1、中国地质大学（北京）继续教育学院 2014年05课程考试
《复变函数与积分变换》模拟题（开卷）（补）
一．判断题
1. 若函数f(z)在区域D内解析，则f(z)在区域D内沿任意一条闭曲线C的积分为0。( × )
2. 的一阶极点。 ( × )
3. 不同的函数经拉普拉斯变换后的像函数可能相同。( ∨ )
4．函数在某区域内的解析性与可导性等价。 ( ∨ )
5. 若函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析当且仅当连续且满足柯西-黎曼方程。( × )
2、
6. 若的共轭调和函数，那么的共轭调和函数。 ( × )
二．填空题
1. 的收敛半径为 ∞ 。
2． 函数的解析区域为 。
3. 设C为正向圆周|z|=1,则= 0 。
4. = 1 。
5． = 。
6． 的孤立奇点的类型为 极点 （可去奇点、极点、本性奇点）。
三． 计算题
1. 分别给出的三角形式的指数形式。
解： ，,
因此三角形式为
指数形式为 .
3、
2. 判断下列函数在何处可导，何处解析？
1）； 2）
解：1）四个偏导函数均连续，但柯西黎曼方程仅在x=y处成立，故函数在x=y处可导，处处不解析.
2)
显然四个偏导数处处连续且柯西-黎曼方程处处成立，所以函数处处可导，处处解析.
3. 设C为正向圆周|z|=3,计算积分I=
解：因为函数的奇点为：z=0 和z=2,而圆周C内包含了两个奇点.
首先由复合闭路定理有
，
由柯西积分公式有
4、
所以。
本题也可按留数定理去做.
4．求下列各函数在孤立奇点处的留数。
1) 2)
解：1） 0是的奇点，因为，故z=0为可去奇点，因此
.
2）z=1是的本性奇点，因为在1<|z|<+∞
，
故.
5．求解微分方程
解： 设L [x(t)]=X(s) 对方程两边实行拉普拉斯变换得到
即
所
5、以，
故.
6. 判断函数在何处可导，何处解析？
解：
四个偏导函数均连续，但要满足柯西黎曼方程
需在处成立，故函数在处可导，处处不解析.
7. 已知，求以v(x,y)为虚部的解析函数f(z)且f(i)=-1。
解：显然是调和函数. 因f(z)解析，由柯西-黎曼条件，
，
由上面第一式得到：代入第二式得
有，因此
6、
因
8．求下列各函数在孤立奇点处的留数。
1) 在z=0处的留数 2) 在z=1处的留数
解： 1）因为，故z=0是的可去奇点. 因此
2）z=1是的本性奇点，因为在1<|z|<+∞
，
故.
9. 求函数的傅里叶变换。
解：F [f(t)]= 。
10．求解微分方程。
解： 设L [x(t)]=X(s) 对方程两边实行拉普拉斯变换得到
即
所以，
故.
第5页（共4页）
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
