高考数学导数极限复习题7.doc

高考数学导数极限复习题7c
第十三章　极限综合能力测试(Ⅱ)
第Ⅰ卷(选择题　共60分)
一、选择题
1．下列各图所表示的函数在x＝x0处连续的是 (　　)

解析：据函数在x＝x0处连续的定义，可知C图所表示的函数在点x＝x0处连续，故选C.
2．li等于 (　　)
A．3　　　　　　　　　　 B. C. D．6
答案：B
解析：li＝li＝li＝，故选B.
3．x＝1是函数f(x)＝的 (　　)
A．连续点 B．无定义点
C．不连续点 D．极限不存在的点
答案：C
解析：∵lif(x)＝1，lif(x)＝1，
∴lif(x)＝1.但f(1)＝0，
∴lif(x)≠f(1)．
4．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＞成立，起始值n0至少应取为(　　)
A．7　　　　 B．8　　　　 C．9　　　　 D．10
答案：B
解析：1＋＋＋…＋＝
＝2，
当n＝7时，2(1－)＝，
当n＝8时，2(1－)＝>＝，
故选B.
5.＝ (　　)
A.B．－
C．1D．－1
解析：＝

＝＝＝＝＝.
答案：A
总结评述：本题主要考查了函数极限的运算，特别要注意变形技巧的使用，关键是分子、分母约去因式x－1.
6．设正数a，b满足li(x2＋ax－b)＝4，则li等于 (　　)
A．0 B.
C. D．1
答案：B
命题意图：考查极限的运算．
解析：由已知得4＋2a－b＝4，即b＝2a.
则li＝li＝，故选B.
7．(2009·成都市诊断性检测三)若函数f(x)＝是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为 (　　)
A．(1，＋∞) B．(1,8)
C．(4,8) D．[4,8)
答案：D
解析：由f(x)在R上是单调递增函数知：
同时成立，解不等式组得a∈[4,8)，选D.
8．(2009·湖北省部分重点中学高三第二次联考)等比数列{an}的公比为q(0＜|q|＜1)，Sn为其前n项和，若S＝liSn，且S＝Sn＋2an，则q＝ (　　)
A．－ B.
C. D．－
答案：B
解析：∵{an}是等比数列，∴其前n项和为
Sn＝，
又∵0＜|q|＜1，∴S＝liSn＝li＝，
而S＝Sn＋2an＝＋2a1qn－1＝(1＋2qn－1－3qn)，
∴(1＋2qn－1－3qn)＝，
即1＋2qn－1－3qn＝1，解得：q＝；故选B.
9．若干个正方体形状的积木按如图所示摆成塔形，上面正方体中下底的四个顶点是下面相邻正方体中上底各边的中点，最下面的正方体的棱长为1，平放于桌面上，如果所有正方体能直接看到的表面积超过7，则正方体的个数至少是 (　　)
A．2 B．3
C．4 D．6
答案：B
解析：设正方体的个数为n，从下至上正方体的棱长构成公比为的等比数列，看到的表面积S＝1＋4(1＋＋＋…＋()n－1)＝1＋4×＝1＋8(1－()n)＞7，解得n＞2，
因此正方体至少有3个，故选B.
10．已知f(3)＝2，f′(3)＝－2，则li的值为 (　　)
A．－4B．8
C．0D．不存在
答案：B
解析：li
＝li
＝li
＝li[f(3)－3·]
＝f(3)－3li
＝f3)－3f′(3)＝2－3×(－2)＝8.
11．(2010·山东滨州模拟)下列四个命题中，不正确的是 (　　)
A．若函数f(x)在x＝x0处连续，则f(x)＝f(x)
B．函数f(x)＝的不连续点是x＝2和x＝－2
C．若函数f(x)、g(x)满足[f(x)－g(x)]＝0，则f(x)＝g(x)
D.＝
答案：C
解析：令f(x)＝x2＋，g(x)＝x2，
但[f(x)－g(x)]＝＝0.
但f(x)、g(x)都不存在．
12．(2009·湖北)设(＋x)2n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2n－1x2n－1＋a2nx2n，则[(a0＋a2＋a4＋…＋a2n)2－(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)2]＝ (　　)
A．－1 B．0
C．1 D.
答案：B
解析：令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a2n－1＋a2n＝(＋1)2n.①
令x＝－1，得a0－a1＋a2－…－a2n－1＋a2n＝(－1)2n.②
①＋②得a0＋a2＋a4＋…＋a2n＝
，
①－②得a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1＝

∴[(a0＋a2＋a4＋…＋a2n)2－(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)2]
＝{[]2－
[]2}
＝
＝＝()n＝0，故选B.
第Ⅱ卷(非选择题　共90分)
二、填空题(本大题共4小题每小题5分，共20分，请将答案填在题中的横线上。)
13．(2009·崇文3月)极限＝________.
答案：4
解析：＝

＝C－C＝4.
14．(2009·湖北八校联考)设an是(3－)n的展开式中x项的系数(n＝2、3、4、…)，则(＋＋…＋)＝________.
答案：18
解析：∵an＝3n－2C，＝＝18(－)，
∴(＋＋…＋)
＝18(1－＋－＋…＋－)＝18.
故填18.
15．以下五个命题：
①f(x)＝在[0,1]上连续；
②若f(x)是(a，b)内的连续函数，则f(x)在(a，b)内有最大值和最小值；
③＝＝1；
④＝4.
其中，正确命题的序号是________．(请把你认为正确的命题的序号都填上)
答案：④
解析：①f(x)在x＝0处不连续．
②f(x)在[a，b]上连续，f(x)在[a，b]上有最值，而在(a，b)内不一定有最值．
③＝＝1.
而＝＝－1，故极限不存在．
④＝＝4sinx＝4.
故正确的为④.
16．(2009·湖南四县3月)对于自然数i∈N*，设ai，k＝i－3(k－1)(k＝1,2,3，…)，如a3,4＝3－3(4－1)＝－6，对于自然数n、m，当n≥2、m≥2时，设b(i，n)＝ai,1＋ai,2＋ai,3＋…＋ai，n，S(m，n)＝b(1，n)＋b(2，n)＋b(3，n)＋…＋b(m，n)，则S(10,6)＝________.
答案：－120
解析：ai，k＝i－3(k－1)(k＝1,2,3，…)构成等差数列，b(i，n)＝ai,1＋ai,2＋ai,3＋…＋ai，n＝×n＝×n.
S(10,6)＝b(1,6)＋b(2,6)＋…＋b(10,6)
＝×6＋×6＋…＋×6＝－120，故填－120.
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。)
17．(本小题满分10分)已知li＝3，求li的值．
解析：依题意可知ax2＋bx＋1中必有x－1这个因式．
∴a＋b＋1＝0.
又li＝li＝li(ax－1)
又∵li(ax－1)＝a－1＝3.
∴a＝4.
将a＝4代入a＋b＋1＝0得b＝－5，
∴li＝li＝－5.
18．(本小题满分12分)已知函数
f(x)＝，
(1)求lif(x)；
(2)若lif(x)存在，求a，b的值；
(3)若函数f(x)在x＝1处连续，求a，b所满足的条件．
解析：(1)∵x→0时，的分子、分母都有极限－1，
∴lif(x)＝1.
(2)若lif(x)存在，则lif(x)＝lif(x)，
而lif(x)＝li(ax2＋2)＝a＋2.
lif(x)＝li
＝li＝.
∴a＋2＝，∴a＝－，b可为任意实数．
(3)若f(x)在x＝1处连续，
则lif(x)＝lif(x)＝f(1)，
则a＝－，b＝.
19．(本小题满分12分)对于任意的自然数n，求使等式＋＋……＋＝恒成立的正数a，b的值．
解析：当n＝1，n＝2时可得
，即，解得a＝1，b＝1，
∴＋＋……＋＝
下面用数学归纳法证明：
①当n＝1时，左边＝，右边＝＝，∴等式成立．
②假设当n＝k(k≥1)时，等式成立．
即：＋＋……＋＝成立．
当n＝k＋1时，
左式＝＋＋……＋＋＝＋
＝(＋)
＝＝，
∴当n＝k＋1时，等式成立．
综合①②可知＋＋……＋＝对任意n∈N均成立，即a＝1，b＝1.
20．(本小题满分12分)已知等比数列{an}的公比为q，且|q＞1.又知a2，a3的等比中项为4，a1，a4的等差中项为9.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足bn＝an·logan，{bn}的前n项和为Tn，求li的值．
解析：(1)由已知，得
又∵{an}是等比数列．
∴a1·a4＝a2·a3＝32，
∴a1、a4是方程x2－18x＋32＝0的两根．
∴或
∵|q|＞1，∴⇒q＝2.
∴an＝2×2n－1＝2n.
(2)∵bn＝an·logan＝－n·2n，
∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝－(1×2＋2×22＋…＋n×2n)．①
2Tn＝－(1×22＋2×23＋…＋n×2n＋1)．②
②－①得，Tn＝(2＋22＋…＋2n)－n·2n＋1
∴Tn＝2n＋1－2－n·2n＋1.
∴li＝li＝.
21．(2009·河南安阳)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(ax2＋bx＋c)·ex，其中e为自然对数的底，a，b，c为常数，若函数f(x)在x＝－2处取得极值，且li＝4.
(1)求实数b，c的值；
(2)若函数f(x)在区间[1,2]上是增函数，求实数a的取值范围．
解析：(1)∵f′(x)＝(2ax＋b)ex＋(ax2＋bx＋c)ex＝[ax2＋(b＋2a)x＋b＋c]ex.
由f′(－2)＝0⇒4a－2(b＋2a)＋b＋c＝0⇒b＝c，
由li＝4得到：f′(0)＝4所以b＋c＝4，即b＝2，c＝2.
(2)由题意知ax2＋2(a＋1)x＋4≥0在x∈[1,2]时恒成立，即a≥－在x∈[1,2]时恒成立，设g(x)＝－，x∈[1,2]，则g(x)＝－在区间[1,2]上单调递增，所以g(x)的最大值为f(2)＝－1，所以a≥－1.
22．(2009·深圳)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2－x＋，f′(x)为函数f(x)的导函数．
(1)若数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝f′(an)＋f′(n)(n∈N*)，求数列{an}的通项an；
(2)若数列{bn}满足：b1＝b，bn＋1＝2f(bn)(n∈N*)．
①当b＝时，数列{bn}是否为等差数列？若是，请求出数列{bn}的通项bn；若不是，请说明理由．
②当＜b＜1时，求证：＜.
解析：(1)∵f′(x)＝2x－，
∴an＋1＝(2a－)＋(2n－)＝2an＋2n－1，
即an＋1＋2(n＋1)＋1＝2(an＋2n＋1)．
∵a1＝1，∴数列{an＋2n＋1}是首项为4，公比为2的等比数列．
∴an＋2n＋1＝4·2n－1，即an＝2n＋1－2n－1.
(2)①∵bn＋1＝2f(bn)＝2b－bn＋.
∴bn＋1－bn＝2(bn－)2.
∴当b1＝时，b2＝.
假设bk＝，则bk＋1＝bk.
由数学归纳法，得出数列{bn}为常数数列，是等差数列，其通项为bn＝.
②∵bn＋1＝2b－bn＋，∴bn＋1－bn＝2(bn－)2.
∴当＜b1＜1时，b2＞b1＞.
假设bk＞，则bk＋1＞bk＞.
由数学归纳法，得出数列
bn＞(n＝1,2,3，…)．
又∵bn＋1－＝2bn(bn－)，
∴＝－.
即＝－.
∴＝(－)
＝－.
∵bn＋1＞，
∴＜＝.