《1.3.2函数的极值与导数》导学案_新人教A版选修2-2.doc

《1.3.2函数的极值与导数》导学案
学习目标
1.理解极大值、极小值的概念；
2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；
3.掌握求可导函数的极值的步骤.
学习过程
一、课前准备（预习教材找出疑惑之处）
复习1：设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内，那么函数y=f(x) 在这个区间内为 函数；如果在这个区间内，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的 函数.
复习2：用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f(x)的导数. ②令 解不等式，得x的范围就是递增区间.③令 解不等式，得x的范围，就是递减区间 .
练习：求

二、新课导学
学习探究
探究任务一：
问题1：如下图，函数在等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？在这些点的导数值是多少？在这些点附近，的导数的符号有什么规律？

看出，函数在点的函数值比它在点附近其它点的函数值都 ， ；且在点附近的左侧 0，右侧 0.
类似地，函数在点的函数值比它在点附近其它点的函数值都 ， ；而且在点附近的左侧 0，右侧 0.
新知：
我们把点a叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值；点b叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值.
极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值.
极值反映了函数在某一点附近的 ，刻画的是函数的 .
试试：
（1）函数的极值 （填是，不是）唯一的.
(2) 一个函数的极大值是否一定大于极小值.
(3)函数的极值点一定出现在区间的 (内，外)部，区间的端点 （能，不能）成为极值点.
反思：极值点与导数为0的点的关系：
导数为0的点是否一定是极值点. 比如：函数在x=0处的导数为 ，但它 （是或不是）极值点.即：导数为0是点为极值点的 条件.
求可导函数f(x)的极值的步骤:
(1)确定函数的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)求方程f′(x)=0的根
（4）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查
f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值.
典型例题
例1 求函数的极值.

例2　已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1时取得极值，且f(1)＝－1，
(1)试求常数a、b、c的值；
(2)试判断x＝±1时函数取得极小值还是极大值，并说明理由．

变式1：已知函数在点处取得极大值5，其导函数的图象经过点，，如图所示，求 (1) 的值(2)a，b，c的值.

x
o
1
2
y

变式2：已知函数 在 处取得极值。
（1）求函数的解析式
（2）求函数的单调区间

动手试试
练1. 求下列函数的极值：
（1）；（2）；
（3）；（4）.

练2. 如图是导函数的图象,在标记的点中，在哪一点处
（1）导函数有极大值？
（2）导函数有极小值？
（3）函数有极大值？

（4）导函数有极小值？

学习小结
函数在某点处不可导,但有可能是该函数的极值点.由些可见：“有极值但不一定可导”
当堂检测
1. 函数的极值情况是（ ）
A．有极大值，没有极小值 B．有极小值，没有极大值
C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也极小值
2. 三次函数当时，有极大值4；当时，有极小值0，且函数过原点，则此函数是（ ）
A． B．
C． D．
3. 函数在时有极值10，则a、b的值为（ ）
A．或
B．或
C． D．以上都不正确
4. 函数在时有极值10，则a的值为
5．已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有极大值，又有极小值，则实数a的取值范围是________．
课时训练与作业
1．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极小值有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
2．函数y＝x3－3x的极大值点是______，极小值点是______，极大值为_____，极小值为_______．
3．判断下列命题的正误：
(1)函数的极大值必大于极小值. (　　)
(2)函数的极大值是函数整个定义域内的最大值. (　　)
(3)函数在某区间上极大值只能有一个. (　　)
(4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点. (　　)

5．已知函数y＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个单调递增区间是(　　)
A．(2,3) B．(3，＋∞) C．(2，＋∞) D．(－∞，3)
6．已知a为实数， f(x)＝(x2－4)(x－a)且f′(－1)＝0 ，求a的值．

7．设函数f(x)＝2x3＋3ax2＋3bx＋8c在x＝1及x＝2处取得极值，求a，b的值．

8．设a≥0，f(x)＝x－1－ln2x＋2aln x(x>0)．令F(x)＝xf′(x)，试讨论F(x)在(0，＋∞)内的单调性，并求极值

9．已知函数f(x)＝|x|，在x＝0处函数极值的情况是(　　)
A．没有极值 B．有极大值
C．有极小值 D．极值情况不能确定
10.设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R.
(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)设g(x)＝f′(x)e－x，求函数g(x)的极值．

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