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单因素方差分析在数理统计中的应用

摘　要:在详细阐述单因素方差分析原理的基础上,通过两个具体的数学建模案例,说明单因素方差分系的应用及与假设检验的关系,并利用Matlab 实现了两个案例的求解。在数理统计的授课过程中,这种结合不仅能激发学生的学习兴趣,而且能培养学生自己动手、解决问题的能力。
关键词:单因素方差分析;数理统计;数学建模;应用;假设检验

0　引言
方差分析又称“变异数分析”或“F 检验”,是由R. A. Fisher 发明的,用于对两个及两个以上样本均数差别的显著性检验。单因素方差分析是检验在一种因素影响下,两个以上总体的均值彼此是否相等的一种统计方法。由于单因素方差分析的原理抽象、计算繁琐、导致教学枯燥无味。基于此,文中详细阐述了单因素方差分析的原理,通过两个具体的数学建模案例,说明单因素方差分系的应用及与假设检验的关系,并利用Matlab 实现了两个案例的求解。在数理统计的授课过程中,这种从理论到应用,再从应用到上机实现的过程,让学生体会到“学以致用”的真正含义,激发了学生的学习兴趣,同时也提高了学生的动手能力。

1　单因素方差分析原理
设单因素A 具有r 个水平,分别记为A1,A2,…,Ar ,在每个水平Ai (i =1,2,…,r)下,要考察的指标可以看成一个总体Xi (i =1,2,…,r)且Xi ~ N(μi ,σ2 ),水平Ai (i =1,2,…,r)下,进行ni 次独立试验,样本记为Xij ,i =1,2,…,r,j =1,2,…,ni ,Xij ~ N(μi ,σ2)且相互独立。1. 1　建立假设
假设检验为H0:μ1 = μ2 = …… = μr . ,备择假设为H1:μ1,μ2,…,μr 不全相等。
由于Xij - μi = εij ,记μ = Σni μi ,n = Σni . ,αi = μi - μ,i =1,2,…,r,则
数学模型为:
Xij = μ + αi + εij ,i =1,2,…,r,j =1,2,…,ni
Σni αi =0
εij ~ N(0,σ2),各个εij相互独立,μi 和σ2 未知
故原假设改写为: H0:α1 = α2 = …… = αr =0 (1)
1. 2　构造统计量
为了构造检验假设(1)的统计量,首先,需要找到引起Xij波动的原因。从Xij = μ + αi + εij中可以看出,若检验假设(1)为真,则Xij的波动纯粹是随机性引起的;若检验假设(1)为假,则Xij 的波动是由第i 个水平和随机性共同引起的。因而,需要构造一个量来刻画Xij 之间的波动,并把引起波动的上述两个原因用另外两个量表示,这就是方差分析中的平方和分解法。
记Xi•. = ΣXij , = ΣΣXij
引入ST = ΣΣ(Xij -)= ΣΣ(Xij -Xi•) + ΣΣ(Xi• -)= SE + SA
又因为SA = Σ(X -i• -X ) = Σ(αi + εi• -ε )
SE = ΣΣ =(Xij -Xi. )= ΣΣ(εij - εi•)。
若H0 成立,SA 只反映随机波动,若H0 不成立,SA 还反映了A 的不同水平效应αi 。单从数值上看,当H0成立时,SA / (r -1) SE / (n - r)≈1,而当H0 不成立时,这个比值将远大于1。可以证明:ST / σ2 ~ χ2 (n -1);SE / σ2 ~ χ2 (n- r);SA / σ2 ~ χ2(r -1),且SE 与SA 相互独立。
故构造统计量F = (n - r)SA/(r -1)SE ~ F(r -1,n - r)。
1. 3　对于给定的水平α,确定拒绝域
由于H0 不真时,SA 值偏大,导致F 值偏大。因此,
1)若F > F1 - a (r -1,n - r)时,拒绝H0,表示因素A 的各水平下的效应有显著差异;
2)若F < F1 - a (r -1,n - r)时,则接受H0,表示因素A 的各水平下的效应无显著差异。
1. 4　将实际数据代入统计量F 中,计算F 值(如表1)并对H0 作出接受或拒绝的判断
表1　单因素方差分析表

方差来源
平方和
自由度
均方和
F值
因素A
SA
r -1
MSA = SA/r -1
F = MSA/MSE
误差E
SE
n - r
MSE = SE/n - r

总和T
ST
n -1

1. 5　Matlab 实现
处理均衡数据的用法为:p = anoval(x);处理非均衡数据的用法为:p = anova1(x,group),返回值p 是一个概率,当p > α 时接受H0

2　数学建模案例在概率论与数理统计中的应用
2. 1　案例1
让4 名学生前后做3 份测验卷,得到如表2 的分数,推断3 份测验卷测试的效果是否有显著性差异
表2　学生测试分数表
序号
试卷A
试卷B
试卷C
学生1
71.7
73.4
72.3
学生2
71.5
72.6
72.1
学生3
70.1
72.3
70.8
学生4
70.6
72.2
71.6
解:编写程序如下:
clc,clear
x = [71. 773. 472. 3
71. 572. 672. 1
70. 172. 370. 8
70. 672. 271. 6];
p = anova1(x)
x1 = x(:,1);x2 = x(:,2);x3 = x(:,3);
[h1,p1] = ttest2(x1,x2,0. 05,0)
[h2,p2] = ttest2(x1,x3,0. 05,0)
[h1,p3] = ttest2(x2,x3,0. 05,0)
求得0. 01 < p =0. 0198 <0. 05,所以拒绝原假设,说明3 份测验卷至少有2 份测试的效果有显著性差异。通过双正态总体假设检验的分析,得到h1 =1,拒绝原假设,说明第1 份测验卷与第2 份测试卷测试的效果有显著性差异,h2 =0,h3 =0,接受原假设,说明第1 份测验卷与第3 份测试卷、第2 份测验卷与第3 份测试卷测试的效果没有显著性差异,又因为p2 =0. 2003, p3 =0. 0754, 说明第1 份测验卷与第3 份测试卷测试的效果更相似。这个案例为同一时间需要区分A,B 卷的出题老师,提供了较好的选择。
2. 2　案例2
从某学校同一年级中随机抽取20 名学生,再将他们随机分成4 组,在2 周内4 组学生都用120 分钟复习同一组概率公式,第一组每个星期一复习一次60 分钟;第二组每个星期一和三两次各复习30 分钟;第三组每个星期二、四、六三次各复习20 分钟;第四组每天(星期天除外)复习10 分钟。2 周复习之后,相隔2 个月再进行统一测验,其结果如表3 所示。推断这4 种复习方法的效果之间有没有显著性差异?
表3　测试成绩表
序号
第一组
第二组
第三组
第四组
1
24
29
30
27
2
26
25
28
31
3
20
21
32
32
4
28
27
30
33
5
22
28
26

6

30

解:编写程序如下:
clc,clear
x = [24293027
　26252831
　20213232
　28273033
　22282630];
x = [x(1:5),x(6:10),x(20),x(11:15),x(16:19)];
g = [ones(1,5),2∗nes(1,6),3∗nes(1,5),4∗nes(1,4)];
p = anova1(x,g)
x1 = [x(1:5)];x2 = [x(6:11)];x3 = [x(12:16)];x4 = [x(17:20)];
[h1,p1] = ttest2(x1,x2,0. 05,0)
[h2,p2] = ttest2(x1,x3,0. 05,0)
[h3,p3] = ttest2(x1,x4,0. 05,0)
[h4,p4] = ttest2(x2,x3,0. 05,0)
[h5,p5] = ttest2(x2,x4,0. 05,0)
[h6,p6] = ttest2(x3,x4,0. 05,0)
求得0. 01 < p =0. 0140 <0. 05,所以拒绝原假设,说明这4 种复习方法中至少有2 种复习方法的效果之间有显著性差异。通过双正态总体假设检验的分析,得到h1 = h4 = h5 = h6 =0,接受原假设,说明第1 种与第2 种、第2 种与第3 种、第2 种与第4 种、第3 种与第4 种复习方法的效果之间没有显著性差异。而h2 =h3 =1,拒绝原假设,说明第1 种与第3 种、第1 种与第4 种复习方法的效果之间有显著性差异。案例2 说明,复习方法应该采用重复记忆的方式,一次的复习时间也不能太短。

3　结语
在实际授课过程中,将理论知识条理化,扩充一些理论与实际相结合的例子,对于较复杂的计算方法利用matlab 实现,不仅可以促进学生对理论知识的理解,让学生深刻体会到理论在实际中的应用,而且可以加强学生的动手操作能力,从而激发学生学习兴趣,更有利于实现应用型人才的培养目标。
参考文献:
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[2]　姜启源,谢金星,叶俊编. 数学模型[M]. 4 版. 北京:高等教育出版社,2012.
[3]　魏宗舒,等. 概率论与数理统计教程[M]. 北京:高等教育出版社, 2001.
[4]　吴赣昌. 概率论与数理统计[M]. 理工类4 版. 北京:中国人民大学出版社,2011.