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泊松积分值的计算方法及其应用
王雯雯

摘要
在一般高等数学教材中对泊松积分的计算很少有涉及，而在实际问题中，例如在处理概率与统计问题及热传导等问题时都会用到泊松积分，但由于泊松积分的被积函数不是初等函数，因此，不能用牛顿-莱布尼兹公式来计算其积分值,本文介绍泊松积分的七种证明方法，最后给出泊松积分在数学分析、概率统计及其物理等方面的应用.
关键词：泊松积分；方法；应用
The Computing Methods And Applications 0f Poisson Integral
Wang Wenwen

Abstract
In generally textbooks of Advanced Mathematics，the methods of solving Poisson integral was less mentioned. It encountered Poisson integral in practical problem usually，such as heat conduction problem or probability problem. It couldn't solve integral value with New-Leibniz formula,because the primitive function of integrand wasn't elementary function. This paper introduces seven methods of solving Poisson integral,and applications in mathematical analysis,physics and probability statistics.
Key words: Poisson integral;methods;applications

一． 引言

泊松积分作为一种重要的积分形式在人们对实际问题的计算中起着重要的作用,但是在一般高等数学教材中对泊松积分的计算很少有涉及，而在实际问题中，例如在处理概率与统计问题及热传导等问题时都会用到泊松积分，但由于泊松积分的被积函数不是初等函数，因此，不能用牛顿-莱布尼兹公式来计算其积分值.本文将从三方面对泊松积分作详细的研究.首先，判断泊松积分的收敛性，然后，求出泊松积分的值，求解该积分的方法有多种，本文将介绍求解泊松积分的七种不同解法，最后，列举泊松积分在概率论与数理统计、复变函数论及物理等方面的简单应用.

二．判断泊松积分的收敛性
要求反常积分的值，首先要判断该反常积分的收敛性，这是十分必要的,下面判断其收敛性.
令 ,则
+
令= ，
对于:
因为在上连续，所以在上可积，即在上收敛.
对于：
因为在上恒有，且

则由Cauchy判别法知，在上收敛.
综上， 在上收敛.
即为一确定的值.

三.求解泊松积分值的几种方法
我们已经知道反常积分的值是存在的了，那么如何求出它的值呢？下面来介绍求其值的七种方法.
（一）．利用欧拉积分求解
因为欧拉积分有良好的性质，所以可用其来求一些相关的积分，往往会起到事半功倍的效果.
记 , 则 .
由余元公式知，, 则
=
2

所以,
=
（二）.通过构造新的反常积分间接求得
令, =, 则
,
对求导，得

则对, 一致收敛.
所以，
= -
且

=
则
- =
令 ， 则有
=
则

构造法是数学分析中常用的一种方法，当直接求积分不好求时，便可通过构造一种特殊的积分，间接地得出所求积分.例如求反常积分时便可通过构造反常积分 间接求得.
（三）.利用多重积分计算间接求得
解：利用极坐标变换, 就变换为
.
因此利用变量替换法得
=
=
=
=
又由于 = ，所以利用化累次积分法得
=
=
=
=
则
=
又因为为偶函数，则
=
=
该种方法主要利用的是累次积分法和变量替换法，但值得注意的是一个反常二重积分化为累次积分后，其累次积分必须是收敛与绝对收敛的，累次积分法才可以继续利用下去.
(四）.利用Wallis公式证明
因为
=,
所以
=
取 ，
，
则

不难验证，可变换其和与运算的次序，得
=
作变换 , 得
=，
对于函数，
= ，
令 ,,=,则=
所以，
=
=，
而
=
=
=
所以，
=，
又由于
=
又根据Wallis公式： =
即
=
=
=
所以
==，
故
=
（五）.利用数理方程的解证明
由一个热传导方程引出对泊松积分的求解.
已知一根无限长细杆，其初始温度为则细杆上的温度分布满 足下述热传导方程：

可以证明，此问题的傅立叶解为

假设细杆上的初始温度为，则

=
取,，，则

于是，
，
即
=
（六）.用MATLAB软件求解
MATLAB是常见的通用数学软件之一，它具有多种数据结构和丰富的数学函数，应用领域广泛.在进行数值计算时方便简洁，下面就用MATLAB求解泊松积分.
解：>> syms x
>> int(exp(-x.^2),0,inf)
ans =
1/2*pi^(1/2)
即
=
(七）.通过数值逼近近似求解
当被积函数的原函数不是初等函数时，往往不能用牛顿-莱布尼兹公式计算其积分值，而随着计算机的日益发展，我们可以利用计算机程序近似求解，精度越高，越与精确值接近.
反常积分还可通过计算机近似求解，即编制一个通用的Gauss-Laguerre(高斯-拉盖尔）求积公式程序，在计算机上实际计算反常积分的近似值.
1.主要使用到原理：Gauss-Laguerre求积公式是Gauss求积公式的一种建立在无穷区间上的特殊求积公式.它利用了Laguerre多项式：即在上关于权函数为的正交多项式
（1）
故在求积分时，我们主要使用的求积公式为：
（2）
其中,（k=1,…,n）是的n个零点，求积系数
(3)
2. 实际求解：
由题可知 （4）
首先考虑Laguerre多项式的n个零点，由于不好使用函数公式（1）直接求出，所以可以利用图像，找出n个近似点，并利用其作为初值带入方程（1），分别求得其根的精确解，再带入公式（3）（4）分别求出每个分点的系数的值与的函数值，并将其相乘得到n个数.最后，将这n个数相加，就可得出的近似值.
程序求解：
%--------------------计算得出各阶数的Laguerre多项式的公式
>>syms x %设未知变量
>> n=[2,4,6,8];%n为多项式阶数
>>for i=1:length(n)
L(i,1)=exp(x)*diff(x^(n(i))*exp(-x),n(i));%计算得出各阶数的Laguerre多项式的公式
end
%各阶数的Laguerre多项式的公式表达式
>>L=simple(L)%公式化简
%----------------计算得出各阶数的多项式的公式
>>for j=1:length(n) s(j)=1; for i=1:n(j)
s(j)=s(j)*i;end;end
>>for j=1:length(n)
q(j)=diff(L(j),1);%Laguerre多项式求一阶倒
A(j,1)=s(j)^2/(q(j)^2*x) ; %求得系数函数
>>A=simple(A)%系数函数表达式
>>f=exp(-x^2+x);%f（x）函数表达式
>>d=simple(A*f)%系数函数与f（x）函数乘积的表达式
%----利用图像，找出的n个近似点
>>x=-1:0.1:5; l=2-4*x+x.^2; %2个节点
>>x=-4:0.1:10; l=24-96*x+72*x.^2-16*x.^3+x.^4; %4个节点
>>x=-4:0.1:20; l=720-4320*x+5400*x.^2-2400*x.^3+450*x.^4-36*x.^5+x.^6;%6个节点
>>x=-1:0.1:23;
l8=40320-322560*x+564480*x.^2-376320*x.^3+117600*x.^4-18816*x.^5+1568*x.^6-64*x.^7+x.^8;%8个节点
%---------------------利用函数fzero（）函数为零时算出各个根的精确解
>>x2=[0.6 3.4];
>>for i=1:2
x2(i)=fzero('2-4*x+x^2',x2(i));
end
>>x4=[0.3 1.7 4.5 9.4];
>>for i=1:4
x4(i)=fzero('24-96*x+72*x^2-16*x^3+x^4',x4(i));
End
>>x6=[0.2 1.2 3 5.8 9.8 16];
>> for i=1:6
x6(i)=fzero('720-4320*x+5400*x^2-2400*x^3+450*x^4-36*x^5+x^6',x6(i));
End
>>x8=[0.1 0.9 2.3 4.3 7 10.8 15.7 22.9];
>>for i=1:8
x8(i)=fzero('40320-322560*x+564480*x^2-376320*x^3+117600*x^4-18816*x^5+1568*x^6-64*x^7+x^8',x8(i));
end
x8=x8’;
>>for i=1:2 %--------------------计算在各阶各节点的值y2(i)=exp(-x2(i)^2+x2(i))/(-2+x2(i))^2/x2(i);
end
>>f2=sum(y2)%2个节点
>>for i=1:4
y4(i)=36*exp(-x4(i)^2+x4(i))/(-24+36*x4(i)-12*x4(i)^2+x4(i)^3)^2/x4(i);
end
>>f4=sum(y4)%4个节点
>>for i=1:6
y6(i)=14400*exp(-x6(i)^2+x6(i))/(-720+1800*x6(i)-1200*x6(i)^2+300*x6(i)^3-30*x6(i)^4+x6(i)^5)^2/x6(i);
end
>> f6=sum(y6)%6个节点
>>for i=1:8
y8(i)=25401600*exp(-x8(i)^2+x8(i))/(-40320+141120*x8(i)-141120*x8(i)^2+58800*x8(i)^3-11760*x8(i)^4+1176*x8(i)^5-56*x8(i)^6+x8(i)^7)^2/x8(i);
end
>>f8=sum(y8)%8个节点
结果：节点数n=2时 1.0810 ;
节点数n=4时 0.8476;
节点数n=6时 0.8791 ;
节点数n=8时 0.8926.
而精确解为，由此可见节点数越多即n的值越大，越接近精确值.

四．泊松积分的应用
泊松积分公式是微积分中很重要的公式之一，在概率统计、复变函数论、物理等领域有着重要应用，泊松积分公式可使所需解决的问题简单化，下面通过几个例子来体会一下.
例 1：利用反常积分的值，计算Frensnel积分
及的值
解：考察辅助函数
= ,
它是一个正函数，并取如下图的辅助积分路径，

则
=
= + +
而 =

=
=
故当时

于是当时，变成

=
=
即
=
比较两端实部与虚部，即得
= =
例2：计算广义重积分.
=
解： =
令 , ，则此时定义域仍为.
而 ,
则
故 I =
=
=
通过例1、例2我们可以知道利用泊松积分或者泊松积分的简单变形，就可以使我们在求解一些相对复杂或不易求解的反常积分时变得相对简单。
例 3：设随机变量X服从标准正态分布，求的方差.
解：因为X服从标准正态分布，则
=,
则
=
注意到上述积分的被积函数为一个奇函数，所以其积分值等于0,即=.
=
=
=
=
=
=
= 1
所以，X的方差为1.
例4:设随机变量X服从参数为和的对数正态分布，求X的阶原点矩.
解：令,
由对数正态分布的定义知， 且
于是，

=
=
=
令 ，则

由泊松积分得：

利用本题的结果可以容易地得到参数为和的对数正态分布的数学期望和方差.显然当和时，有，,从而，=.
除了在正态分布的应用外，还有在二维正态分布 、对数正态分布及求正态分布的特征函数等方面的应用.由此可见，在解决许多反常积分计算问题时，泊松积分起到了关键作用，尤其是在计算那些涉及正态分布概率密度的问题时，几乎都要用到泊松积分.因此，熟练掌握并灵活应用泊松积分可以使许多概率问题的计算过程变得简洁而灵活.
例5.物理方面的应用
经典物理学中，求相空间中某个物理量的平均值，利用公式
=

这里相空间是由维广义坐标，，，和维广义动量，，，组成的维数学空间，其中体积元 公式采用 =
，参数是系统中某个粒子的能量，它是广义坐标和广义能量的函数.T是系统的热力学温度，R是波尔兹曼常数.如果已知能量与，的依赖关系，就可计算出系统中单个粒子的平均动能.把代入公式中有
=
假设与广义动能相关联的能量和其它形式能量无关，则=
+，则可求得与动量相对应的能量的平均值，由式得
=
=
=
因为和只依赖于动量，其余变量均可积分，结果分子分母相同，因此
=
如果能量可表示为动量的平方函数，即 = ，式中为常数，则利用泊松积分，由式得

= =
由式可以看出，与是对称的.若有部分能量只是坐标的函数，而与其他变量无关，例如=，那么同理可得
= =
显然，统计物理中物理量的平均值是典型的泊松公式的应用，能量均分原则则是泊松积分公式的直接推导结果.

五．小结
本文主要讨论求解泊松积分的值的七种不同的计算方法以及该反常积分的相关应用.虽然该反常积分的值已被人们所熟知，但其求解方法还是值得我们关注的，其中所用到的方法也是在解决实际问题中比较重要的.另外，该反常积分与复变函数论中的知识进行结合还可用来求一些比较复杂的反常积分.在概率论与数理以及物理的一些求解中泊松积分也会起到十分重要的作用.
通过对泊松积分值的计算方法及其应用的相关介绍，使人们对泊松积分有一个更深刻的了解，同时了解求解泊松积分过程中所涉及到的相关解法，以便以后在解决相关问题时更好的应用。

参考文献

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