1、1．在里一定能整除任意多项式的多项式是 【 B 】
．零多项式 ．零次多项式 ．本原多项式 ．不可约多项式
2．设是的一个因式，则 【 C 】
．4 ．3 ．2 ．1
3．,是阶方阵，则下列结论成立的是 【 C 】
.且 .
．或 .
4．设阶矩阵满足，则下列矩阵哪个不可逆 【 B 】
. . ． .
5．设为3阶方阵，且
2、则 【 A 】
. . ． .
6．设为阶方阵的伴随矩阵，则= 【 D 】
. . ． .
7．下列对于多项式的结论正确的是 【 D 】
.如果，那么
.如果多项式在有理数域上可约,则它一定存在有理根
.每一个多项式都有唯一确定的次数
.奇数次实系数多项式必有实根
8． 方程组为，且，则和原方程组同解的方程组为 【 A 】
.（为可逆矩阵）
3、 .（为初等矩阵）
． . 原方程组前个方程组成的方程组
1．把表成的多项式是；
2．设，，若，则
6 ， 8 ；
3．当k = 5 ，l = 4 时，5阶行列式的项取“负”号；
4. 设，则 -20 ；
5．设n > 2,为互不相等的常数，则线性方程组
的解是 (1,0,…,0) ；
6．= .
三．计算题（本大题共4个小题，共34分.请写出必要的推演步骤和文字说明）.
得分
评卷人
1．（本小题6分）
.
:
4、得分
评卷人
2．（本小题8分）为何值时，齐次线性若方程组
有非零解，并求出它的一般解.
解: 组有非零解，得 --------2分
对系数矩阵施行行初变换如下:
--------6分
故一般解为 (为自由未知量) ---------8分
得分
评卷人
3．（本小题8分）
设=，，求.
解: 易知 --------2分
而 --------6分
故 --------8分
得分
评卷人
5、
4．（本小题12分）取何值时，线性方程组
有唯一解？无解？有无穷多解？并在有解时写出解.
解: 对增广阵施行行初变换如下:
--------- 4分
易知
1) 当,即时,,组有唯一解
---------8分
2) 当时, 未知量个数,组有无穷多解
(为自由未知量) ---------10分
3) 当时, ,组无解
6、 ---------12分
四．证明题：（本大题共2个小题，共18分.证明须写出必要的推演步骤和文字说明）.
得分
评卷人
1．（本小题10分）
证明：一个秩为r的矩阵总可以表为r个秩为1的矩阵的和.
证: 设A为m×n矩阵且秩A=r，则存在m阶可逆矩阵p及n阶可逆矩阵Q，使
----------2分
又 ----------4分
----------8分
由于秩Bk=秩（P
7、1ErrQ-1）=秩Ekk=1
所以A可表成r个秩为1的矩阵之和. ----------10分
得分
评卷人
2．（本小题8分）
设是一个整系数多项式，证明：若与都是奇数，则不能有整数根.
证明: 用反证法
假设有整数根,则,其中为整系数多项式,--------3分
于是
--------5分
即
但与都是奇数,而不同为奇数,因而矛盾. ----------7分
故不能有整数根 ----------8分
2009级数学与应用数学专业《高等代数》I (A卷)第 5 页 共 6 页
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