 5 ， x2 = 1 ；
方法二： x2 - 6x = -5 ，
x2 - 6x + 9 = 4 ，

(x - 3)2 = 4 ，

x - 3 = ±2 ，

所以 x1 = 5 ， x2 = 1 ．

18．（4 分）如图， AB 是eO 的直径，弦CD ^ AB 于点 E ，OC = 10cm ，CD = 16cm ，求 AE
的长．

【解答】解：Q弦CD ^ AB 于点 E ， CD = 16cm ，
\CE = 1 CD = 8cm ．
2
在RtDOCE 中， OC = 10cm ， CE = 8cm ，

OC 2 - CE 2
102 - 82
\OE = = = 6(cm) ，

\ AE = AO + OE = 10 + 6 = 16(cm) ．
19．（6 分）如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中， DAOB 的三个顶点均在格点上．

（1） 画出DAOB 绕点O 顺时针旋转90° 后得到的△ A1OB1 ；

（2） 求线段OA 旋转到OA1 所扫过的图形面积（结果保留p) ．

【解答】解：（1）如图所示：△ A1OB1 即为所求；

（2）线段OA 旋转到OA1 所扫过的图形面积为：
90p´ ( 13)2
360
= 13p ． 4

20．（6 分）已知二次函数 y = ax2 + bx 的图象过点(2, 0) ， (-1, 6) ．

（1） 求二次函数的关系式；

（2） 写出它与 x 轴的两个交点及顶点坐标．

ía ? b = 6
【解答】解：（1）把点(2, 0) ， (-1, 6) 代入二次函数 y = ax2 + bx ，得ì4a + 2b = 0 ，
î

íb = -4
解得ìa = 2 ，
î

因此二次函数的解析式为 y = 2x2 - 4x ；

（2）Q y = 2x2 - 4x = 2x(x - 2) ，

\该抛物线与 x 轴的两个交点坐标分别是(0, 0) ， (2, 0) ．

Q y = 2x2 - 4x = 2(x -1)2 - 2 ，

\二次函数 y = 2x2 - 4x 的顶点坐标1, -2) ．
21．（8 分）一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外都相同，其中红球有 1 个，若从中随机摸出一个球，这个球是白球的概率为 2 ．
3
（1） 求袋子中白球的个数；（请通过列式或列方程解答）

（2） 随机摸出一个球后，放回并搅匀，再随机摸出一个球，求两次都摸到相同颜色的小球 的概率．（请结合树状图或列表解答）
【解答】解：（1）设袋子中白球有 x 个，
根据题意得： x = 2 ，

x + 1 3
解得： x = 2 ，
经检验， x = 2 是原分式方程的解，
\袋子中白球有 2 个；

（2）画树状图得：

Q共有 9 种等可能的结果，两次都摸到相同颜色的小球的有 5 种情况，
5
\两次都摸到相同颜色的小球的概率为： ．
9
22．（10 分）某商场一月份的销售额为 125 万元，二月份的销售额下降了 20% ，商场从三月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，四月份的销售额达到了 144 万元．
（1） 求二月份的销售额；

（2） 求三、四月份销售额的平均增长率．
【解答】解：（1）125 ´ (1 - 20%) = 125 ´ 80% = 100 （万元）．答：二月份的销售额为 100 万元．
（2）设三、四月份销售额的平均增长率为 x ，

依题意得：100(1 + x)2 = 144 ，
解得： x1 = 0.2 = 20% ， x2 = -2.2 （不合题意，舍去）．答：三、四月份销售额的平均增长率为 20% ．
23 ．（ 10 分） 如图， 在平面直角坐标系中， 一次函数 y = -x + b 的图象与反比例函数
y = k (x < 0) 的图象交于点 A(-1, 6) ，与 x 轴交于点 B ．点C 是线段 AB 上一点，且DOCB 与
x
DOAB 的面积比为1: 2 ．
（1） 求 k 和b 的值；
（2） 将DOBC 绕点O 逆时针旋转90° ，得到△ OB¢C¢ ，判断点C¢ 是否落在函数 y = k (k < 0)
x
的图象上，并说明理由．
【解答】解：（1）将 A(-1, 6) 代入 y = -x + b ，得， 6 = 1 + b ，
\b = 5 ，
将 A(-1, 6) 代入 y = k ，
x
得， 6 = k ，
-1
解得， k = -6 ，
故所求 k 和b 的值分别为-6 ，5；

（2）点C¢ 是落在函数 y = - 6 的图象上．理由如下：
x
Q y = -x + 5 ，

\ y = 0 时， - x + 5 = 0 ，解得 x = 5 ，
\ B(5, 0) ．
QDOCB 与DOAB 的面积比为1: 2 ，
\ C 为 AB 中点，
Q A(-1, 6) ， B(5, 0) ，
\C(2, 3) ．
如图，过点C 作CD ^ x 轴，垂足为 D ，过点C¢ 作C¢E ^ x 轴，垂足为 E ．
Q将DOBC 绕点O 逆时针旋转90° ，得到△ OB¢C¢ ，
\OC¢ = OC ， OB¢ = OB = 5 ， ÐCOC¢ = 90° ．
\ÐC¢OE = ÐOCD = 90° - ÐCOD ． 在△ C¢OE 与DOCD 中，
ìÐC¢OE = ÐOCD
í
ïÐC¢EO = ÐODC ，
î
ïOC¢ = OC

\△ C¢OE @ DOCD(AAS ) ，
\OE = CD = 3 ， C¢E = OD = 2 ，
QC¢ 在第二象限，
\C¢(-3, 2) ，
\点C¢ 是落在函数 y = - 6 的图象上．
x
24．（12 分）如图，在DABC 中， AB = AC ， ÐBAC 与ÐABC 的角平分线相交于点 E ， AE
的延长线交DABC 的外接圆于点 D ，连接 BD ．
（1） 求证： ÐBAD = ÐDBC ；

（2） 证明：点 B 、 E 、C 在以点 D 为圆心的同一个圆上；

（3） 若 AB = 5 ， BC = 8 ，求DABC 内心与外心之间的距离．

【解答】（1）证明：Q AD 平分ÐBAC ，
\Ð1 = Ð2 ，
又QÐ2 = ÐDBC ，
\ÐBAD = ÐDBC ；
（2） 证明：Q AB = AC ， AD 平分ÐBAC ，
\ B¶D = C¶D ，连接CD ，
\ BD = CD ，
Q BE 平分ÐABE ，
\Ð3 = Ð4 ，
QÐBED = Ð1 + Ð3 ， ÐDBE = Ð4 + ÐDBC ，
\ÐDBE = ÐBEO ，
\ BD = DE ，
\ BD = DE = DC ，
\点 B 、 E 、C 在以点 D 为圆心的同一个圆上；
（3） 解：连接OB ，设 AD 与 BC 交于 H 点，
Q AB = AC ， DB = DC ，
\ AD ^ BC ，
\ BH = 1 BC = 4 ，
2
在RtDABH 中， AH = 3 ，
在RtDBHO 中，设 BO = x ， OH = x - 3 ， 则 BO2 = BH 2 + OH 2 ，

即 x2 = 16 + (x - 3)2 ，
解得： x = 25 ，
6
即 BO = 25 ，
6
\ AD = 25 ，
3
Q AD 为直径，
\ÐABD = 90° ， 在RtDABD 中，

AD2 - AB2
BD = =

\ DE = 20 ，
3
= 20 ，
( 25)2 - 52
3
3

\OE = 20 - 25 = 5 ，
3 6 2
Q E 为DABC 角平分线的交点，
\ E 为内心，
\OE 为DABC 内心与外心之间的距离，
\DABC 内心与外心之间的距离为 5 ．
2
25．（12 分）在平面直角坐标系中，抛物线 y = ax2 + bx + c 的开口向上，且经过点 3 ．
A(0, )
2
（1） 求c 的值；
（2） 若此抛物线经过点 B(2, - 1 ) ，且与 x 轴相交于点 E(x ， 0) ， F (x ， 0) ．

2 1 2
①求b 的值（用含 a 的代数式表示）；

②当 EF 2 的值最小时，求抛物线的解析式；
（3） 若 a = 1 ，当0„x„1 ，抛物线上的点到 x 轴距离的最大值为 3 时，求b 的值．
2
【解答】解：（1）将点 A 的坐标代入抛物线表达式得： c = 3 ；
2

（2）解：① c = 3 ，
2
Q抛物线经过点 B(2, - 1 ) ，
2
\- 1 = 4a + 2b + 3 ，
2 2
\b = -2a - 1 ；

②由①可得抛物线解析式为 y = ax2 - (2a + 1)x + 3 ，
2
令 y = 0 可得 ax2 - (2a + 1)x + 3 = 0 ，
2
Q△ = (2a + 1)2 - 4a ´ 3 = 4a2 - 2a + 1 = 4(a - 1 )2 + 3 > 0 ，
2 4 4

\方程有两个不相等的实数根，设为 x1 、 x2 ，

\ x + x
= 2a + 1 ， x x

= 3 ，

1 2 a 1 2 2a

\ 2 2 2
4a2 - 2a + 1 1 2

EF = (x1 - x2 )
= (x1 + x2 )
- 4x1 x2 = a2
= ( -1)
a
+ 3 ，

\当 a = 1时， EF 2 有最小值．
\抛物线解析式为 y = x2 - 3x + 3 ；
2

3）当 a = 1 时，抛物线解析式为 y = 1 x2 + bx + 3 ，
2 2 2
\抛物线对称轴为 x = -b ，
\只有当 x = 0 、 x = 1 或 x = -b 时，抛物线上的点才有可能离 x 轴最远，

当 x = 0 时 ，
y = 3 ， 当
2

x = 1 时 ，
y = 1 + b + 3 = 2 + b
2 2

， 当 x = -b 时 ，

y = 1 (-b)2 + b(-b) + 3 = - 1 b2 + 3 ，
2 2 2 2
①当| 2 + b |= 3 时， b = 1 或b = -5 ，且顶点不在范围内，满足条件；
②当| - 1 b2 + 3 |= 3 时， b = ±3 ，对称轴为直线 x = ±3 ，不在范围内，故不符合题意，
2 2
综上可知b 的值为 1 或-5 ．