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实验2 MATLAB数值计算、符号运算功能

一、 实验目的
1、掌握建立矩阵、矩阵分析与处理的方法。
2、掌握线性方程组的求解方法。
3、掌握数据统计和分析方法、多项式的常用运算。
4、掌握求数值导数和数值积分、常微分方程数值求解、非线性代数方程数值求解的方法。
5、掌握定义符号对象的方法、符号表达式的运算法则及符号矩阵运算、符号函数极限及导数、符号函数定积分和不定积分的方法。

二、 预习要求
（1） 复习4、5、6章所讲内容；
（2） 熟悉MATLAB中的数值计算和符号运算的实现方法和主要函数。

三、 实验内容
1、 已知，求A的特征值及特征向量，并分析其数学意义。
>> A=[-29,6,18;20,5,12;-8,8,5];
>> [V,D]=eig(A)
V =
0.7130 0.2803 0.2733
-0.6084 -0.7867 0.8725
0.3487 0.5501 0.4050
D =
-25.3169 0 0
0 -10.5182 0
0 0 16.8351
V为A的特征向量，D为A的特征值，3个特征值是-25.3169、10.5182和16.8351。
>> A*V
ans =
-18.0503 -2.9487 4.6007
15.4017 8.2743 14.6886
-8.8273 -5.7857 6.8190
>> V*D
ans =
-18.0503 -2.9487 4.6007
15.4017 8.2743 14.6886
-8.8273 -5.7857 6.8190
经过计算，A*V=V*D。

2、 不用rot90函数，实现方阵左旋90°或右旋90°的功能。例如，原矩阵为A，A左旋后得到B，右旋后得到C。
，，
提示：先将A转置，再作上下翻转，则完成左旋90°；如将A转置后作左右翻转，则完成右旋转90°，可用flipud、fliplr函数。
>> a=[1 4 7 10;2 5 8 11;3 6 9 12]

a=

1 4 7 10
2 5 8 11
3 6 9 12

>> B=rot90(a)

B =

10 11 12
7 8 9
4 5 6
1 2 3

>>C= rot90(s,3)

C=

3 2 1
6 5 4
9 8 7
12 11 10

3建立一个5*5矩阵，求它的行列式值、秩。A=fix(10*rand(5))
H=det(A)
Trace=trace(A)
Rank=rank(A)
Norm=norm(A)

A =

2 9 4 0 7
5 9 9 8 3
9 4 7 9 6
9 8 9 6 1
1 1 6 7 7

H =

-12583
Trace =

31

Rank =

5
Norm =

30.1601

4下面是一个线性方程组，
（1）求方程的解。
A=[1/2,1/3,1/4;1/3,1/4,1/5;1/4,1/5,1/6];
b=[0.95,0.67,0.52]';
x=inv(A)*b
%(2):
B=[0.95,0.67,0.53]';
x=inv(A)*B
%(3):
cond(A)

x =

1.2000
0.6000
0.6000
x =

3.0000
-6.6000
6.6000

ans =

1.3533e+003

（2）将方程右边向量元素b3=0.52改为0.53再求解，并比较b3的变化和解的相对变化。
A=hilb(4)
A(:,1)=[]
A(4,:)=[]
B=[0.95,0.67,0.52]';
X=inv(A)*B
B1=[0.95,0.67,0.53]';
X1=inv(A)*B1
N=cond(B)
N1=cond(B1)
Na=cond(A) %矩阵A为病态矩阵

A =

1.0000 0.5000 0.3333 0.2500
0.5000 0.3333 0.2500 0.2000
0.3333 0.2500 0.2000 0.1667
0.2500 0.2000 0.1667 0.1429

A =

0.5000 0.3333 0.2500
0.3333 0.2500 0.2000
0.2500 0.2000 0.1667
0.2000 0.1667 0.1429

A =

0.5000 0.3333 0.2500
0.3333 0.2500 0.2000
0.2500 0.2000 0.1667

X =

1.2000
0.6000
0.6000

X1 =

3.0000
-6.6000
6.6000

N =

1
N1 =

1

Na =
1.3533e+003

（3） 计算系数矩阵的条件数并分析结论。
无

5建立矩阵A，试比较sqrtm(A)和sqrt(A)，分析它们的区别。
A=[1,4,9;16,25,36;49,64,81]

B=sqrtm(A)
C=sqrt(A) %sqrtm函数是以矩阵为单位进行计算，sqrt函数是以矩阵中的元素进行计算

A =

1 4 9
16 25 36
49 64 81

B =

0.6344 + 1.3620i 0.3688 + 0.7235i 0.7983 - 0.4388i
1.4489 + 1.1717i 2.7697 + 0.6224i 3.2141 - 0.3775i
4.3578 - 1.6237i 5.7110 - 0.8625i 7.7767 + 0.5231i

C =

1 2 3
4 5 6
7 8 9

6将100个学生5门功课的成绩存入矩阵P中，进行如下处理：
（1）分别求每门课的最高分、最低分及相应学生序号。
A=45+(95-45)*rand(100,5);
[Y,U]=max(A)
[X,U]=min(A)
运行结果：
Y =
94.9721 93.9250 94.5146 94.3265 94.5999
U =
94 80 45 14 87
X =
45.3517 45.6929 45.3851 45.0906 45.2279
U =
48 23 27 23 60

（2）分别求每门课的平均分和标准方差。
A=45+(95-45)*rand(100,5);
aver=mean(A)
s1=std(A)
运行结果：
aver =
67.1876 70.1262 69.0017 71.0174 70.3569
s1 =
13.2273 14.1307 13.8053 15.1191 14.7097

（3）5门课程总分的最高分、最低分及相应学生序号。
A=45+(95-45)*rand(100,5);
B=sum(A,2)
disp('最高分及学号:'),[Y,U]=max(B)
disp('最低分及学号:'),[X,U]=min(B)
运行结果：
最高分及学号:
Y =
432.6472
U =
84
最低分及学号:
X =
287.6246
U =
50

（4）将5门课总分按从大到小顺序存入zcj中，相应学生序号存入xsxh。
A=45+(95-45)*rand(100,5);
B=sum(A,2);
[X,I]=sort(B);
zcj=flipud(X)
xsxh=flipud(I)
提示：编程时，为避免输入学生成绩的麻烦，可用取值范围在[45,95]之间的随机矩阵来表示学生成绩。

7利用MATLAB提供的rand函数生成30000个符合均匀分布的随机数，然后检验随机数的性质：
（1）均值和标准方差；
（2）最大元素和最小元素；
（3）大于0.5的随机数个数占总数的百分比。
A=rand(1,30000);
aver=mean(A)
s1=std(A)
max=max(max(A))
min=min(min(A))
k=find(A>0.5);
a=length(k);
disp('百分比是：'),per=a/30000
运行结果：
均值是：
aver =
0.4982
s1 =
0.2889
max =
1.0000
min =
4.8158e-005
百分比是：
per =
0.4988

8分别用3种不同的数值方法求解线性方程组。（提示：LU函数、inv函数）

9求函数在(0,1)内的最小值。
10已知x=6，y=5，利用符号表达式：。（提示：定义符号常数，）
x=sym('6'),y=sym('5')

x =
6

y =
5

>> z=(x+1)/(sqrt(3+x)-sqrt(y))

z =
7/(3-5^(1/2))

11已知：，，求：
（1）。
（2）B的逆矩阵并验证结果。
（3）包括B矩阵主对角线元素的下三角阵。
（4）B的行列式值。
提示：用于数值矩阵分析的有关函数同样适用于符号矩阵。验证结果时须将结果化简。

（1） B=P1 P2A
P1=[0 1 0;1 0 0;0 0 1]
P1 =

0 1 0
1 0 0
0 0 1

>> P2=[1 0 0;0 1 0;1 0 1]

P2 =

1 0 0
0 1 0
1 0 1

>> a=sym('a');b=sym('b');c=sym('c');d=sym('d');e=sym('e');f=sym('f');g=sym('g');h=sym('h');i=sym('i');
>> A=[a b c;d e f;g h i]

A =
[ a, b, c]
[ d, e, f]
[ g, h, i]
B=P1*P2*A
B =

[ d, e, f]
[ a, b, c]
[ a+g, b+h, c+i]
（2） B的逆矩阵并验证结果
C=inv(B)

C =

[ (i*b-c*h)/(i*d*b-d*c*h-i*a*e+a*f*h+g*e*c-g*f*b), (-e*c-i*e+f*b+f*h)/(i*d*b-d*c*h-i*a*e+a*f*h+g*e*c-g*f*b), -(-e*c+f*b)/(i*d*b-d*c*h-i*a*e+a*f*h+g*e*c-g*f*b)]
[ -(i*a-c*g)/(i*d*b-d*c*h-i*a*e+a*f*h+g*e*c-g*f*b), -(-d*c-i*d+f*a+f*g)/(i*d*bd*c*h-i*a*e+a*f*h+g*e*c-g*f*b), (-d*c+f*a)/(i*d*b-d*c*h-i*a*e+a*f*h+g*e*c-g*f*b)]
[ (a*h-b*g)/(i*d*b-d*c*h-i*a*e+a*f*h+g*e*c-g*f*b), (-d*b-d*h+e*a+e*g)/(i*d*b-d*c*h-i*a*e+a*f*h+g*e*c-g*f*b), -(-d*b+e*a)/(i*d*b-d*c*h-i*a*e+a*f*h+g*e*c-g*f*b)]
（3）包括B矩阵主对角线元素的下三角阵
tril(B)

ans =

[ d, 0, 0]
[ a, b, 0]
[ a+g, b+h, c+l]
（4）B的行列式值
det(B)

ans =

i*d*b-d*c*h-i*a*e+a*f*h+g*e*c-g*f*b

12 用符号方法求下列极限或导数。
（1）；
（2）已知，分别求、、。
(1)x=sym('x')
x =
x

>> f=(x*(exp(sin(x))+1)-2*(exp(tan(x))-1))/sin(x).^3

f =

(x*(exp(sin(x))+1)-2*exp(tan(x))+2)/sin(x)^3

>> limit(f)

ans =

-1/2
（4）x=sym('x')

x =

x

>> y=(1-cos(2*x))/x

y =

(1-cos(2*x))/x

>> diff(y,x,1)

ans =

2*sin(2*x)/x-(1-cos(2*x))/x^2

>> diff(y,x,2)

ans =

4*cos(2*x)/x-4*sin(2*x)/x^2+2*(1-cos(2*x))/x^3

>> syms a t x;
>> f=sym('[a^x,t^3;t*cos(x),log(x)]')

f =

[ a^x, t^3]
[ t*cos(x), log(x)]

>> diff(f,x,1);
>> diff(f,x,1)

ans =

[ a^x*log(a), 0]
[ -t*sin(x), 1/x]

>> diff(f,t,2)

ans =

[ 0, 6*t]
[ 0, 0]

>> diff(f,x)/diff(f,t)

ans =

[ 0, 1/cos(x)*a^x*log(a)]
[ 1/3/t^2/x, -1/cos(x)*t*sin(x)]

13用符号方法求下列积分：
（1）；
（2）。
（1）sym('x')

ans =

x

>> f=1/(1+x^4+x^8)

f =

1/(1+x^4+x^8)

>> int(f,x)

ans =

1/6*3^(1/2)*atan(1/3*(2*x-1)*3^(1/2))+1/6*3^(1/2)*atan(1/3*(1+2*x)*3^(1/2))-1/12*3^1/2)*log(-x^2+3^(1/2)*x-1)+1/12*3^(1/2)*log(x^2+3^(1/2)*x+1)

（3）syms x
>> f=(x.^2+1)/(x.^4+1)

f =

(x^2+1)/(1+x^4)

>> int(f,x,0,inf)

ans =

1/2*pi*2^(1/2)

14化简表达式。
（1）；
byte1=sym('byte1')

byte1 =

byte1

>> byte2=sym('byte2')

byte2 =

byte2

>> Ssin(byte1)*cos(byte2)-cos(byte1)*sin(byte2)

S =

sin(byte1)*cos(byte2)-cos(byte1)*sin(byte2)

>> simplify(S)

ans =

sin(byte1)*cos(byte2)-cos(byte1)*sin(byte2)

（2）。
x=sym('x')

x =

x

>> S=(4*x^2+8*x+3)/(2*x+1)

S =

(4*x^2+8*x+3)/(2*x+1)

>> simple(s)

>> simple(S)

simplify:

2*x+3

radsimp:

2*x+3

combine(trig):

2*x+3

factor:

2*x+3

expand:

4/(2*x+1)*x^2+8/(2*x+1)*x+3/(2*x+1)

combine:

(4*x^2+8*x+3)/(2*x+1)

convert(exp):

(4*x^2+8*x+3)/(2*x+1)

convert(sincos):

(4*x^2+8*x+3)/(2*x+1)

convert(tan):

(4*x^2+8*x+3)/(2*x+1)

collect(x):

(4*x^2+8*x+3)/(2*x+1)

ans =

2*x+3

15分解因式。
（1）；
x=sym('x')

x =

x

>> y=sym('y')

y =

y

>> A=x^4-y^4

A =

x^4-y^4

>> factor(A)

ans =

(x-y)*(x+y)*(x^2+y^2)

（2）5135。
factor(sym('5135'))

ans =

(5)*(13)*(79)

四、 实验报告
1、 实验内容中的代码与运行结果的截图；
2、 本次实验的总结。