1、
高二数学竞赛班二试讲义
第3讲 多项式的插值与差分
班级 姓名
一、知识点金
1．拉格朗日插值公式：存在唯一的一个次数不超过的多项式满足
（的图象经过个不同点）；并且可表示为
2．对于函数及固定的，称为的步长为的一阶差分，记作。
，称为的步长为的二阶差分。记作。
一般地，的步长为的阶差分定义为。
3．对于函数，有
数学归纳法证明：时结论显然成立。假设，
则
（代替上式中的位置）
（注意：定义，）
因此对一切正整数成立。
4．设，当时，是一个次多项式；而对于，恒为零。
证明：由定义可
2、知，
低次项，这是一个次多项式，首项为，依此类推，常数项，，从而当时，。
5．综合第3、4条，取步长，可得出
（1）设是次多项式，首项系数为，则
（2）特别地，取，并在上面等式中取，得欧拉恒等式
6．整值多项式：如果当取整数时，复系数多项式为整数，则称为整值多项式。整系数多项式当然都是整值多项式。但组合数是非整系数的整值多项式。
7．次复系数多项式为整值多项式的充分必要条件是，它可表示成
，其中均为整数，且
证明：充分条件是显然的。现证明必要性。以除，商必为常数，设为，则
，或者为零，或者次数小于；在用次多项式除，如此进行，便得到，这种表示显然是惟一的。
3、二、例题分析
例1．设次多项式满足。求。
例1．法一：由多项式插值公式得，，对于，有
所以
法二：因为次多项式的阶差分为零，所以
令，并以代人，得
所以
例2．设次多项式满足。求。
例1．法一由多项式插值公式得。略
法二：因为次多项式的阶差分为零，所以
令，并以代人，得
法三：对于本题还有更好的做法，考虑次多项式。有已知条件，有个不同的零点，又，
于是，因此，进而
例3．设是一个次多项式，满足，求的值。
例3．因为次多项式的阶差分为零，所以 ①
取，，
，，
所以
再用 ①取，
所以
例4．设是任意个互不相同的整数。
4、则任意次多项式
在点处所取得的个值中，至少有一个的绝对值
例4．记所说的多项式为，由多项式插值公式得，
由于的首项系数为1，故由上式得出
记是的最大值，则有
但是任意个互不相同的整数，可设，我们有
于是
例5．设是奇数。证明：存在一个次数为的非整系数的整值多项式，具有下面的性质：
（1）；
（2）有无穷多个正整数，使得对，方程
没有整数解。
例5．先证明一个引理：存在一个首项系数为正的次整值多项式，系数不全是整数，满足，以及
引理证明：满足的首项系数为正的次整值多项式可以表示为：
，其中，
因为，所以
现在我们去满足
5、
则易解得（注意），，从而
由此即知，对每一个整数，有
由于，所以为偶数时，，
由于，所以为奇数时，，
即有
这时多项式，的系数是在时为非整数。满足引理中的要求。
回到原问题：取正整数，假设有整数，使得
，则更有
但由引理可知，上式左边每一项模是0或1，因此在时，左边模决不可能为，矛盾！从而本题结论成立。
三、同步检测
1．求一个次数小于4的多项式，满足，
这里。
1．利用拉格朗日插值公式得
2．证明多项式是整值多项式。
2．设，取，可求得，因此所说的多项式是整值多项式。
3．设是次多项式，在连续个整数处取值为整数，则是整值多项式。
3．对任意整数，是整值多项式，等价于是整值多项式。因此可设连续个整数是。先将表示为，再由是整数，可推出诸系数都是整数。
4．设是次多项式，，
，且，求的值。
4．因为次多项式的阶差分为零，所以
取，并以代人，得
，
所以，解得
5．设为一个次多项式，满足，求的值。
5．考虑，它在处的值是0，又。
故，所以
5
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