《通信原理》习题参考答案.doc

《通信原理》习题参考答案

第三章

3-2.设随机过程ξ(t)可表示成
ξ(t)＝2cos(2πt+θ)
式中θ是一个离散随机变量，且P(θ=0)=1/2、P(θ=π/2)=1/2，试求E[ξ(1)]及Rξ(0,1)。

解：求E[ξ(1)]就是计算t=1时ξ(1)的平均值：

∵ ξ(0)＝2cos(0+θ)＝2cosθ
ξ(1)＝2cos(2π+θ)＝2cosθ

∴ E[ξ(1)]＝P(θ=0)×2cos0＋P(θ=π/2)×2cos(π/2)
＝(1/2)×2＋0
＝1

Rξ(0,1)＝E[ξ(0)ξ(1)]
＝E[2cosθ×2cosθ]
＝E[4cos2θ]
＝P(θ=0)×4cos20＋P(θ=π/2)×4cos2(π/2)
＝(1/2)×4
＝2

题解：从题目可知，θ是一个离散的随机变量，因此采用数理统计的方法求出ξ(t)在不同时刻上的均值和相关函数就显得比较容易。

3-3. 设Z(t)＝X1cosω0t－X2sinω0t是一个随机过程，若X1和X2是彼此独立且具有均值为0，方差为σ2的正态随机变量，试求
(1) E[Z(t)]、E[Z2(t)]
(2) Z(t)的一维分布密度函数f(z);
(3) B(t1,t2)与R(t1,t2)。

解：(1)∵ E[X1]＝E[X2]＝0，且X1和X2彼此独立

∴ E[Z(t)]＝E[X1cosω0t－X2sinω0t]
＝E[X1cosω0t]－E[X2sinω0t]
＝E[X1]×cosω0t－E[X2]×sinω0t
＝0

E[Z2(t)]＝E[(X1cosω0t－X2sinω0t)2]
＝E[X12cos2ω0t－2 X1 X2 cosω0t sinω0t＋X22sin2ω0t]
＝E[X12cos2ω0t]－E[2 X1 X2 cosω0t sinω0t]＋E[X22sin2ω0t]
＝cos2ω0t E[X12]－2 cosω0t sinω0tE[X1]E[X2]＋sin2ω0t E[X22]
＝cos2ω0t E[X12] ＋sin2ω0t E[X22]

又∵ E[X12]＝D[X1]＋E2 [X1]＝D[X1]＝σ2
E[X22]＝D[X2]＋E2 [X2]＝D[X2]＝σ2

∴ E[Z2(t)]＝σ2 cos2ω0t＋σ2 sin2ω0t
＝σ2 (cos2ω0t＋sin2ω0t)
＝σ2

(2)由于Z(t)＝X1cosω0t－X2sinω0t是由两个正态随机变量X1和X2叠加而成，因此它仍然服从正态分布，即它的

其中： E[Z(t)]＝0
D[Z(t)]＝E[Z2(t)]－E2 [Z(t)]＝E[Z2(t)]＝σ2

所以得一维分布密度函数f(Z)为：

(3) B(t1,t2)＝R(t1,t2)－E [Z(t1)] E [Z(t2)]
＝R(t1,t2)
＝E [Z(t1) Z(t2)]
＝E [(X1cosω0t1－X2sinω0t1)( X1cosω0t2－X2sinω0t2)]
＝E [X12cosω0t1 cosω0t2－X1 X2cosω0t1 sinω0t2
－X1X2sinω0t1cosω0t2＋X22sinω0t1 sinω0t2]
＝cosω0t1 cosω0t2E [X12]－cosω0t1 sinω0t2 E [X1 X2]
－sinω0t1cosω0t2 E [X1 X2]＋sinω0t1 sinω0t2 E [X22]
＝cosω0t1 cosω0t2E [X12] ＋sinω0t1 sinω0t2 E [X22]
＝σ2 (cosω0t1 cosω0t2＋sinω0t1 sinω0t2)
＝σ2 cosω0(t1－t2)
＝σ2 cosω0τ 其中τ＝∣t1－t2∣

3-5. 若随机过程z(t)＝m(t)cos(ω0t＋θ)，其中m(t)是宽平稳随机过程，且自相关函数Rm(τ)为

θ是服从均匀分布的随机变量，它与m(t)彼此统计独立。
(1) 证明z(t)是宽平稳的；
(2) 绘出自相关函数Rz(τ)的波形；
(3) 求功率谱密度Pz(ω)及功率S。

解：(1) ∵ E[z(t)]＝E[m(t)cos(ω0t＋θ)] （m(t)和θ彼此独立）
＝E[m(t)] E[cos(ω0t＋θ)]

=0

RZ(τ)＝RZ(t , t+τ)
＝E[z(t) z(t+τ)]
＝E{m(t)cos(ω0t＋θ) m(t+τ)cos[ω0(t+τ)＋θ]}
＝E[m(t) m(t+τ)] E{cos(ω0t＋θ)cos[ω0(t+τ)＋θ]}

由上可见：z(t)的均值E[z(t)]与时间t无关，相关函数RZ(τ)只与时间τ有关
∴ z(t)是宽平稳的随机过程

(2)由RZ(τ)可知：RZ(τ)是由和cosω0τ在时域上相乘的结果，而和cosω0τ在时域上的图形分别如下：
Rm(τ) cosω0τ

τ
-1 0 +1 τ
的波形 cosω0τ的波形

所以RZ(τ)的波形如下：
RZ(τ)

-1 +1 τ

－
RZ(τ) 的波形

(3)由z(t)＝m(t)cos(ω0t＋θ)可以看出：z(t)是由m(t)和
cos(ω0t＋θ)在时域上的相乘结果，则在频域上有：
Pz(ω)＝Pm(ω) *Pc(ω) ，其中Pm(ω)是m(t)的频谱
Pc(ω)是cos(ω0t＋θ)的频谱
又因为 Pm(ω)＝＝

Pc(ω)＝

∴Pz(ω)＝Pm(ω) *Pc(ω)
＝*
＝

S＝RZ(0)＝＝

3-8.将一个均值为零、功率谱密度为n0/2的高斯白噪声加到一个中心角频率为ωc、带宽为B的理想带通滤波器上，如图P2-1所示。

∣H(ω)∣
2πB 2πB

－ωc 0 ωc
图 P2-1

(1) 求滤波器输出噪声的自相关函数；
(2) 写出输出噪声的一维概率密度函数。

解： (1)先求出频域上的输出噪声功率：

再求时域上的自相关函数，实际上就是频域的傅里叶逆变换：

(2)高斯过程通过线性系统时仍然是一个高斯过程，即输出噪声的一维概率密度函数也是一个高斯过程，
又∵ 其中是表示输出噪声的时域表达式，是表示输入噪声的均值
同时
∴输出噪声的一维概率密度函数为：

3-11. 设有一个随机二进制矩形脉冲波形，它的每个脉冲的持续时间为Tb，脉冲幅度取±1的概率相等。现假设任一间隔Tb内波形取值与任何别的间隔内取值统计无关，且过程具有宽平稳性，试证：
(1)自相关函数

(2)功率谱密度Pξ(ω)＝Tb[Sa(πf Tb)]2 。

解：(1) ，实际上就是求在时间t和t+τ时，的乘积的均值。

当时，和的取值互相独立，如图(a)所示
A Tb Tb Tb Tb

t t+τ t

图(a)

于是有：

当时，和的取值有两种情况：
A Tb Tb Tb Tb

t t+τ t

图(b)
第一种情况：和都在同一个Tb范围内，也就是说和的取值相同，这种情况的概率是如图(b)所示
设此时的自相关函数为,则有

第二种情况：和不在同一个Tb范围内，也就是说和的取值分别是两个相邻的码元，这时和是相互独立的，如图(c)所示

A Tb Tb Tb Tb

t t+τ t

图(c)

设此时的自相关函数为,则有

∴当时：
综上所述，有

(2)
由的取值可以画出它的波形，如图(d)所示：
Rξ(τ)

1

－Tb Tb τ
图(d)
∴

3-13. 若ξ(t)是一个平稳随机过程，自相关函数为Rξ(τ)，试求它通过如图P2-5系统后的自相关函数及功率谱密度。

相加
延时T
ξ(t) 输出

图 P2-5

解：设输入信号的功率谱密度为；输出信号为，它的自相关函数为，它的功率谱密度为，于是有：

（傅氏变换的时延特性）

∴

10