1、习题1-8
1. 研究下列函数的连续性, 并画出函数的图形:
(1);
(2).
解 (1)已知多项式函数是连续函数, 所以函数f(x)在[0, 1)和(1, 2]内是连续的.
在x=1处, 因为f(1)=1, , ,
所以, 从而函数f(x)在x=1处是连续的.
综上所述，函数f(x)在[0, 2]上是连续函数.
(2)只需考察函数在x=-1和x=1处的连续性.
在x=-1处, 因为f(-1)=-1, , , 所以函数在x=-1处间断, 但右连续.
在x=1处, 因为f(1)=1, =f(
2、1), =f(1), 所以函数在x=1处连续.
综合上述讨论, 函数在(-¥, -1)和(-1, +¥)内连续, 在x=-1处间断, 但右连续.
2. 下列函数在指出的点处间断, 说明这些间断点属于哪一类, 如果是可去间断点, 则补充或改变函数的定义使它连续:
(1), x=1, x=2;
(2), x=k, (k=0, ±1, ±2, × × ×);
(3) x=0;
(4), x =1.
解 (1). 因为函数在x=2和x=1处无定义, 所以x=2和x=1是函数的间断点.
因为, 所以x=2是函数的第
3、二类间断点;
因为, 所以x=1是函数的第一类间断点, 并且是可去间断点. 在x=1处, 令y=-2, 则函数在x=1处成为连续的.
(2)函数在点x=kp(kÎZ)和(kÎZ)处无定义, 因而这些点都是函数的间断点.
因(k¹0), 故x=kp(k¹0)是第二类间断点;
因为, (kÎZ), 所以x=0和(kÎZ) 是第一类间断点且是可去间断点.
令y|x=0=1, 则函数在x=0处成为连续的;
令时, y=0, 则函数在处成为连续的.
(3)因为函数在x=0处无定义, 所以x=0是函数的间断点. 又因为不存
4、在, 所以x=0是函数的第二类间断点.
(4)因为,, 所以x=1是函数的第一类不可去间断点.
3. 讨论函数的连续性, 若有间断点, 判别其类型.
解 .
在分段点x=-1处, 因为, , 所以x=-1为函数的第一类不可去间断点.
在分段点x=1处, 因为, , 所以x=1为函数的第一类不可去间断点.
4. 证明: 若函数f(x)在点x0连续且f(x0)¹0, 则存在x0的某一邻域U(x0), 当xÎU(x0)时, f(x)¹0.
证明 不妨设f(x0)>0. 因为f(x)在x0连续, 所以, 由极限
5、的局部保号性定理, 存在x0的某一去心邻域, 使当xÎ时f(x)>0, 从而当xÎU(x0)时, f(x)>0. 这就是说, 则存在x0的某一邻域U(x0), 当xÎU(x0)时, f(x)¹0.
5. 试分别举出具有以下性质的函数f(x)的例子:
(1)x=0, ±1, ±2, , × × ×, ±n, , × × ×是f(x)的所有间断点, 且它们都是无穷间断点;
(2)f(x)在R上处处不连续, 但|f(x)|在R上处处连续;
(3)f(x)在R上处处有定义, 但仅在一点连续.
解 函数在点x=0, ±1, ±2, , × × ×, ±n, , × × ×处是间断的, 且这些点是函数的无穷间断点.
解(2)函数在R上处处不连续, 但|f(x)|=1在R上处处连续.
解(3)函数在R上处处有定义, 它只在x=0处连续.
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