第7-9节：函数的连续性.doc

第7节 函数的连续性
第8节 连续函数的运算和与初等函数的连续性
第9节 闭区间上连续函数的性质
教学目的：理解函数连续的概念，会判断函数间断点的类型，了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质，并会应用这些性质
教学重点：连续的定义，间断点的分类
教学难点：连续的定义，间断点的分类
教学内容：
一．数的连续性
1．增量（用图说明）
对，当自变量从变到，称叫自变量的增量，而叫函数的增量。
注：这里所讲的增量是一种广义的概念，可能为负数。
2．函数在点连续的定义
定义：设函数在点的某一邻域内有定义，如果当自变量的增量趋于零时，对应的函数的增量也趋于零，那么就称函数在点连续。（用图说明）
分析：设,那么意味着，同时也表明，由上述定义，可转换为，于是，连续的定义可改写如下。
等价定义：设函数在点的某一邻域内有定义，如果函数当时的极限存在，且等于它在点处的函数值，即，那么就称函数在点连续。
总结：连续的三个条件（1）在点有定义；（2）在点极限存在；（3）
由于连续是用极限来说明的，而极限又分为左极限和右极限，故连续也分为左连续和右连续，下面给出左连续及右连续的概念。
如果存在且等于，即，就说函数在点左连续。如果存在且等于，即，就说函数在点右连续。
在点连续（常用于判定分段函数在分段点的连续性）
例1讨论函数 在点处的连续性。
2．连续函数
在区间上每一点都连续的函数，叫做在该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连续。如果区间包括端点，那么函数在右端点连续是指左连续，在左端点连续是指右连续。
连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线。
所有的基本初等函数在其定义区间内都是连续的。
二．函数的间断点
设函数在点的某去心邻域内有定义。在此前提下，如果函数有下列三种情形之一：
（1）在没有定义；
（2）虽在有定义，但不存在；
（3）虽在有定义，且存在，但；
则函数在点为不连续，而点称为函数的不连续点或间断点。
下面我们来观察下述几个函数的曲线在点的情况，给出间断点的分类：
②

①

在连续。 在间断，极限为2。
③
④

在间断，极限为2。 在间断，
左极限为2，右极限为1。
⑥

在 间断

⑤

在间断，极限不存在。

像②③④这样在点左右极限都存在的间断，称为第一类间断，其中极限存在的②③称作第一类间断的可补间断，此时只要令，则在函数就变成连续的了；④被称作第一类间断中的跳跃间断。⑤⑥被称作第二类间断，其中⑤也称作无穷间断，而⑥称作震荡间断。
就一般情况而言，通常把间断点分成两类：如果是函数的间断点，但左极限及右极限都存在，那么称为函数的第一类间断点。不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点。在第一类间断点中，左、右极限相等者称为可去间断点，不相等者称为跳跃间断点。无穷间断点和振荡间断点显然是第二类间断点。
例2 试确定的间断点类型。（是可去间断点，是无穷间断点）
三．连续函数运算
由函数在某点连续的定义和极限的四则运算法则，立即可得出下列定理。
定理1 有限个在某点连续的函数的和是一个在该点连续的函数。
定理2 有限个在某点连续的函数的乘积是一个在该点连续的函数。
定理3 两个在某点连续的函数的商是一个在该点连续的函数，只要分母在该点不为零。
定理4 如果函数在区间单调增加（或单调减少）且连续那末它的反函数x=(y)也在对应区间上单调增加（或单调减少）且连续。（反函数的连续性）
定理5 设函数当时的极限存在且等于，即，而函数在点连续，那么复合函数当时的极限也存在且等于，即。（在连续的条件下，极限符号和函数符号可以交换位置）
定理6 设函数在点连续，且，而函数在点连续，那么复合函数在点也是连续的。（复合函数的连续性）
由于初等函数是基本初等函数经过有限次的四则与复合所得，故一切初等函数在其定义域内都是连续的。
例3
四．闭区间上连续函数性质
在闭区间上的连续函数具有下述良好性质
定理1（最大值和最小值定理） 在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值。
定理2（有界性定理） 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界。
定理3（介值定理） 设函数在闭区间上连续，且在这区间的端点取不同的函数值及，那么，对于与之间的任意一个数，在开区间内至少有一点，使得。
推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值。
定理4（零点定理） 设函数在闭区间上连续，且与异号（即）,那么在开区间内至少有函数的一个零点，即至少有一点使。（常用来证明方程有解）
定理5（根的唯一性定理）若函数在闭区间上单调且连续，并且，则在开区间内有且仅有一个零点。
例4 证明：在区间内分别恰有一个根。
例5 证明：至少有一个正根。
例6 已知求，使在定义域中连续。（说明常见的变化）

小结：本节介绍了函数的连续性，间断点的分类及闭区间上连续函数的性质