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MATLAB对线性系统稳定性的分析

摘 要：本文对线性系统从时域、复域和频域进行了稳定性分析，总结了控制系统的主要判据，分析过程简单，结合实例验证了其真实性、有效性。 关键词：线性系统 稳定性 MATLAB
引言：一个控制系统要能正常工作,必须首先是一个稳定的系统,即当系统受到外界干扰后,虽然它的平衡状态被破坏,但在外扰去掉以后,它仍有能力自动地在平衡状态下继续工作。在已知一个系统的系统函数或状态空间表达式时,就可以对其系统的稳定性进行分析。但当系统的阶次较高时,绘图和计算需要花费大量的时间和精力。MATLAB是一套高性能的数值计算和可视化软件,并拥有几十个工具箱,借助MATLAB的系统工具箱,就可以直观、方便地分析系统的稳定性。
1、控制系统稳定性定义
关于稳定性的定义有许多种，较典型的说法有两种：一种是由俄国学者李雅普诺夫首先提出的平衡状态稳定性，另一种指系统的运动稳定性。 对于线线控制系统而言，这两种说法是等价的。根据李雅普诺夫稳定性理论，线性控制系统的稳定性可以定义如下：若线性控制系统在初始扰动的影响下，其过渡过程随着时间的推移逐渐衰减并趋向于零， 则称该系统为渐近稳定，简称为稳定；反之，若在初始扰动影响下，系统的过渡过程随时间的推移而发散，则称系统为不稳定。 由上述稳定性定义可以推知，线性系统稳定的充分必要条件是：闭环系统特征方程的根都具有负实部， 或者说闭环传递函数的极点均位于左半S开平面（不包括虚轴）。
2、系统稳定性分析方法概述
在经典控制理论中，常用时域分析法、复域分析法或频率分析法来分析控制系统的性能。 不同的方法有不同的适用范围，下面对上述方法进行具体研究。
2.1时域分析法
在经典控制理论中，时域分析法是一种直接在时间域中对系统进行稳定性分析的方法，具有直观、准确的优点，并且可以提供系统时间响应的全部信息。 在时域分析系统的稳定性，必须研究在输入信号作用下，当时间t趋于无穷时，系统的输出响应趋于最终期值h（∞）。显然，一个稳定的系统，其时域响应曲线必须是衰减的。
2.2复域分析法
在复域中进行系统稳定性分析，尤其当系统参数K的变化时，选定合适的参数范围使系统达到所需要稳定要求。有两种方法：一是直接法，即对于较易得到系统闭环传递函数的场合，直接求出系统所有闭环极点，判断是否都具有负实部来确定系统的稳定性；二是根轨迹法，利用系统开闭环传递绘制根轨迹，由线性系统稳定的充分必要条件：闭环传递函数的极点均位于左半S开平面（不包括虚轴），确定使根轨迹在左半S开平面部分时参数范围为系统稳定的区域。
2.2.1直接法
假设闭环传递函数为=，则其特征方程写成一般形式：
(1)
若n≤2，可直接求取其特征方程根（即闭环极点）来判断系统稳定性，即使（1）有待定参数，也容易求出特征方程根的一般形式，但对于求取n>3的高阶系统特征方程式的根很麻烦，所以对高阶系统一般都采用间接法来判断稳定性，在时域中常采用间接方法是代数判据（也称劳斯判据）。
2.2.2根轨迹法
根轨迹法是一种图解方法，这种方法是根据系统开环零、极点的分布来研究系统中可变参数变化时，系统闭环特征根的变化规律，从而研究系统的稳定性。 因此，根轨迹法在控制系统的分析和设计中是一种很实用的工程方法。它的最大特点是能够很清晰地了解到闭环特征根的分布，一目了然地得出系统稳定时参数的取值范围，并且不必求出系统的闭环传递函数，适用于较复杂系统。根轨迹法的关键环节就是能够正确地绘制出系统的根轨迹，简单根轨迹可用试探法绘制，复杂根轨迹则应利用其绘制基本规则进行绘制。
2.2.3频域分析法
频域分析法是应用频率特性研究系统的一种经典方法，以系统的频率特性为数学模型， 用bode图或其他图表作为分析工具。 当系统的开环传递函数表达式不易求出，就无法应用代数判据或根轨迹法判断闭环系统的稳定性，此时应用频率稳定判据就非常方便。其前提条件就是要正确地把系统的频率特性绘制成曲线，常用的频率特性曲线大致有三种：幅相曲线（极坐标图）；bode图，也称为对数频率特性曲线；对数幅相曲线（尼科尔斯图）。曲线的绘制可根据系统的开环频率特性的表达式通过取值描点法、叠加法绘制根轨迹草图，或利用MATLAB等计算机辅助工具来实现。
3、MATLAB实现系统稳定性分析
3.1时域分析法判断系统的稳定性
系统模型为WK(S)=，单位负反馈。利用MATLAB工具箱提供的时域响应函数， 给该系统施加单位冲激，观察它的响应，分析稳定性。
程序如下：

程序中num为开环传递函数分子系数矩阵，den为分母系数矩阵。系统的稳定性是指系统在遭受外界扰动偏离原来的平衡状态，当扰动消失后，系统自身仍有能力恢复到原来平衡状态的一种能力。从图1可以很直观地看出该系统是稳定的。

图1 单位冲激响应图

3.2直接判定法

根据稳定的充分必要条件判别线性系统的稳定性， 最简单的方法是求出系统所有极点，并观察是否含有实部大于0的极点，如果有，系统则不稳定。比如,
要判断系统函数的系统是否稳定,可利用MATLAB快速求出其零极点并绘出零极点的分布图,程序如下:

MATLAB运行结果如下:

从运行结果看,系统极点P值实部全部为负,得知极点全部位于S左半平面,可判断该系统为稳定系统。
对于简单的系统函数可以通过数学运算直接求得极点来分析系统稳定性,然而实际的控制系统大部分都是高阶系统，这样就面临求解高次方程，求根工作量大但在MATLAB中只需调用den函数即可，这样就可以由得出的极点位置直接判定系统的稳定性。比如系统函数为，程序如下:

MATLAB运行结果如下:

图2 系统零极点分布图(×表示极点, o表示零点。)

从计算机结果以及零极点图2可以看出,该系统的极点并不都在s左半开平面,有一对共轭极点位于S右半开平面,所以该系统不稳定。

3.3轨迹法判断系统的稳定性
MATLAB控制工具箱中提供了rlocus函数， 来绘制系统的根轨迹，利用rlocfind函数，在图形窗口显示十字光标，可以求得特殊点对应的K值，进而分析系统稳定性情况。
已知一控制系统，H（s）=1，其开环传递函数为：，绘制系统的根轨迹图，分析系统的稳定性。
程序为：

根轨迹图如图3所示：

图3 系统的根轨迹图
光标选定虚轴临界点，程序结果为：

光标选定分离点，程序结果为：

上述数据显示了增益及对应的闭环极点位置。由此可得出如下结论：
（1）0统为欠阻尼状态；
（4）k=6时，系统有一对虚根，系统处于临界稳定状态；
（5）k>6时，系统的一对复根的实部为正，系统处于不稳定状态。

3.4 Nyquist曲线判断系统的稳定性
已知一控制系统，H（s）=1，其开环传递函数为：选用不同的增益K值，用Matlab绘出系统的阶跃响应曲线和Nyquist曲线，并分析系统稳定性。
K=3，Nyquist曲线程序：

K=9，Nyquist曲线程序：

图4（a） K=3时Nyquist曲线

图4（a） K=9时Nyquist曲线

奈氏稳定判据的内容是：若开环传递函数在s平面右半平面上有P个极点，则当系统角频率X由-∞变到+∞时，如果开环频率特性的轨迹在复平面上逆时针围绕（-1，j0）点转P圈，则闭环系统是稳定的，否则是不稳定的。
当k=3时，从图3（a）中可以看出，Nyquist曲线不包围（-1，j0）点，同时开环系统所有极点都位于s平面左半平面，因此，根据奈氏判据判定以此构成的闭环系统是稳定的；
当k=9时，从图3（b）中可以看出Nyquist曲线按逆时针包围（-1，j0）点2圈，但此时P=0，所以根据奈氏判据判定以此构成的闭环系统是不稳定的。

4、结论
本文利用MATLAB函数的方法实现了对线性系统的稳定性分析,其过程简单,方法有效,结论直观,由此可见,MATLAB为工程技术人员分析、设计较优的控制系统提供了强有力的工具。现今，MATLAB也已成为大学里的许多先进课程的标准的计算机教学工具。相信不久将来,MATLAB也会出现在我国的许多大学和研究所里,并为各行各业专业人员所喜欢。

参考文献：
[1]、胡寿松.自动控制原理（第五版）[M].北京：科学出版社.2007.
[2]、张威.MATLAB基础与编程入门（第二版）[I].西安：西安电子科技大学出版社.2007.
[3]、高西全，丁美玉.数字信号处理（第三版）[I].西安：西安电子科技大学出版社.2008.

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