第二章信号分析.doc

第二章 信号分析
第二章 信号分析
2.1 信号定义及其分类
在通信、广播、电视或遥控遥测等系统中进行着信息的传递。信息通常用语言、文字、图像和数据形式来表示。为了便于传输和处理，往往讲信息变换为另一形式的变化着的物理量，如光、声、电等，这些形式通称为信号。因此信号的变化即表现为物理量的变化。作为信号的多种物理量中，电信号是最常见和应用广泛的物理量，因为电信号容易产生和控制，并且与非电量之间的转换也比较容易。电信号通常是随时间变化的电压和电流，某些情况下可以是电荷和磁链。
信号的分类一般是按照信号的波形特征来划分的。从信号描述上可以分为确定性信号和不确定性信号（规则性信号和不规则性信号）；从信号的幅值上分能量信号和功率信号；从分析域上可以分为时域和频域；确定性信号，可以用明确的数学公式描述的信号，否则为非确定性信号。能量信号，瞬态信号，能量为有限值的信号。满足条件；功率信号，时间持续无限值，研究平均功率更有意义。
规则信号是指按一定规则变化的、可以用确定的数学函数式或波形进行描述的信号。规则信号根据其变化时有无重复性的特点分为周期性信号和非周期信号；按信号的存在时间是否为连续的特点又可分为连续时间信号和离散时间信号。通常将输入电路的信号称为激励，而把经过电路传输和处理后的输出信号称为响应。
时域信号，在某一时间范围内有定义，其余为0；频域有限信号：在某一频率范围内有定义，其余频率为0
一、基本信号
1、指数信号（） a为实数

右图为单边指数衰减信号，与单边指数衰减信号相对应的为双边指数衰减信号，其表示式为，波形为左右对称。
指数信号的一个重要特征是它对时间的微粉和积分仍然是指数形式
2、复指数信号（指数为复数，可以通过欧拉公式转化为正弦余弦函数）
其表达式为，可以借助欧拉公式将信号分解为：

σ>0时为增幅振荡，σ＝0时为等幅振荡；w则表示正弦和余弦振荡的角频率。
复数指数在实际中生产出来，但它概况了多种情况，可以用它来描述上述的各种基本信号。Hia可以利用复制数信号简化很多运算和分析。
正弦信号的拉普拉斯变换式为
3、单位斜变信号 从某一时刻开始随时间正比增长的信号，且变化率为1。其表达式为：
其拉普拉斯变换式
大型船闸匀速升降时，主拖动系统发出位置信号、数控机床加工斜面时的进给指令，均可看作斜坡作用。
4、单位阶跃信号（简称阶跃信号，电路中常用来测试系统响应的快慢）

其拉普拉斯变化式为
其物理意义是，当u(t)作为电路的电源时，相当于该电路在t＝0时刻接入单位直流电源。还有指令的突然转换、负荷的突变均可视为单位阶跃作用。是评价系统动态性能时应用较多的一种典型作用。
阶跃信号可以表示任何矩形脉冲(门信号)。如右图可以表示为：
x(t)=u(t-τ)-u(t-3τ)
5、（单位）冲激信号
也称为狄拉克函数，常用δ(t)[ delta]表示。在近代电路理论中占重要地位，是一个应用广泛的基本信号。
冲激函数是一个理想的物理现象，即经历时间极短，取得的函数值极大，而效能是定值。工程定义：

单位冲激信号波形如右图
其拉氏变换为
当某冲激信号在（-∞，∞）间的积分值为任一常数E时，则该冲激信号称为强度为E的冲激信号，用Eδ(t)表示。冲击信号是实际不存在的，只有数学上的意义，但却是一个重要的数学工具。脉动电压信号、冲击力、阵风或大气湍（tuan）流，可近似看成脉冲作用
冲激信号与阶跃信号有如下关系：
和
利用这一关系可以解决含有不连续点的连续函数的微分问题。
复杂的信号可以用基本信号来表示。
二、测量系统中常见信号种类如下
1、位移信号 包括线位移和角位移，属于机械信号。在测量力、压力、质量、振动等物理量时，通常首先把它们转化成位移量，然后再做进一步处理。如测量参数是力或压力时，可以通过适当的弹性元件转化成位移。位移信号也可以利用杠杆、齿轮副等机构进行放大或传送。
2、压力信号 包括气压信号和液压信号。热加工中主要是气压信号。在气动测量系统中，气体传感器将被测量参数转化为与之适应的气压信号。气压信号可以通过气动功率放大器放大，也可以通过气动计算单元进行加减乘除开方等运算。还可输送给显示单元进行指示、记录、报警或用于自动调节，采用气-电转换装置，可将气压信号转换为电信号。
3、电气信号 常用的电气信号有电压信号、电流信号、阻抗信号和频率信号。
电气信号可以远距离传送，便于与计算机连接，易于实现自动化，而且响应速度快。将被测的非电信号转换成电信号进行测量的方法应用越来越广。近年来，将被测参数直接或间接的转化为电信号的传感器发展很快。
4、光信号 包括光通量（人眼所能感觉到的辐射功率）信号、干涉条纹（在制作全息图时引入随机机制，在全息图上记录随机干涉花样，这种花样具有名显的特征，且不可重复）信号、莫尔条纹（18世纪法国研究人员莫尔先生首先发现的一种光学现象。从技术角度上讲，莫尔条纹是两条线或两个物体之间以恒定的角度和频率发生干涉的视觉结果。双色或多色网点之间的干涉）信号等。激光、光导纤维和计量光栅技术的发展，光学检测技术也得到了很大的发展，特别是高精度、非接触测量方面。利用各种光学元件构成的光学系统可将光信号进行传递和放大。热加工领域中如非接触式测温仪。光信号可以是连续的，也可以是断续或脉冲的。
从信号的传递形式来看，信号可以分为模拟信号、数字信号和开关信号（两种状态或两个数值范围表示的不连续信号）
自学内容 拉普拉斯变换
2.2 信号的时域波形分析（在时间域内对系统动态过程进行研究的方法，反映信号幅值随时间变化关系）
1、信号波形分析
周期T，频率f=1/T
峰值P
双峰值PP-P
直流分量/交流分量
实部分量与虚部分量

2、均值 表示集合平均值或数学期望值。反映信号变化的中心趋势，也被称为直流分量
3、均方值（平均功率）平均能量的一种表达。

4、方差：反映信号绕均值波动的程度

5、波形分析的应用（信号类型识别，基本参数识别）
2.3 信号的幅值域分析
1、概率密度函数 以幅值大小为横坐标，以每个幅值间隔内出现的概率为纵坐标进行统计分析的方法。它反映了信号坐在不同幅值强度区域内的概率情况。

p(x)的计算方法：

p(x)与μx、ψx2、σx2之间的关系

2、概率分布函数 信号幅值小于或等于某值R的概率。其定义为

概率分布函数又称为累计概率，表示落在某一区间的概率

2.4 信号的相关分析
1、变量相关的概念
统计学中用相关系数来描述变量x、y之间的相关性。是两随机变量之积的数学期望，称为相关性。表征了x、y之间的关联程度

2、波形相关的概念（相关函数）
如果研究的变量x,y是与时间有关的函数，即x(t)与y(t)：

这时可以引入一个与时间τ有关的量，称为函数的相关系数，并有：

相关函数反映了两个信号在时移中的相关性
（能量）互相关函数表示为：

（能量）自相关函数表示为

相关函数是时延τ的函数。所取时延值不同，相关程度也不同。
3、自相关函数的性质及应用
自相关函数描述了信号自身不同时刻的相似程度，通过分析相关分析可以发现信号中许多规律的东西
1）自相关函数为τ的偶函数，即
2）当τ＝0时，自相关函数具有最大值，且等于信号的均方值，相关系数为1.
3）周期信号的自相关函数仍然是同频率的周期信号，但不保留原信号的相位信息。
保留幅值和频率信息，丢失初始相位信息
用于检测周期信号的存在。由性质知道，自相关函数有助于检测混淆在随机过程中确定性周期信号
4）随机噪声信号的自相关函数随τ的增大快速衰减。
5）两个非同频率信号不相关。

2.5 信号的频域分析
前面指出，信号可用时间函数或波形描述，显示信号随时间变化的快慢、出现时间的先后，存在时间的长短和重复周期。这些都是信号的时间特性。信号的时间特性包含了信号所携带信息的全部内容。信号还可以通过傅立叶级数或傅立叶变换把周期或非周期信号分解成许多不同频率的正弦信号的叠加，显示信号的各个频率分量的大小是怎么随频率变化，主要频率分量分布在哪一段频率范围，这些称为信号的频率特性。信号的频率特性同样包括信号所携带的全部信息。很显然，信号的频率特性与时间特性有着密切的联系，一定的时间特性对应于一定的频率特性，反之亦然。信号的时域描述比较直观，耳频域描述容易与电路的频率特性相配合。
2.5.1、周期信号的傅立叶级数
将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合，称为信号的频谱分析。
一、三角形式的傅立叶级数展开式

将式中同频率的项加以合并，得到

所以傅立叶级数又可以写为：

它们有如下关系
二、

上式可以表示为：

如果上式中各正弦分量有初相位，则Fn通常为复数，称为傅立叶复系数，可表示为

f(t)的三角傅立叶级数和指数傅立叶级数只是同一信号的两种不同表示形式。前者为实数形式的傅立叶级数，后者为复数形式的傅立叶级数。
2.5.2 周期信号的频谱分析
周期信号的频谱分析可以用上节的傅立叶级数展开表示，也可以直观的用频谱图表示。周期信号可以由直流分量A0及n次谐波Ancos(nw1t+φn)之和组成。周期信号f(t)所含各谐波的振幅、相位随频率w=nw1的变化关系，称为信号f(t)频率特性；将这一特性用图形表示，即为信号f(t)的频谱图，简称信号的频谱，可用直线段的长短表示An或φn的大小
一、单边频谱
，很明显，An和φn都是频率nw1的函数。将An～w＝nw1画在实平面上的图称为信号的幅度频谱，简称幅度图。将φn～w＝nw1画在实平面上的图称为相位频谱，简称相位谱。n>0，频谱图只在频率轴的零频率和正频率一边，所以为单边频谱。（n>0）

二、双边频谱
如果将周期信号展开为指数傅立叶级数，由于存在负频率其频谱图的谱线在频率的负半轴同时存在，故称为双边频率。
n为-∞～∞的整数，频谱图的正负频率各边均有谱线。幅频图为偶函数，对称轴为纵轴

其幅度频谱图为右图
自己分析T和τ对与频谱的关系

2.5.3 非周期信号的频谱分析
当周期信号的周期无限增大而变成非周期信号，w1将趋向于零，nw1将变成连续变量w，而幅度An将变成无穷小量，但仍然低频部分稍大，高频部分更小。由此可见，非周期信号的频谱为连续频谱。

习题
1、 信号的时域分析都有哪些方面？（如何描述时域信号）
2、 信号的频域分析方面？（周期信号和非周期信号）
3、 自相关和互相关的概念
2.6 卷积积分
一、卷积积分的定义及物理意义：：

信号的零状态响应，如任意信号都可以表示为。，

卷积积分的变量是τ，对τ做定积分，其结果必为参变量t的函数，用f(t)表示
（没有女朋友的生活用一个函数y(t)表示；朋友对你某时刻有一个激励δ(t)；以让你的生活轨迹变为h(t) ；是你女朋友对你的激励，不是一个脉冲，而是连续激励x(t) ；那么你的生活轨迹，将会是这无数单个激励共同作用的结果。(t)*h(t)就描述了这无数激励共同作用过程）
整个积分的运算是由变量置换（t换为τ）、反折（)、延时、相乘和积分五种运算组合而成，所以卷积又称为折积和卷乘。由于反折到延时过程中，参变量t的取值为-∞～∞，致使被积函数有可能为0，则卷积结果也就等于零。若不为零，则卷积结果就是按不同积分限做出来的积分，从卷积积分的图解法可以看出。卷积积分的上下限为被积函数存在区间
二、卷积积分的图解法
借助图形确定卷积积分的方法为图解法，其做法，先做出f1(t)、f2(t)的图形，然后按照卷积积分的运算步骤进行。

第一步：t变换为τ 第二步 反折

第三步 时移
t<0，图形向左移动
t>0，图形向右移动。

最终结果就是一条关于时间t的曲线（折线）

运算过程的实质：
参与卷积的两个信号中，一个不动，一个反转后随参量t移动。对每一个t值，将e(t)和h(t-τ)对应相乘，在计算相乘后曲线所包围的面积。
用图解法计算卷积积分比较繁琐，容易出错。但求某一时刻的卷积值时还是很方便的，确定积分的上下限是关键。除此之外还有利用定义式直接进行积分法、利用卷积积分表计算法、利用卷积性质计算法等等。
三、卷积积分的性质

应用（1）、（3）的条件是必须成立。即；
否则不能应用。

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