复积分的各种计算方法与应用.doc

第1章 引言

曹
1.1研究背景及研究内容
复变函数的积分理论是复变函数理论的重要组成部分，是研究解析函数的重要工具之一.但对于如何计算复变函数积分以及如何处理有关复变函数积分的问题，往往很难迅速找到解决问题的方法.因此，理解复变函数积分，并能够灵活运用复积分计算方法进行复积分计算就显得极其重要.复积分中的Cauchy积分定理在理论上处于关键地位，由它派生出的Cauchy积分公式、留数定理、辐角原理等都涉及到积分的计算问题.解析函数在孤立奇点的留数原本是一个积分，而实际计算却需要Laurent展式.因而把积分与级数结合起来的留数定理使复积分理论甚至是复变函数理论达到高潮，且其用途十分广泛.因此，研究复变函数积分计算的各种方法有着非常重要的意义，本文以所列参考文献[3]中的复积分计算方法为基础，并通过查阅相关资料，借鉴了文献[4]-[7]的结果，总结复积分计算的各种方法，并通过应用[1],[2],[8],[9]中的相关知识和方法，对所列出的每种方法作典型例证和分析.
1.2预备知识
定义1.1 复积分 设有向曲线：，以为起点，为终点，沿有定义.顺着从到的方向在上依次取分点：.把曲线分成若干个弧段.在从到的每一弧段上任取一点.作成和数，其中.当分点无限增多，而这些弧段长度的最大值趋于零时，如果和数的极限存在且等于，则称沿(从到）可积，而称为沿(从到）的积分，并记以.称为积分路径. 表示沿的正方向的积分，表示沿的负方向的积分.
定义1.2 解析函数 如果函数在点及的某个邻域内处处可导，那么称 在点解析，如果在区域内解析就称是内的一个解析函数.
定义1.3 孤立奇点 若函数在点的邻域内除去点外处处是解析的，即在去心圆域内处处解析，则称点是的一个孤立奇点.
定义1.4 留数 函数在孤立奇点的留数定义为，记作.

第2章 复积分的各种计算方法
2.1复积分计算的常见方法
（1）参数方程法
定理 设光滑曲线，(在上连续，且)，又设沿连续，则.(、分别与起、终点对应)
1.若曲线为直线段，先求出的参数方程
为过两点的直线段，为始点，为终点.
例1 计算积分，路径为直线段.
解 设，则

2.若曲线为圆周的一部分，例如是以为圆心，为半径的圆.
设，即，（曲线的正方向为逆时针）.
例2 计算积分为从到的下半单位圆周.
解 设，
.
用Green公式法也可计算复积分, Green公式法是参数方程法的一种具体计算方法.
例3 设为可求长的简单闭曲线，是所围区域的面积，求证：.
证明 设，则

由Green公式，有：

得证.
本题目用Green公式解决了与区域面积有关的复积分问题.
（2）用Newton-Leibnize公式计算复积分
在积分与路径无关的条件下（即被积函数在单连通区域内处处解析）也可直接按类似于实积分中的Newton-Leibnize公式计算.
例4 计算.
解 因为在复平面上处处解析，所以积分与路径无关.
.
（3)用Cauchy定理及其推论计算复积分
Cauchy积分定理 设函数在复平面上的单连通区域内解析，为内任一条周线，则.
Cauchy积分定理的等价定理 设函数在以周线为边界的闭域上解析, 则
例5 计算为单位圆周.
解 是的解析区域内的一闭曲线，由Cauchy积分定理有.
注1 利用Cauchy积分定理也有一定的局限性，主要是要求被积函数的解析区域是单连通的，计算起来较为方便.
注2 此题可用参数方法，但计算要复杂得多，而用Cauchy积分定理很简单.
另外，Cauchy积分定理可推广到复周线的情形.
定理 设是由复周线 所围成的有界连通
区域，函数在内解析，在上连续，则，
或写成 ，
或写成 .
这也是计算复积分的一个有力工具，即复函数沿区域外边界曲线的积分等于沿区域内边界积分的和.适用于积分曲线内部含被积函数奇点的情形.
例6计算的值，为包含圆周的任何正向简单闭曲线.
解 ，分别以为心做两个完全含于 且互不相交的圆周，则有

.
（4）用Cauchy积分公式计算复积分
Cauchy积分公式 设区域的边界是周线（或复周线）在内解析，在上连续，则有.
Cauchy积分公式可以解决积分曲线内有被积函数的奇点的积分问题.
例7 计算，其中为圆周.
解 因被积函数的两个奇点是，分别以这两点为心做两个完全含于且互不相交的圆周.则有

.
此题是Cauchy积分公式与Cauchy积分定理复周线情形的结合.
（5）用解析函数的高阶导数公式计算复积分
Cauchy积分公式解决的是形如的积分，那么形如
的积分怎样计算呢？
利用解析函数的高阶导数公式可解决此问题.
例8 计算为.
解 因被积函数的两个奇点是，分别以这两点为心做两个完全含于而且互不相交的圆周.

注 Cauchy积分公式与解析函数的高阶导数公式在计算复积分时的主要区别在于被积函数分母的次数是否为一次因式，二者在计算时都常与Cauchy积分定理复周线情形相结合.
（6）用留数定理计算复积分
留数定理 设函数在以为边界的区域内除外解析，且连续到，则.
例9 计算.
解 在圆周内有一阶极点，二阶极点.
，，由留数定理
.
留数计算方法的改进
留数是复变函数中的一个重要的概念，一般的复变函数专著对函数在极点处的留数通常采用下面三个引理中叙述的计算方法进行计算，即
引理1 若为的阶极点，即,其中在解析,且,则.
引理2若,其中在解析，，，则.
引理3 设在扩充复平面上除外解析,，则在各点的留数总和为零，即.
在实际运用中，发现以上三个引理所给公式应用范围有限，对有些留数的计算效果不佳.为了使计算简化、公式更为通用，下面通过三个定理给出三个改进的留数计算公式，并相应的给出算例.
定理1 设是的阶零点，也是的阶零点，则在点的留数为.
证明 因为为的阶极点，则在点的邻域内可展开为
.
则
.
两端求阶导数，令，则.
运用定理1只需判断分母零点的阶数，不必判断分子的零点阶数及
极点的阶数，它简化了一些分式函数留数的计算.
推论1 设，其中在点解析，则
.
例10 求在孤立奇点处的留数.
解 因为是的阶零点，据推论1，有
.
定理2 设为的一阶极点，且在解析，为的阶零点，为的阶零点，则.
证明 由假设可得
.
又为的一阶极点，则，即
.比较系数得，而，由此解得.
例11 计算积分.
解 被积函数在单位圆内只有一个奇点，
且是的三阶零点，是的二阶零点，又.
由定理2，得.
另外，对于多个奇点留数的和利用定理1、定理2相当麻烦，于是通过对引理3进行改进得到如下一种更简便的方法.
定理3 设，其中，
，则有以下结论：
(1)当时，；
(2)当时，；
(3)当时，设，其中为的多项式，且的次数小于，则，化为1）或2）.
此定理的结论是求有理函数在点留数的一个好方法，使用起来很方便.当分子次数比分母高时，可用综合除法转化为1）或2）的情形.
例12 计算积分.
解 被积函数在内部有6个奇点，计算它们十分麻烦，利用留数定理
及引理3有.再利用定理3，，则，故.
例13 求.
解 设被积函数的个极点为，并且在外部无极点，利用留数定理及引理3，
，而，利用定理3

注 运用定理3求有理函数在点的留数特别简洁，并且利用它求在孤立奇点的留数可以达到事半功倍的效果.

（7）用级数法计算复积分
连续性逐项积分定理 设在曲线C上连续(…)，在C上一致收敛于，则在曲线C上连续，并且沿C可逐项积分：.将函数展成Taylor级数或Laurent级数就解决了该类复积分的有关问题.
例14 计算积分.
解 在内，有：
所以 .
例15 设在圆环内解析，且，证明：在圆环内，有 .
证明 因为在圆环内解析，故有，于是
由，得，
则在内解析，根据Cauchy积分定理可得：
.
（8）用Laplace变换法计算复积分
定义 设是定义在上的实函数或复函数，如果含复变量（为实数）的积分在的某个区域内存在，则由此积分定义的复函数称为函数的Laplace变换，简记为.
计算该类复积分时，可先运用Laplace变换的基本运算法则（线性关系、相似定理、位移定理、象函数微分法、本函数微分法、本函数积分法、延迟定理、卷积定理等），将该类复积分化为的形式，再参照Laplace变换表，得出相应的复积分结果.
例16 计算积分.
解 令
则
由相似定理有
由Laplace变换表得

所以 .

2.2各种方法的选择原则及其联系
上一节给出了复积分的各种计算方法.那么,碰到有关复积分计算的题目时,我们到底应该如何选择具体的计算方法,简便而快捷地进行计算呢.这是本节所要探讨的主要问题.
我们知道,复积分是由三部分构成的,即积分路径、被积函数以及积分微元。其中积分路径和被积函数对复积分起着决定性的作用.因此，如何才能正确选择上节中的各种复积分计算方法进行复积分的计算就要从这两方面进行分析.
（1）若所给复积分的积分路径是闭的，则有以下两种情况：
1.被积函数为解析函数时，可选用Cauchy积分定理及其等价定理直接得出结果；
2.被积函数在积分路径所围区域内有奇点时，则需根据奇点个数进行讨论：
①若奇点个数有限，则可选用Cauchy积分公式、高阶导数公式或留数定理进行计算；
②若奇点个数无限，则可先对奇点类型进行判断，再利用参数方程法进行计算.
(2)若所给复积分的积分路径是非闭的，则有以下两种情况：
1.被积函数为解析函数时，则可选用Newton-Leibnize公式进行计算；
2.被积函数为非解析函数时，可选用参数方程法进行计算.
在很多复积分的计算中，Cauchy积分公式、高阶导数公式在运用往往与Cauchy积分定理相结合，还有一些题目也常常需要将Cauchy积分公式与Cauchy积分定理相结合.因此，复积分的多种计算方法在应用时并不是完全独立、没有联系的.
例如，Cauchy积分定理、Cauchy积分公式、高阶导数公式就是留数定理的特例.下面给出说明.
Cauchy积分定理 设函数在复平面上的单连通区域内解析，为内任一条周线，则.
Cauchy积分公式 设区域的边界是周线（或复周线）在内解析，在上连续，则有.
高阶导数公式
留数定理 设函数在以为边界的区域内除外解析，且连续到，则.
说明 （1）根据Cauchy积分定理，函数在复平面上的单连通区域内
解析，即函数在内无奇点，故可解释为奇点处的留数之和为0.
则根据留数定理，有.
（2）令，根据Cauchy积分公式的条件可知，作为
的函数在内除点外均解析.根据留数定理，.
且为的一阶极点，故.
即.
（3）高阶导数公式是在Cauchy积分公式的条件下得到的，这里令
.根据Cauchy积分公式的条件可知，作为的函

数在内除点外均解析，根据留数定理，有.
且为的阶极点，故.
即
.

参考文献
[1] 刘玉琏等编《数学分析讲义》上、下册(第五版)[M]. 高等教育出版社，2008.
[2] 华东师范大学数学系编《数学分析》上、下册(第四版)[M]. 高等教育出版社，2010.
[3] 钟玉泉编，《复变函数论》（第三版）[M]. 高等教育出版社，2005.
[4] 黄隽.复变函数积分计算方法的探讨[J].常州工学院学报，2008，8（4）.
[5] 黄得隆.复变函数计算中的几种方法[J].宝鸡文理学院学报.1995.
[6] 孟祥发 求留数的另一种方法[J]，天津理工学院学报，2001,17（2）：4-5.
[7] 闵嗣鹤、程民德、董怀允等译、普里瓦洛夫（苏联）著[M]、复变函数论、北京：人民教育出版社，1975.
[8] 孙本旺、汪浩、数学分析中典型例题和解题方法[M].湖南：湖南科学技术出版社，1981:091.
[9] 龚冬宝，复变函数典型题[M]，西安：西安交通大学出版社，2003.

致谢
本论文经过几个月的努力即将告以尾声，从论文的选题、资料的收集到论文的撰写，整个过程都经过精心地考虑、仔细地查阅和细心地修改.在此，我首先要感谢我的指导教师张艳红老师，不管在论文选题还是论文的撰写，以及资料的查阅方面，她都给了我莫大的帮助与启发，尤其是在论文的几次修改过程中，张老师以广博的学识，严谨的治学精神影响着我，在她的悉心指导下，我的论文顺利完成.再次向张老师致以诚挚的感谢和崇高的敬意.
同时，我要对作出本论文参考文献的所有学术专家和老师致以真挚的谢意，是他们出版的书籍与发表的学术论文给了我很大的启示与指导，我才能够将论文完成.
其次，我在即将毕业之际要感谢数学学院所有老师对我的细心教育与培养，让我在四年的学习生涯中不仅学到了扎实的专业知识，而且你们的言传身教更加使我受益匪浅，你们严谨的教学态度和耐心教导学生的精神也是我永远学习的榜样，这一切都将积极影响我今后的学习和工作.
最后,我还要感谢我的母校——兰州城市学院四年来对我的栽培.

曹燕

2011年4月

目 录
第1章 引言 1
1.1研究背景及研究内容 1
1.2预备知识 1
第2章 复积分的各种计算方法 3
2.1复积分计算的常见方法 3
2.2各种方法的选择原则及其联系 12
参考文献 14
致谢 15

16