1、材料非线性问题有限元方法
教学要求和内容
1. 掌握弹塑性本构关系和塑性力学的基本法则；
2. 掌握弹塑性增量分析的有限元格式；
3. 学习常用非线性方程组的求解方法：
（1） 直接迭代法；
（2） Newton-Raphson 方法，修正的N－R 方法；
（3） 增量法等。
请大家预习，争取对相关内容有大概的了解和把握。
弹塑性增量有限元分析
一．材料弹塑性行为的描述
弹塑性材料进入塑性的特点：存在不可恢复的塑性变形；
卸载时：非线性弹性材料按原路径卸载；
弹塑性材料按不同的路径卸载，并且有残余应变，称为塑性应
2、变。
1． 单向加载
1） 弹性阶段: 卸载时不留下残余变形;
2） 初始屈服：
3） 强化阶段：超过初始屈服之后,按弹性规律卸载，再加载弹性范围扩大：，为相继屈服应力。
4） 鲍氏现象（Bauschinger）：
二．塑性力学的基本法则
1．初始屈服准则：
已经建立了多种屈服准则：
（1） V. Mises 准则：
（2） Tresca准则（最大剪应力准则）：
2．流动法则
V. Mises 流动
3、法则：
， 待定有限量
塑性应变增量 沿屈服面当前应力点的法线方向增加。
因此，称为法向流动法则。
3．硬化法则：
（1）各向同性硬化：
等效塑性应变，可由单拉试验确定。
（2）运动硬化法则：
* Prager运动硬化准则；Zeigler修正的运动硬化准则。
（3）混合硬化法则：
4．加载卸载准则：
（1）若，且，则继续塑性加载
（2）若，且，则按弹性卸载
（3）若，且，
1）对理想塑性材料，则继续塑性流动；2）对硬化材料，则继续塑性加载，但塑性应变增量为零。
4、
三．弹塑性增量的应力应变关系
1．建立弹塑性增量应力应变关系的原则
（1）一致性条件：塑性加载时，应力仍在屈服面上
（2）流动法则：新的塑性应变增量，，在屈服面上的原应力点的外法线方向。
（3）弹性应力应变关系：应变增量的弹性应变部分与应力关系仍服从胡克定律。
2．各向同性硬化材料的应力应变关系
（1）一致性条件
，
具体形式：
， 单向拉伸试验测得。
（2）流动法则：
，
（3）应力应变关系：
注意：屈服条件是已知的，我们应该将塑性应变通过已知量表示出来。根据流动规则，，需要
5、确定。
，
弹性张量：
塑性张量： ，
弹塑性张量：
写成矩阵形式：
四．弹塑性增量有限元格式
1 弹塑性问题的增量方程
将物体的作用荷载分成很多阶段，以模拟加载历史。假设在t时刻作用的荷载：（体积力），（表面力），（已知位移）,以及所对应的响应（应力，应变，位移）已知。求时刻对应的响应：
， ，
， ，
由虚功方程（虚位移原理）描述的控制方程为：
写成矩阵形式
将物体离散成有限单元，单元内任意点的位移增量通过形函数用单元节点位移增量表示：
位移：
应变：
6、
带入虚功原理：
采用纯增量法作弹塑性有限元分析的步骤
以下仅限于简单加载过程（无反复加卸载过程）和Mises各向同性强化材料:
1. 开始，输入初始参数（几何；材料性质，，；边界条件；外载荷）
2. 将外载荷一次加上作线弹性分析 （Mi.条件）
如果 不存在塑性区则为弹性问题直接输出结果 结束！
否则 作弹塑性分析
3. 计算弹性极限
设 ， 则
并可输出弹性极限载荷下的结果。
4. 对剩余载荷作弹塑性分析
如果采用等增量步格式，则将等分为N个增量步，即每一增量步载荷为：。下面5.中是对N个增量步循环。
5. 在i步上施加一个增量载荷。已知当前状态下（i-1步终），各单元的（or高斯点），，。判断三种类型的单元：1）弹性 2）塑性 3）过渡单元。对本增量步内所有过渡单元经过2~3次迭代得到合适的，计算各单元的，并集合所有单元，形成总刚，求解得 得到第i步的解。
和 ；
同时记录下各单元的当前状态。
如果，荷载步为卸载，则采用弹性应力应变关系。
6. 直至全部载荷施加完毕，输出结果，结束
21
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
