1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,一、复习引入,假如在x,0,附近左侧 f,/,（x）0,右侧f,/,(x)0,那么,f(x,0,)是极大值;,假如在x,0,附近左侧 f,/,(x)0 ,那么,f(x,0,)是极小值.,2.导数为零点是该点为极值点必要条件,而不是充,分条件.极值只能在函数,导数为零且在其附近左右两侧导数异号,时取到.,3.在一些问题中,往往关心是函数在一个定义区间上,哪个值最大,哪个值最小,而不是极值.,1.当函数f(x)在x,0,处连续时,判别f(x,0,)是极大(小)值方法是:,第1页,3.3.3最大值与最小值,洪泽外
2、国语中学 程怀宏,第2页,二、新课最大值与最小值,x,X,2,o,a,X,3,b,x,1,y,观察右边一个定义在区间a,b上函数y=f(x)图象，你能找出函数y=f（x）在区间a，b上最大值、最小值吗？,发觉图中_是极小值，_是极大值，在区间上函数最大值是_，最小值是_。,f(x,1,)、f(x,3,),f(x,2,),f(b),f(x,3,),问题在于假如在没有给出函数图象情况下，怎样才能判断出f(x,3,)是最小值，而f(b)是最大值呢？,第3页,一、是利用函数性质,二、是利用不等式,三、今天学习,利用导数,求函数最值普通方法：,第4页,(2)将y=f(x)各极值与f(a)、f(b)比较，
3、其中最大一个为最大值，最小一个最小值,f(x)在,闭区间,a,b上最值：,(1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值),表格法,(假如在区间a,b上函数y=f(x)图象是一条连续不停曲线,那么它必有最大值和最小值),第5页,例1、,求函数f(x)=x,2,-4x+3在区间-1，4内,最大值和最小值,法一、,将二次函数f(x)=x,2,-4x+3配方，利用二次函数单调性处理,第6页,例1,求函数f(x)=x,2,-4x+3在区间-1，4内最值。,故函数f(x)在区间-1，4内最大值为8，最小值为-1.,解法二、,f(x)=2x-4,令f(x)=0，即2x-4=0，,得x=2,x,-1
4、1，2）,2,（2，4）,4,y,，,0,y,-,+,8,3,-1,第7页,普通地，求函数y=f(x)在a,b上最大值与最小值,步骤,以下：,:求y=f(x)在(a，b)内极值(极大值与极小值);,:将函数y=f(x)各极值与端点处函数值f(a)、f(b)比较,其中最大一个为最大值,最小一个为最小值.,求函数最值时,应注意以下几点:,(1)函数,极值是,在局部范围内讨论问题,是一个,局部概,念,而函数,最值,是对整个定义域而言,是在整体范围,内讨论问题,是一个,整体性概念,.,(2)闭区间a,b上连续函数一定有最值.开区间(a,b)内,可导函数不一定有最值,但若有唯一极值,则此极,值必是
5、函数最值.,第8页,(3)函数在其定义域上最大值与最小值至多各有一个,而函数极值则可能不止一个,也可能没有极值,而且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值),但除端点外在区间内部最大值(或最小值),则一定是极大值(或极小值).,(,4)假如函数不在闭区间a,b上可导,则在确定函数最值时,不但比较该函数各导数为零点与端点处值,还要比较函数在定义域内各不可导点处值.,(5)在处理实际应用问题中,假如函数在区间内只有一个极值点(这么函数称为单峰函数),那么要依据实际意义判定是最大值还是最小值即可,无须再与端点函数值进行比较.,第9页,练习P,77,1、2,第10页,解:,当x改变时,改变情况以下表
6、从上表可知,最大值是,最小值是0.,令 ,解得,x,0,f(x),+,-,+,0,0,0,第11页,练习1,:求函数f(x)=2x,3,+3x,2,-12x+14在区间-3,4上最,大值和最小值.,答案:最大值为f(4)=142,最小值为f(1)=7.,第12页,延伸1,:设 ,函数 最,大值为1,最小值为 ,求常数a,b.,解:令 得x=0或a.,当x改变时,f(x)改变情况以下表:,x,-1,(-1,0),0,(0,a),a,(a,1),1,f(x),+,0,-,0,+,f(x),-1-3a/2+b,b,-a,3,/2+b,1-3a/2+b,由表知,当x=0时,f(x)取得极大值b,而
7、f(0)f(a),f(0),f(-1),f(1)f(-1).故需比较f(1)与f(0)大小.,f(0)-f(1)=3a/2-10,所以f(x)最大值为f(0)=b,故b,=1.,第13页,又f(-1)-f(a)=(a+1),2,(a-2)/21,0,x,1,求函数f(x)=x,p,+(1-x),p,值域.,说明:因为f(x)在0,1上连续可导,必有最大值与最小值,所以求函数f(x)值域,可转化为求最值.,解:,令 ,则得x,p-1,=(1-x),p-1,即x=1-x,x=1/2.,而 f(0)=f(1)=1,因为p1,故11/2,p-1,.,所以f(x)最小值为 ,最大值为1.,从而函数f(x)值域为,第14页,练习2,:求函数f(x)=p,2,x,2,(1-x),p,(p是正数)在0,1上最,大值.,解:,令 ,解得,在0,1上,有f(0)=0,f(1)=0,故所求最大值是,练习1,:求函数f(x)=2x,3,+3x,2,-12x+14在区间-3,4上最,大值和最小值.,答案:最大值为f(4)=142,最小值为f(1)=7.,第15页,思索、,已知函数f(x)=x,2,-2(m-1)x+4在区间1,5内最小值为2，求m值,第16页,
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