常微分方程第三章.doc

第三章 存在和唯一性定理
一． [内容提要] 本章主要介绍解的存在和唯一性定理、接的延伸和解的最大存在区间等有关问题.解的存在和唯一性定理是微分方程中最常用的定理，学过这一定理之后，对于微分方程的通解概念，才由形式上的理解转为实质上的理解；另外在求近似解之前，都必须从理论上做解的存在唯一性判定.
关于解的延伸定理，它把解的存在唯一性定理所得到的、具有局部性的结果，延伸到全局上去.这一定理无论在微分方程的理论研究和实际应用中，都是很有意义的.
二． [关键词] 存在和唯一性，解的延伸，毕卡逐次逼近法
三． [目的和要求]
1． 熟练掌握毕卡逐次逼近法，并用它证明一阶常微分方程初值问题解的存在唯一性定理.
2． 了解右端函数连续性保证初值问题解的存在性，李普希茨条件保证初值问题解的唯一性这些事实.
3． 理解初值问题解的存在唯一性中解的存在区间的意义，会求其解的存在区间.
4． 理解解的延伸概念，理解延伸定理的意义.
四．[教学过程]
在第二章中我们已经讨论了不少寻找微分方程的通解或通积分的方法，但是我们也看出，多数微分方程是不能通过初等积分法求解的，而很多重要的实际问题又需要用微分方程的解去刻画它.为解决这个矛盾，人们在分析了这些微分方程之后，发现在很多情况下，其实只要能够求出满足一定条件的特解就行了；在另外一些情况下，即使不去求特解和通解，但若能知道解族的某些性质，问题同样可以得到解决，例如第八章中将讨论的稳定性问题.但要求特解，首先必须证明满足某给定条件的解的存在性和唯一性.否则，若要求的解根本不存在，而去求解那显然是荒唐的.或者即使解存在但不唯一，那也不知取哪一个好.此外，解的存在唯一性问题如果不得到解决，要想研究整个解族的性质也会有很多的困难.这样解的存在唯一性问题就是一个十分基本的问题，不解决这个问题，对微分方程的进一步研究就无从谈起.
关于初值问题，柯西第一个在很一般的条件下，建立了初值问题解的存在与唯一性定理.以后皮亚诺（Peano）和毕卡（Picard）等人又在更广泛的条件下，分别证明了解的存在性和解的唯一性.
§1 毕卡存在和唯一性定理
关于初值问题

的解的存在唯一性，我们将利用著名的Picard逐次逼近法来证.此方法的主要思想是在所设条件下，构造一个连续函数列，它一致收敛的极限函数正好是所求始值问题的解.采用这个方法不仅证明了解的存在性，而且在证明解的存在唯一性的过程中，还提供了求近似解的构造性途径.
定理1 假设：1）在矩形区域
，
内连续，记，.
2） 对满足李普希茨条件（或简称李氏条件），即存在常数，使得

其中，则方程在区间上存在唯一的，满足初值条件的解.
证明 证明步骤如下：
（一） 求微分方程的初值问题的解等价于求积分方程

的连续解；
（二） 在区间上构造一个连续函数序列，称为毕卡序列；
（三） 证明在区间上一致收敛；
（四） 证明的极限函数是积分方程的解；
（五）证明满足方程和条件的解必为.

（一） 求微分方程的初值问题的解等价于求积分方程

的连续解.
事实上，设是方程的解，故有
，
两边从到取定积分得到
， ，
即 ， ，
因此，是的定义在的连续解.
反之，若是的的连续解，则有
， ，
微分之，得 .
又把代入，得到.故是方程的定义在上，且满足初值条件的解.
因此，下面我们只需证明积分方程在区间上有且仅有一个解.
（二）在区间上，用逐次迭代法构造毕卡连续函数序列.
取初值为零次近似：.
利用，用零次近似代替积分号下的，得到函数

显然，在区间上是连续可微的，且由推出

这表明函数当时是连续的，且将位于矩形域上，我们称它为一次近似.
再利用，作出二次近似
，
同样地有
，
可以看出，当时，函数也是连续的，且它也完全位于矩形域上.
一般地，规定了次近似以后，就可以利用式得出次近似：

这样，我们就可以得到一个毕卡连续函数序列.用数学归纳法可证，每一个在区间上都是连续的.都满足，都位于矩形域上.
三） 下面证明按上述方法构造的函数序列在区间上一致收敛.
要证在区间上一致收敛，只须证明级数

一致收敛，因为是此级数的前项之和.
现在我们对级数的各项作估计，为此证明估计式

在上成立.
事实上，当时，由可知成立.
假设当时成立，注意到对满足李普希茨条件及式，便可推出

，
所以当当时成立，故得证.
由于，从而
.
由此可见，级数的每一项的绝对值都不大于收敛正项级数

的对应项，
（四） 证明的极限函数是积分方程的解.
现对式

两端取极限，当时，注意到收敛的一致性和的一致连续性，就得到

这表明是积分方程的连续解，从而也是始值问题，的解，故存在性获证.
（五）证明解的唯一性.
设积分方程还有另一个解，则由推出

由于在上，是连续有界的，故可取它的一个上界，则由有
，
然后，把它代入的右端，得到
.
如此递推，在上，可用数学归纳法得到
.
让，则上述不等式的右端趋于零，故可推出
， .
即积分方程的解是唯一的，从而定理得证.
[附注1] 由于李普希兹条件比较难于检验，常用在上有对的连续偏导数来代替.事实上，如果在上存在且连续，则在上有界，设在上，，此时
，
这里.但反过来满足李普希兹条件的函数不一定有偏导数存在.例如，函数在任何区域都满足李普希兹条件，但它在处没有导数.
[附注2] 设方程是线性的，即方程为

那么易知，当在区间上为连续时，定理1的一切条件就能满足.
[附注3] 在证明定理1中所采用的毕卡逼近法在实用上也是求方程近似解的一种方法.容易证明：第次近似解与精确解在区间内的误差估计式为
.
其中是李普希兹常数，是在，上的上界.
[附注4] 李普希兹条件是初值问题解的唯一性的充分条件，容易举例说明.为了保证初值问题解的唯一性，并非一定要求满足李普希兹条件不可，即李普希兹条件不是初值问题解的唯一性的必要条件.
例如，设当时，；当时，，试讨论初值问题
（
解的唯一性.
易知在全平面上连续，但在点的任意小的矩形邻域内不满足李普希兹条件.事实上，设是内的任意一点，.考虑
，
于是有 ，
当时，，所以不存在常数，使 .
但可通过具体求解，证明初值问题（*）的解仍唯一.事实上，显然是（*）的解.此外时，用变量分离法求得和的区域内的通解为
（**）
对于的任何有限值，曲线（**）都不与相遇，因此，对轴上的点，仍只有唯一的积分曲线经过此点，即是（*）的唯一解.
此例说明，对于Cauchy问题解的存在性和唯一性，Lipschitz条件不是必要的.关于初值问题解的唯一性条件的探讨，迄今仍是数学工作者的研究课题之一.下面我们介绍一个由美国数学家Osgood用较弱的条件来代替李普希兹条件给出的有关解的一个唯一性定理.
设函数在区域内连续，且满足不等式
，
其中是的连续函数，且瑕积分
（常数）
则称在区域内对满Osgood条件.
显然，李普希兹条件条件是Osgood条件的特例，因为满足上述要求.
定理2 （Osgood） 设在区域内对满Osgood条件，则方程过内每点至多有一个解.
证明 用反证法.若内可以找到一点，使得方程过点有两个解和，且至少有一个，使得，不妨设，且.令
，
则显然有，且
， 当；.
因此

，
即 ， （）
从积分上式得
，
其中，但这不等式左端为，右端是一个有限的数，因此矛盾.故定理2得证.
再把条件减弱，只要求连续，就未必再有唯一性的结论了.
例如：，在平面上连续，但在包含点的任何区域上不满足李普希兹条件.这个方程有通解
，
其中为任意常数.还有一个平凡解，积分曲线如图 所示，从左向右看，每个点上有三分叉的三条积分曲线，一条是，还有与相且的上下两条曲线形积分曲线；事实上，过A点沿轴及①，②，③，④，⑤，⑥，…等曲线的每一条吻合成一条曲线，故过A点的积分曲线有无穷之多.
最后，给出一个不加证明的Peano存在性定理.证明请参看§2.
定理3 设在矩形区域内连续，则方程在区间上至少存在一个满足条件的解.这里矩形区域和正数定义同定理1.
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