g3.1030数列与函数的极限(1).doc

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g3.1030数列与函数的极限（1）
一、知识回顾
1、 数列极限定义
（1）定义：设{an}是一个无穷数列，a是一个常数，如果对于预先给定的任意小的正数ε，总存在正整数N，使得只要正整数n>N，就有|an-a|<ε，那么就称数列{an}以a为极限，记作an=a。
对前任何有限项情况无关。
*（2）几何解释：设ε>0，我们把区间(a-ε，a+ε)叫做数轴上点a的ε邻域；极限定义中的不等式|an-a|<ε也可以写成a-ε从某一项以后的所有项都要进入这个邻域中，也可以说点a的任意小的ε邻域(a-ε，a+ε)中含有无穷数列{an}的几乎所有的项，而在这个邻域之外至多存在有限个项，由此可以想像无穷数列{an}的项是多么稠密地分布在点a的附近。
2、几个常用极限
①C=C（常数列的极限就是这个常数）
②设a>0，则特别地
③设q∈(-1，1)，则qn=0；或不存在。
若无穷等比数列叫无穷递缩等比数列，其所有项的和（各项的和）为：
3、数列极限的运算法则
如果an=A，bn=B，那么(1)(an±bn)=A±B (2)(an·bn)=A·B (3)=(B≠0)
极限不存在的情况是1、；2、极限值不唯一，跳跃，如1，-1，1，-1….
注意：数列极限运算法则运用的前提:
(1)参与运算的各个数列均有极限;
(2)运用法则,只适用于有限个数列参与运算,当无限个数列参与运算时不能首先套用.
二.基本训练
1、= ；=
2、=_________________
3．已知a、b、c是实常数，且的值是………（ ）
A. B. C. D.6
4．已知a、b都是实数，且a>0，如果，那么a与b的关系是………………（ ）
A.a<2b B.－a<2b C.－a1,前项和Sn满足，那么a1的取值范围是……………………（ ）
（A）（1，＋∞） （B）（1，4） （C）（1，2） （D）（1，）
6.等比数列｛an｝中，a1=－1,前n项和为Sn，若则………………………（ ）
（A） （B）－ （C）2 (D)－2
三、例题分析
例1求下列极限
(1)(-) (2)[(-)]
(3)(+++…+) (4)(a≠1)
例2：已知=5，求常数a、b、c的值。
例3．设数列a1，a2，…，an，…的前n项的和Sn和an的关系是，其中b是与n无关的常数，且b≠―1
（1）求an和an－1的关系式； （2）写出用n和b表示an的表达式;（3）当00万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？
备用:某县地处水乡，县政府原计划从今年起填湖围造一部分生产和生活用地。但根据前几年抗洪救灾得到的经验教训和环境保护、生态平衡的要求，准备重新研究修改计划。为了寻求合理的计划方案，需要研究以下问题：(1)若按原计划填湖造地，水面的减少必然导致蓄水能力的下降。为了保证防洪能力不会下降，除了填湖费用外，还需要增加排水设备费用，所需经费与当年所填湖造地的面积x（亩）的平方成正比，其比例系数为a。又知每亩水面的年平均经济收益为b元，填湖造地后的每亩土地的年平均经济收益为c元（其中a，b，c均为常数）。若按原计划填湖造地，且使得今年的收益不小于支出，试求所填面积x的最大值。
(2)如果以每年1%的速度减少填湖造地的新增面积，并为保证水面的蓄洪能力和环保要求，填湖造地的总面积永远不能超过现有水面面积的，求今年填湖造地的面积最多只能占现有水面的百分之几？
解析：(1)收入不小于支出的条件可以表示为：cx-(ax2+bx)≥0
即ax2+(b-c)x≤0，x[ax-(c-b)] ≤0
当c-b≤0时，≤x≤0，此时不能填湖造地
当c-b>0时，0≤x≤，此时所填面积的最大值为亩。
(2)设该县现有水面为m亩，今年填湖造地的面积为x亩，则x+(1-1%)x+(1-1%)2x+…+(1-1%)nx+…≤
不等式左边是无穷等比数列的和，故有≤，即x≤=0.25%m
今年填湖造地的面积最多只能占有水面的0.25%。
[思维点拔]此列应用数极限解决实际问题。
三、课堂小结
1、极限的四则运算，要特别注意四则运算的条件是否满足。
2、极限运算最终转化为qn=0(|q|<1)，=0，C=C(C为常数)
3、本节复习内容是数列极限在代数，平面几何、三角、解析几何中的综合应用，尤其要注意公式S=的运用。

四、作业g3.1030数列与函数的极限（1）

1．已知a、b是互不相等的正数，则
A.1 B.－1或1 C.0 D.－1或0
2．an是(1+x)n展开式中含x2的项的系数，则等于
A.2 B.1 C. D.
3．已知数列{an}中，a1=1，2an+1=an(n=1，2，3…)，则这个数列前n项和的极限是
A.2 B. C.3 D.
4. （05广东卷）已知数列满足，，…．若，则 x1等于 ()
（Ａ）（Ｂ）３（Ｃ）４（Ｄ）５
5. （05湖南卷）已知数列{log2(an－1)}（n∈N*）为等差数列，且a1＝3，a2＝5，则
　　）= （ ）
A．2　　 B．　　 C．1　　 D．
6.．（05浙江卷）＝( )
(A) 2 (B) 4 (C) (D)0

7．00)的等比数列前n项和为Sn，则
9．s和t分别表示(1+2x)n和(1+3x)n展开式中各项系数和，则
10．有一系列椭圆，满足条件：（1）中心在原点；（2）以x=2为准线；（3）离心率。则所有这些椭圆的长轴长之和为__________________.
11. （05山东）

9．求极限：

10．已知Sn=2+kan为数列的前n项和，其中k为不等于1的常数。
（1）求an； （2）若，求k的取值范围.

答案
例1. (1) (2) (3)
(4)当|a|<1时，原式=1；当|a|>1时，原式=a；当a=-1时极限不存在
例2. a=0，b=，c=
例3.
例4. (1) an=()n-1 .(2) k<
例5.每年新增汽车不应超过3.6万辆。

作业1—6. BAABCC.
7、 8、1或 9、-1. 10、2. 11、
12、 13、
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