高三数学教案_极坐标1-3.doc

Chapter_17 Parametric Equation and Polar Coordinate Equation
二、极坐标方程（Polar coordinate Equation）
第1课时：17.3 极坐标系（Polar Coordinate System）
【教学目标】
1、理解极坐标系其相关概念。
2、会建立一些简单曲线的极坐标方程，并领会建立曲线的极坐标方程的方法。
3、掌握点的极坐标与直角坐标的互化以及极坐标方程与直角坐标方程的互化。
4、能根据极坐标的意义掌握一些简单的计算，如线段长度、图形面积等等。
5、加深对坐标法的认识。
【教学重点难点】
重点 ①极坐标系的基本概念
②简单曲线极坐标方程的建立
③点的两种坐标的互化；曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化
难点 ①点的极坐标表示的不唯一性。
②极坐标系中极径为负数的点的定位
③曲线的极坐标方程与直角坐标方程互化过程中变形的等价性
④在极坐标系中讨论曲线的各种性质

教学过程
1、极坐标的概念
直角坐标系是最简单和最常用的坐标系，但它并不是用实数对来确定点的位置的惟一方法。有时利用别的坐标系比较方便。例如炮兵射击时是炮口为基点，利用目标的方位角及目标与基点的距离来确定目标的位置的；在航空、航海中也常使用类似的方法。
在平面内取一个定点，叫作极点（Pole）从点出发引一条射线，叫作极轴（Polar axis），再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向），这样建立的坐标系叫作极坐标系。建立了极坐标系的平面称为极坐标平面。
对于极坐标平面中异于极点的任一点，叫作点的极径（Radius vector），以为始边、射线为终边的角叫作点的极角（Polar angle，Vectorial angle），有序实数对（Ordered couple）叫作点的极坐标，可简单地表示为。
若为极点，则规定其极径，
而极角可为任意实数值。
如图，

的极坐标依次为、、、、，极角也可以是大于的角、还可以是负角，
如点的坐标还可以写成：
、或、。

一般情况下，极径都取正值，有时也取负值。
当时，点的位置可按下列规则确定：
①作射线，使；
②在射线的反向延长线上取点，使，则点即为所求。（如图所示）例如： 点的作图：

当极径取负值、而极角取正值时，
点的极坐标可表示为：
、、。
极坐标平面和直角坐标平面的一个根本性的区别是：
直角坐标平面中，点和坐标之间对应关系是一一对应；
而在极坐标平面中，每一个点的极坐标都有无限多个表示法。
一般说来， 若点M的极坐标是，
则和（）都是点的极坐标。
假如规定，则极坐标平面中，除极点外的所有点形成的集合与有序实数对的集合元素间的对应关系是一一对应。

例1、 已知极坐标系中两点、，
则线段中点的极坐标为 。
提示：，

例2、已知极坐标平面中点的坐标满足：、，则点的位置关系是__ ___ 。
（关于极轴所在直线对称）。
第2课时：17.3.2曲线的极坐标方程
与直角坐标平面类似，在极坐标平面中，曲线也可以用
含有这两个变数的方程来表示，
方程叫做该曲线的极坐标方程。

在直角坐标系中，曲线和方程的关系是：
（1）曲线上任意一点的坐标都是该方程的解；
（2）以方程的解为坐标的点都在该曲线上。

但在极坐标平面中，点的坐标表示的不唯一性导致了曲线上的点的坐标不一定能满足方程。

一般说来，在极坐标平面中，若已知曲线和方程满足以下关系：
（1）以方程的解为坐标的点都在曲线上；
（2）曲线上每个点的所有极坐标中，
至少有一个极坐标是方程的解，
则称为曲线的方程，并称为方程的曲线。

关于求曲线极坐标方程的两点说明
1°因为在极坐标系中，我们用极径和极角来描述点的位置，所以求曲线的极坐标方程的问题常常和解三角形有关。
2°求曲线的极坐标方程时，一般总假定：
极径、（或或）

例1、（1）求以极点为顶点、倾斜角是的射线的极坐标方程；
（2）求过极点、倾斜角是的直线的极坐标方程。
解：（1）设为该射线上任意一点，
则，
即该射线上任一点的极角都是
所求射线的极坐标方程是。

（2）如图，
直线由射线和射线组成。
据（1），其方程为和。

但若允许，则射线上任意一点
都可以表示为，
于是，直线上任意一点的极角都是
直线的极坐标方程是。

例2、求圆心的极坐标是、半径是的圆的极坐标方程。
解：设圆与极轴另一交点为，
则。设为圆上任意一点，则。
1°若，则中， （*）；
2°若，
则中，，满足（*）；
3°若，则；
若，则，极坐标都满足（*）。
综合1°、2°可知，所求圆的极坐标方程为。

问题1：圆心是极点、半径为的圆的极坐标方程？（）

例3、 求经过点且与极轴正方向夹角为的直线的
极坐标方程。
解：设为上任意一点。
1°若点在极轴上方，则在中，
、、。
正弦定理
（*）
2°若点在极轴下方，则在中
、、
正弦定理

与（*）式一致；
3°若点在极轴上，则，极坐标满足（*）式
综合1°、2°、3°可知，
直线的极坐标方程为：。

问题2：若，则直线的极坐标方程？（）

再解：（暂时不讲）作，垂足为。设为上任意一点。
1°若点在上方，
则在中，
即
（*）
2°若点在下方，则在中，
即
（*）
3°若点与重合，则且，
故满足；
综1°、2°、3°所述，直线的极坐标方程为

例4、（等速螺线）已知射线绕
其顶点按逆时针方向作等角速度
旋转，动点在射线上沿
的方向作匀速直线运动，求动点
的轨迹方程。
解：以为极点、射线的初始位置为极轴建立极坐标系（如图）。设动点的初始位置为，
射线绕极点等速转动的角速度为，
在上沿方向的运动速度为，
并设运动时间为时，转过的角度为，
此时动点所在位置为。
则： ①，
且②

由于均为常数，设，
则动点的轨迹的极坐标方程可化为。

例5、已知点（），直线，
垂足为（为极点），求直线的极坐标方程。
解：任取。
1°若与不重合，则在中，
或
，即（*）
2°若与重合，则（*）式也成立。
综合1°、2°直线的方程为。

特例：
①若，点在极轴上，则直线：；
②若，点在过极点且垂直于极轴的直线上
且在极轴上方，则直线：；
③若，点在极轴的反向延长线上，
则直线：
④若，点在过极点且垂直于极轴
的直线上且在极轴下方，则直线：。

注 综合例1、例2，
可得求直线极坐标方程的两种重要方法：
①若直线过极点，只需求出其倾斜角，
便可得到该直线的极坐标方程；
②若直线不过极点，则只需求出极点在该直线上的
射影的极坐标，便可得到该直线的极坐标方程。

例6、已知圆心的极坐标为、半径为，试求圆的极坐标方程。
解：设为圆上任意一点。
1°若不共线，则在中，
或
由余弦定理

（*）
2°若共线，易证点的坐标也满足（*）式。
综合1°、2°所求圆的极坐标方程为
。
特别： ① 若，则圆心在极点，方程（*）化为（或）
② 若，方程化为（过极点的圆的方程）

例7、分别在下列条件下求直线的极坐标方程：
（1）过，倾斜角为，则其方程为
。
（2）过，倾斜角为，则其方程为
。
解：（1）如图，作，垂足为，
则
：。

再解：设为上异于点的任意一点，
在中用正弦定理
，
当与重合时，上式也成立。
（2）如图，作，垂足为，则，
且在中，

：。
第3课时：17.3.3极坐标与直角坐标的互化
极坐标系与直角坐标系是两种不同的坐标系，
有时为了简化方程，以使得计算更简洁、
研究更便利，需要在它们之间进行互相转化。
坐标系的放置规则：
极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合；
极轴与轴的正半轴重合；单位长度相同。
设为平面内任意一点，其直角坐标为、极坐标为（如图）。
若，由任意角三角比的定义，可得（*）；
若，（*）式显然成立；
若，点的极坐标可表示为（），代入（*）式，
可得即，（*）式也成立。
1、 已知极坐标，求其直角坐标时，
可利用公式： ①

例1、将下列各点的极坐标化为直角坐标；
（1） （2） （3） （4）
解：（1）
点的直角坐标为；
（2）
点的直角坐标为；

（3）
点的直角坐标为；

（4）
点的直角坐标为。

2、 已知点的直角坐标，求其极坐标，
可从①式解出②
然后借助图形求出点的极坐标。

一般情况下，都取，即，
在确定极角时，一般根据点在坐标平面内的位置，
取为最小正角（即取）
具体规则如下：

例2、将下列各点的直角坐标化为极坐标；
（1）（2）（3）（4）
解：（1）设点的极坐标为，则，

点在第四象限，
故点的极坐标为。
（2）设点的极坐标为，则，

点在第二象限，
故点的极坐标为。
（3）设点的极坐标为，则，

点在第三象限，
故的极坐标为。

（4）点的极坐标为，可为内任意值。

例3、将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程：
（1）； （2）；
（3）；（4）
解：（1）
或
①表示极点；
②（*），
当时，（*）或
当时，或都表示过极点的射线，
故所求的极坐标方程为和
（或写成：）。
（2）
解

①或②
因为满足②，
故所求的极坐标方程为

（3）

，
故所求的极坐标方程为。

（4）

，
故所求的极坐标方程为。

例4、将下列曲线的极坐标方程化为直角坐标方程：
（1） （）；
（2） （）；
（3）
（4）
解：（3）原方程

。

（4）
解：原方程或
①，表示极点，其直角坐标为；
②。
故曲线的直角坐标方程为和。

例5、极坐标方程表示的曲线是______

解：

或，
所表示的曲线是两个圆。

再解：原方程，不妨设，
则：原方程（）
或（）
其图形是两个圆。

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