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1、第10章 方差分析 在生产实践和科学研究中，经常要分析各种因素对试验指标是否有显著的影响。例如，工业生产中，需要研究各种不同的配料方案对生产出的产品的质量有无显著差异，从中筛选出较好的原料配方；农业生产中，为了提高农作物的产量，需要考察不同的种子、不同数量的肥料对农作物产量的影响，并从中确定最适宜该地区种植的农作物品种和施肥数量。 要解决诸如上述问题，一方面需要设计一个试验，使其充分反映各因素的作用，并力求试验次数尽可能少，以便节省各种资源和成本；另一方面就是要对试验结果数据进行合理的分析，以便确定各因素对试验指标的影响程度。 §10.1 单因素方差分析
2、 仅考虑一个因素对试验指标有无显著影响，可以让取个水平：，在水平下进行次试验，称为单因素试验，试验结果观测数据列于下表： 序号 水平 1 2 … … … … 并设在水平下的数据来自总体，。 检验如下假设： ， 不全相等 检验统计量为 其中，称为组间差平方和。 ，称为组内差平方和。 这里
3、 ，，。 对于给定的显著性水平，如果，则拒绝，即认为因素对试验指标有显著影响。 实际计算时，可事先对原始数据作如下处理： 再进行计算，不会影响值的大小。 为了计算方便，通常采用下面的简便计算方式。记 ， 则有 ， 结果列于下面的方差分析表。 方差来源 平方和 自由度 均方 F值 因素A 误差E 总和 + 例1 下表给出在30只小白鼠身上接种三种不同菌型的伤寒病菌后的存活日数： 菌型 接种后的存活日数 Ⅰ Ⅱ Ⅲ 2 3
4、 3 2 4 7 7 2 5 4 5 6 8 5 10 7 12 6 6 7 11 6 6 7 9 5 10 6 3 10 试分析三种不同的菌型对小白鼠的平均存活日数影响是否显著？ 解： ， ，说明三种不同菌型的伤寒病菌对小白鼠的平均存活日数的影响高度显著。 方差来源 平方和 自由度 均方 F值 因素A 70.43 2 35.22 6.90 误差E 137.74 27 5.10 总和 208.17 §10.2
5、 双因素方差分析 同时考察两个因素和对试验指标有无显著影响，可以让取个水平：，让取个水平：，在各种水平配合下进行试验，称为双因素试验。 一、无交互作用的双因素方差分析 在每一种水平配合下作一次试验，称为无交互作用的双因素试验，试验结果观测数据列于下表： 因素 因素 … … … … 并设在水平配合下的数据来
6、自总体，。 检验如下假设： ， 不全相等 ， 不全相等 分别用如下检验统计量 其中，称为的组间差平方和。 ，称为的组间差平方和。 ，称为组内差平方和。 这里 ，，。 对于给定的显著性水平，如果，则拒绝，即认为因素对试验指标有显著影响；如果，则拒绝，即认为因素对试验指标有显著影响。 实际计算时，可事先对原始数据作如下处理： 再进行计算，不会影响值的大小。 结果列于下面的方差分析表。 方差来源 平方和 自由度 均方 F值 因素A 因素B 误差E
7、 总和 ++ 例1 为了解三种不同配比的饲料对仔猪生长影响的差异，对3种不同品种的仔猪各选3头进行试验，分别测得其一段时间体重增加量，如下表所示（代表饲料，代表品种）： 因素 因素 51 56 45 53 57 49 52 58 47 试分析不同饲料与不同品种对仔猪的生长有无显著影响？ 解：所有数据减去50后计算结果如下： ，说明不同饲料对仔猪的生
8、长无显著影响。 ，说明品种的差异对仔猪生长的影响高度显著。 方差来源 平方和 自由度 均方 F值 因素A 8.66 2 4.33 5.20 因素B 150 2 75 90.0 误差E 3.33 4 0.83 总和 161.99 8 二、有交互作用的双因素方差分析 在每一种水平配合下重复作次试验，称为有交互作用的双因素试验，试验结果观测数据列于下表： 试验结果 因素 … 因素 … … …
9、 并设在水平配合下的数据来自总体，。 检验如下假设： ， 不全相等 ， 不全相等 全相等， 不全相等 分别用如下检验统计量 其中，称为的组间差平方和。 ，称为的组间差平方和。 ，称为的组间差平方和。 ，称为组内差平方和。 这里 ，，， 。 对于给定的显著性水平，如果，则拒绝，即认为因素对试验指标有显著影响；如果，则拒绝，即认为因素对试验指标有显著影响；如果，则拒绝，即认为因素与因素之间的交互效应对试验指标有显著影响。 实际计算时，可事先对原始数据作如下处理：
10、 再进行计算，不会影响值的大小。 结果列于下面的方差分析表。 方差来源 平方和 自由度 均方 F值 因素A 因素B 交互A×B 误差E 总和 +++ 例2 考察合成纤维弹性影响因素为拉伸倍数与收缩率。与各取4个水平，每个水平配合下做2次试验，结果数据见下表： 试验结果 因素 （0） （4） （8） （12） 因素 （460） （520） （580） （640） 71 73 72 73 75 73 77 73 73 75 76 7
11、4 78 77 74 74 76 73 79 77 74 75 74 73 75 73 73 72 70 71 69 69 试分析因素、因素对合成纤维弹性的影响是否显著？以及因素与因素之间的交互效应对合成纤维弹性的影响是否显著？ 解： ，说明拉伸倍数对合成纤维弹性无显著影响。 ，说明收缩率对合成纤维弹性的影响高度显著。 ，说明因素与因素之间的交互效应对合成纤维弹性的影响高度显著。 方差来源 平方和 自由度 均方 F值 因素A 8.86 3 2.95 2.95 因素B 69.66 3 23.22 23.22 交互A×B 80.20 9 8.91 8.91 误差E 21.50 16 1.34 总和 180.22 31
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