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概率论第二章习题参考解答
1. 用随机变量来描述掷一枚硬币的试验结果. 写出它的概率函数和分布函数.
解: 假设ξ=1对应于"正面朝上",ξ=0对应于反面朝上. 则
P(ξ=0)=P(ξ=1)=0.5 .
其分布函数为

2. 如果ξ服从0-1分布, 又知ξ取1的概率为它取0的概率的两倍, 写出ξ的分布律和分布函数.
解: 根据题意有
P(ξ=1)=2P(ξ=0) (1)
并由概率分布的性质知
P(ξ=0)+P(ξ=1)=1 (2)
将(1)代入(2)得
3P(ξ=0)=1, 即P(ξ=0)=1/3
再由(1)式得
P(ξ=1)=2/3
因此分布律由下表所示
ξ
0
1
P
1/3
2/3
而分布函数为

3. 如果ξ的概率函数为P{ξ=a}=1, 则称ξ服从退化分布. 写出它的分布函数F(x), 画出F(x)的图形.
解: , 它的图形为

4. 一批产品分一,二,三级, 其中一级品是二级品的两倍, 三级品是二级品的一半, 从这批产品中随机地抽取一个检验质量, 用随机变量描述检验的可能结果, 写出它的概率函数.
解 设ξ取值1,2,3代表取到的产品为一,二,三级, 则根据题意有
P(ξ=1)=2P(ξ=2) (1)
P(ξ=3)=P(ξ=2)/2 (2)
由概率论性质可知
P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=3)=1 (3)
(1),(2)代入(3)得:
2P(ξ=2)+P(ξ=2)+P(ξ=2)/2=1
解得P(ξ=2)=2/7, 再代回到(1)和(2)得
P(ξ=1)=4/7, P(ξ=3)=1/7
则概率函数为

或列表如下:
ξ
1
2
3
P
4/7
2/7
1/7
5. 一批产品20个, 其中有5个次品, 从这批产品中随意抽取4个, 求这4个中的次品数ξ的分布律.
解: 基本事件总数为,
有利于事件{ξ=i}(i=0,1,2,3,4)的基本事件数为, 则

ξ
0
1
2
3
4
P
0.2817
0.4696
0.2167
0.031
0.001
6. 一批产品包括10件正品, 3件次品, 有放回地抽取, 每次一件, 直到取得正品为止, 假定每件产品被取到的机会相同, 求抽取次数ξ的概率函数.
解: 每次抽到正品的概率相同, 均为p=10/13=0.7692, 则每次抽到次品的概率q=1-p=0.2308则ξ服从相应的几何分布, 即有

7. 上题中如果每次取出一件产品后, 总以一件正品放回去, 直到取得正品为止, 求抽取次数ξ的分布律.
解: 这样抽取次数就是有限的, 因为总共只有3件次品, 即使前面三次都抽到次品,第四次抽时次品 已经全部代换为正品, 因此必然抽到正品, 这样ξ的取值为1,2,3,4
不难算出,

ξ的分布律如下表所示:
ξ
1
2
3
4
P
0.7692
0.1953
0.0328
0.0027
8. 自动生产线在调整之后出现废品的概率为p, 当在生产过程中出现废品时立即重新进行调整, 求在两次调整之间生产的合格品数ξ的概率函数.
解: 事件ξ=i说明生产了i次正品后第i+1次出现废品, 这是i+1个独立事件的交(1次发生i次不发生, 因此有
P(ξ=i)=p(1-p)i, (i=0,1,2,…)
9. 已知随机变量ξ只能取-1,0,1,2四个值, 相应概率依次为, 确定常数c并计算P{ξ<1|ξ≠0}.
解: 根据概率函数的性质有

即

得

设事件A为ξ<1, B为ξ≠0, (注: 如果熟练也可以不这样设)则

10. 写出第4题及第9题中各随机变量的分布函数.
解: 第4题:

第9题:
当x<-1时: F(x)=P(ξ≤x)=0
当-1≤x<0时: F(x)=P(ξ≤x)=P(ξ=-1)=
当0≤x<1时: F(x)=P(ξ≤x)=P(ξ=-1)+P(ξ=0)=
当1≤x<2时: F(x)=P(ξ≤x)=P(ξ=-1)+P(ξ=0)+P(ξ=1)=

当x≥2时: F(x)=P(ξ≤x)=1
综上所述, 最后得:

11. 已知ξ~, 求ξ的分布函数F(x), 画出F(x)的图形.
解: 当x<0时: F(x)=0;
当0≤x<1时:

当x≥1时: F(x)=1
综上所述, 最后得
图形为

12. 已知ξ~, 求P{ξ≤0.5}; P(ξ=0.5);F(x).
解: ,
因ξ为连续型随机变量, 因此取任何点的概率均为零, 所以P{ξ=0.5}=0,
求F(x): 当x<0时, F(x)=0
当0≤x<1时,
当x≥1时, F(x)=1
综上所述, 最后得:

13. 某型号电子管, 其寿命(以小时计)为一随机变量, 概率密度, 某一个电子设备内配有3个这样的电子管, 求电子管使用150小时都不需要更换的概率
解: 先求一个电子管使用150小时以上的概率P(ξ≥150)为:

则3个这样的电子管构成贝努里独立试验概型, 试验三次发生三次的概率为

14. 设连续型随机变量ξ的分布函数为:

求系数A; P(0.3<ξ<0.7); 概率密度φ(x).
解: 因ξ是连续型随机变量, 因此F(x)也必是连续曲线, 则其在第二段(0,1)区间的曲线必能和第三段(1,+∞)的曲线接上, 则必有
A×12=1, 即A=1. 则分布函数为

P(0.3<ξ<0.7)=F(0.7)-F(0.3)=0.72-0.32=0.49-0.09=0.4
概率密度φ(x)为

15. 服从柯西分布的随机变量ξ的分布函数是F(x)=A+B arctgx, 求常数A,B;P{|ξ|<1}以及概率密度φ(x).
解: 由F(-∞)=0,
得A+Barctg(-∞)= (1)
再由F(+∞)=1,
得 (2)
综和(1),(2)两式解得
即

16. 服从拉普拉斯分布的随机变量ξ的概率密度, 求系数A及分布函数F(x).
解: 这实际上是一个分段函数, φ(x)可重新写为

根据性质, 又因φ(x)为偶函数, 因此有
, 则有A=1/2
因此.
求分布函数F(x).
当x<0时, 有

当x≥0时, 有

综上所述, 最后得

17. 已知 计算P{ξ≤0.2|0.1<ξ≤0.5}
解: 设事件A={ξ≤0.2}, B={0.1<ξ≤0.5}, 则要计算的是条件概率P(A|B), 而
, 而事件AB={ξ≤0.2}∩{0.1<ξ≤0.5}={0.1<ξ≤0.2}
因此有

最后得

18. 已知, 确定常数c.
解: 首先证明普阿松广义积分, 因为函数并不存在原函数, 因此需要一技巧. 令, 则
作极坐标代换, 令, 则积分区间为全平面, 即θ从0积到2π, r从0积到+∞, 且, 因此有
, 所以I=π.
现确定常数c, 由性质,

得
19. 已知, 求常数c及P{a-1<ξ≤a+1}.
解: 由性质得

解得 , 因此有

则

20. 二元离散型随机变量(ξ,η)有如下表所示的联合概率分布:
η
ξ
0
1
2
3
4
5
6
0
0.202
0.174
0.113
0.062
0.049
0.023
0.004
1
0
0.099
0.064
0.040
0.031
0.020
0.006
2
0
0
0.031
0.025
0.018
0.013
0.008
3
0
0
0
0.001
0.002
0.004
0.011
求边缘概率分布, ξ与η是否独立?
解: 按下表计算ξ与η的边缘分布:
η
ξ
0
1
2
3
4
5
6
pi(1)
0
0.202
0.174
0.113
0.062
0.049
0.023
0.004
0.627
1
0
0.099
0.064
0.040
0.031
0.020
0.006
0.260
2
0
0
0.031
0.025
0.018
0.013
0.008
0.095
3
0
0
0
0.001
0.002
0.004
0.011
0.018
pj(2)
0.202
0.273
0.208
0.128
0.100
0.060
0.029

得ξ的边缘分布如下表所示:
ξ
0
1
2
3
P
0.627
0.260
0.095
0.018
以及η的边缘分布如下表所示:
η
0
1
2
3
4
5
6
P
0.202
0.273
0.208
0.128
0.1
0.06
0.029
当i=1及j=0时,
因
因此ξ与η相互间不独立.
21. 假设电子显示牌上有3个灯泡在第一排, 5个灯泡在第二排. 令ξ,η分别表示在某一规定时间内第一排和第二排烧坏的灯泡数. 若ξ与η的联合分布如下表所示:
η
ξ
0

1
2
3
4
5
0
0.01
0.01
0.03
0.05
0.07
0.09
1
0.01
0.02
0.04
0.05
0.06
0.08
2
0.01
0.03
0.05
0.05
0.05
0.06
3
0.01
0.01
0.04
0.06
0.06
0.05
试计算在规定时间内下列事件的概率:
(1) 第一排烧坏的灯泡数不超过一个;
(2) 第一排与第二排烧坏的灯泡数相等;
(3) 第一排烧坏的灯泡数不超过第二排烧坏的灯泡数.
解: 假设事件A为第一排烧坏的灯泡数不超过一个, B为第一排与第二排烧坏的灯泡数相等, C为第一排烧坏的灯光数不超过第二排烧坏的灯泡数.
则事件A发生的概率为上表中头两排概率之和

事件B发生的概率为上表中从0行0列开始的斜对角线之和

事件C发生的概率为上表中斜对角线上右的各个数相加(包括斜对角线上的数), 但为减少运算量, 也可以考虑其逆事件的概率, 然后用1减去它. 而的概率为上表中斜对角线的左下角的所有概率之和(不包括斜对角线):

22. 袋中装有标上号码1,2,2的3个球, 从中任取一个并且不再放回, 然后再从袋中任取一球, 以ξ, η分别记为第一,二次取到球上的号码数, 求(ξ,η)的分布律(袋中各球被取机会相同).
解: 因为有两个2一个1, 因此第一次取到2号的概率为P(ξ=2)=2/3, 第一次取到1号的概率为P(ξ=1)=1/3. 第一次取到2号后还剩下一个2号一个1号, 则在此条件下第二次取到1号的概率P(η=1|ξ=2)=P(η=2|ξ=2)=1/2. 而第一次取到1号后还剩下两个2号, 因此这时P(η=1|ξ=1)=0, P(η=2|ξ=1)=1.
综上所述并用乘法法则可得

(ξ,η)的分布律如下表所示:
η
ξ
1
2
1
0
1/3
2
1/3
1/3
23. (ξ , η)只取下列数组中的值：

且相应的概率依次为1/6, 1/3, 1/12, 5/12. 列出(ξ,η)的概率分布表, 写出关于η的边缘分布.
解: 从上面数组可知ξ只取-1,0,2这三个值, 而η只取0,,1这三个值, 因此总共可构成九个数对, 其中只有四个数对的概率不为零. 概率分布表及η的边缘分布计算如下
η
ξ
0
1/3
1
-1
0
1/12
1/3
0
1/6
0
0
2
5/12
0
0
pj(2)
7/12
1/12
1/3
即η的边缘分布率如下表所示
η
0
1/3
1
P
7/12
1/12
1/3
24. 袋中装有标上号码1,2,2,3的4个球, 从中任取一个并且不再放回, 然后再从袋中任取一球, 以ξ, η分别记为第一,二次取到球上的号码数, 求(ξ,η)的分布律(袋中各球被取机会相同).
解: 第一次取到号码1,2,3的概率为
P{ξ=1}=P(ξ=3)=1/4
P{ξ=2}=1/2
在第一次取到号码i条件下,第二次取到号码j的概率各为
P{η=1|ξ=1}=P{η=3|ξ=3}=0
P{η=2|ξ=1}=P{η=2|ξ=3}=2/3
P{η=3|ξ=1}=P{η=1|ξ=3}=1/3
P{η=1|ξ=2}=P{η=3|ξ=2}=1/3
P{η=2|ξ=2}=1/3
则
p11=P{ξ=1,η=1}=P{ξ=1}P{η=1|ξ=1}=0
p12=P{ξ=1,η=2}=P{ξ=1}P{η=2|ξ=1}=1/6
p13=P{ξ=1,η=3}=P{ξ=1}P{η=3|ξ=1}=1/12
p21=P{ξ=2,η=1}=P{ξ=2}P{η=1|ξ=2}=1/6
p22=P{ξ=2,η=2}=P{ξ=2}P{η=2|ξ=2}=1/6
p23=P{ξ=2,η=3}=P{ξ=2}P{η=3|ξ=2}=1/6
p31=P{ξ=3,η=1}=P{ξ=3}P{η=1|ξ=3}=1/12
p32=P{ξ=3,η=2}=P{ξ=3}P{η=2|ξ=3}=1/6
p33=P{ξ=3,η=3}=P{ξ=3}P{η=3|ξ=3}=0
即联合概率分布表如下表所示
η
ξ
1
2
3
1
0
1/6
1/12
2
1/6
1/6
1/6
3
1/12
1/6
0
25. ξ表示随机地在1-4的4个整数中取出的一个整数，η表示在1-ξ中随机地取出的一个整数值，求(ξ,η)的联合概率分布.
解: 因ξ取四个数中的任何一个概率相等, 因此有
P{ξ=i}=1/4, (i=1,2,3,4)
而在ξ=i的条件下, (i=1,2,3,4), η取1到i的概率也相同,为1/i, 即
P{η=j|ξ=i}=1/i, (i=1,2,3,4;j=1-i)
因此有
pij=P{ξ=i,η=j}=P{ξ=i}P{η=j|ξ=i}=1/(4i), (i=1,2,3,4; j=1-i),
联合概率分布如下表所示:

η
ξ
1
2
3
4
1
1/4
0
0
0
2
1/8
1/8
0
0
3
1/12
1/12
1/12
0
4
1/16
1/16
1/16
1/16
26. 已知(ξ,η)~,试确定常数c并求η的边缘概率密度.
解: 根据性质, 有

解得,
因此,
求η的边缘概率密度:
当时:

上式后一等式利用了三角函数公式
, 而计算三角函数的值, 又是在已知的前提下,利用半角公式得

当y取区间之外的值时, .
因此最后得:

27. 已知ξ服从参数p=0.6的0-1分布, 在ξ=0及ξ=1条件下, 关于η的条件分布分别如下二表所示:
η
1
2
3
P{η|ξ=0}
1/4
1/2
1/4

η
1
2
3
P{η|ξ=1}
1/2
1/6
1/3
求二元随机变量(ξ,η)的联合概率分布, 以及在η≠1时关于ξ的条件分布.
解: 根据题意已知
P{ξ=0}=1-p=1-0.6=0.4, P{ξ=1}=p=0.6
则根据乘法法则有:
p01=P{ξ=0,η=1}=P{ξ=0}P{η=1|ξ=0}=0.4×(1/4)=0.1
p02=P{ξ=0,η=2}=P{ξ=0}P{η=2|ξ=0}=0.4×(1/2)=0.2
p03=P{ξ=0,η=3}=P{ξ=0}P{η=3|ξ=0}=0.4×(1/4)=0.1
p11=P{ξ=1,η=1}=P{ξ=1}P{η=1|ξ=1}=0.6×(1/2)=0.3
p12=P{ξ=1,η=2}=P{ξ=1}P{η=2|ξ=1}=0.6×(1/6)=0.1
p13=P{ξ=1,η=3}=P{ξ=1}P{η=3|ξ=1}=0.6×(1/3)=0.2
列出联合分布律如下表所示:
η
ξ
1
2
3
0
0.1
0.2
0.1
1
0.3
0.1
0.2
由表中可以算出
P{η≠1}=1-P{η=1}=1-(p01+p11)=1-0.4=0.6
P{ξ=0,η≠1}=p02+p03=0.2+0.1=0.3
P{ξ=1,η≠1}=p12+p13=0.1+0.2=0.3
因此有

则在η≠1时关于ξ的条件分布律如下表所示:
ξ
0
1
P{ξ|η≠0}
0.5
0.5

28. 第22题中的两个随机变量ξ与η是否独立？当ξ=1时η的条件分布是什么？
解: 第22题中的分布律已经计算出如下表所示:
η
ξ
1
2
1
0
1/3
2
1/3
1/3
从表中看出是明显不独立的, 因为

P{ξ=1}=1/3, P{η=1}=1/3
而
P{ξ=1,η=1}=0≠P{ξ=1}P{η=1}
在ξ=1条件下, 因

因此在此条件下η服从单点分布或退化分布, 只取值为2, 取值为2的条件概率为1.
29．ξ与η相互独立, 其概率分布如下二表所示
ξ
-2
-1
0
1/2
P
1/4
1/3
1/12
1/3

η
-1/2
1
3
P
1/2
1/4
1/4
求(ξ,η)的联合分布, P(ξ+η=1), P(ξ+η≠0).
解: 因ξ与η相互独立, 因此有pij=pi(1)pj(2), 算得联合分布律如下表所示
η
ξ
-1/2
1
3
-2
1/8
1/16
1/16
-1
1/6
1/12
1/12
0
1/24
1/48
1/48
1/2
1/6
1/12
1/12
根据此联合分布律可算出

30. 测量一矩形土地的长与宽, 测量结果得到如下表所示的分布律(长与宽相互独立), 求周长ζ的分布.
长度ξ
29
30
31
P
0.3
0.5
0.2

宽度η
19
20
21
P
0.3
0.4
0.3

解: 因ζ=2ξ+2η, 可知ζ的取值为96,98,100,102,104, 又因ξ与η独立, 因此有
P{ζ=96}==P{ξ=29}P{η=19}=0.3×0.3=0.09
P{ζ=98}=P{ξ=29}P{η=20}+P{ξ=30}P{η=19}=0.3×0.4+0.5×0.3=0.27
P{ζ=100}=P{ξ=29}P{η=21}+P{ξ=30}P{η=20}+P{ξ=31}}P{η=19}=
=0.3×0.3+0.5×0.4+0.2×0.3=0.35
P{ζ=102}=P{ξ=30}P{η=21}+P{ξ=31}P{η=20}=0.3×0.5+0.2×0.4=0.23
P{ζ=104}=P{ξ=31}P{η=21}=0.2×0.3=0.06
因此ζ的分布律如下表所示:
周长ζ
96
98
100
102
104
P
0.09
0.27
0.35
0.23
0.06

31. 测量一圆形物件的半径R, 其分布如下表所示, 求圆周长ξ与圆面积η的分布.
R
10
11
12
13
P
0.1
0.4
0.3
0.2
解: 因周长ξ=2πR, 面积η=πR2, 因此当半径R取值10,11,12,13时, ξ的取值为62.83, 69.12, 75.4, 81.68, η的取值为314.16,380.13,452.39,530.93, 相应的分布律如下二表所示
ξ
62.83
69.12
75.4
81.68
P
0.1
0.4
0.3
0.2

η
314.16
380.13
452.39
530.93
P
0.1
0.4
0.3
0.2

32. 一个商店每星期四进货, 以备星期五,六,日3天销售, 根据多周统计, 这3天销售件数
ξ1,ξ2,ξ3彼此独立, 且有如下表所示分布:
ξ1
10
11
12
P
0.2
0.7
0.1

ξ2
13
14
15
P
0.3
0.6
0.1

ξ3
17
18
19
P
0.1
0.8
0.1
问三天销售总量这个随机变量可以取哪些值?如果进货45件, 不够卖的概率是多少? 如果进货40件, 够卖的概率是多少?
解: 因η的取值为ξ1,ξ2,ξ3三个随机变量可能取值之和, 因此可能的取值为从10+13+17=40到12+15+19=46之间的每一个整数值, 即40,41,42,43,44,45,46.
因此, 如进货15件, 不够卖的概率在η取值为46时出现, 即
P{η=46}=P{ξ1=12}P{ξ2=15}P{ξ3=19}=0.1×0.1×0.1=0.001
如进货40件, 够卖的概率发生在η取值为40时出现, 即
P{η=40}=P{ξ1=10}P{ξ2=13}P{ξ3=17}=0.2×0.3×0.1=0.006
33. 求出第22题中ξ+η的分布律.
解: 因第22题已经算出的ξ与η的联合分布律如下表:
η
ξ
1
2
1
0
1/3
2
1/3
1/3
则P{ξ+η=2}=P{ξ=1,η=1}=0
P{ξ+η=3}=P{ξ=1,η=2}+P{ξ=2,η=1}=2/3
P{ξ+η=4}=P{ξ=2,η=2}=1/3
即ξ+η的分布律如下表所示:
ξ+η
3
4
P
2/3
1/3

34. 求出第23题中ξ-η的分布律
解: 因(ξ , η)只取下列数组中的值：

且相应的概率依次为1/6, 1/3, 1/12, 5/12.
因此ξ-η也只取0-0=0, -1-1=-2, -1-1/3=-4/3, 2-0=2这四个值, 相应的概率也还是依次为1/6, 1/3, 1/12, 5/12. 即分布律如下表所示
ξ-η
-2
-4/3
0
2
P
1/3
1/12
1/6
5/12
35. 已知P{ξ=k}=a/k, P{η=-k}=b/k2(k=1,2,3), ξ与η独立, 确定a,b的值; 求出(ξ,η)的联合概率分布以及ξ+η的概率分布.
解: 由概率分布的性质有
, 解得
解得
因此有P{ξ=1}=0.5455, P{ξ=2}=0.5455/2=0.2727, P{ξ=3}=0.1818
P{η=1}=0.7347, P{η=-2}=0.1837, P{η=-3}=0.0816
因ξ与η独立, 则有
p11=P{ξ=1,η=-1}=P{ξ=1}P{η=-1}=0.5455×0.7347=0.4008
p12=P{ξ=1,η=-2}=P{ξ=1}P{η=-2}=0.5455×0.1837=0.1002
p13=P{ξ=1,η=-3}=P{ξ=1}P{η=-3}=0.5455×0.0816=0.0445
p21=P{ξ=2,η=-1}=P{ξ=2}P{η=-1}=0.2727×0.7347=0.2004
p22=P{ξ=2,η=-2}=P{ξ=2}P{η=-2}=0.2727×0.1837=0.0501
p23=P{ξ=2,η=-3}=P{ξ=2}P{η=-3}=0.2727×0.0816=0.0223
p31=P{ξ=3,η=-1}=P{ξ=3}P{η=-1}=0.1818×0.7347=0.1336
p32=P{ξ=3,η=-2}=P{ξ=3}P{η=-2}=0.1818×0.1837=0.0333
p33=P{ξ=3,η=-3}=P{ξ=3}P{η=-3}=0.1818×0.0816=0.0148
即联合分布表如下表所示:
η
ξ
-1
-2
-3
1
0.4008
0.1002
0.0445
2
0.2004
0.0501
0.0223
3
0.1336
0.0333
0.0148
计算ξ+η的概率分布:
P{ξ+η=-2}=p13=0.0445
P{ξ+η=-1}=p12+p23=0.1002+0.0223=0.1225
P{ξ+η=0}=p11+p22+p33=0.4008+0.0501+0.0148=0.4657
P{ξ+η=1}=p21+p32=0.2004+0.0333=0.2337
P{ξ+η=2}=p31=0.1336
即ξ+η的概率分布率如下表所示
ξ+η
-2
-1
0
1
2
P
0.0445
0.1225
0.4657
0.2337
0.1336
36. 已知ξ服从区间[0,1]上的均匀分布, 求ξ的函数η=3ξ+1的概率分布.
解: 根据题意知ξ的概率密度φξ(x)为

则η的分布函数为

对其求导得η的概率密度与ξ的概率密度间的关系为

即η服从在区间[1,4]上的均匀分布.
37. 已知ξ～, , 求η的概率密度.
解: 求η的分布函数Fη(x)为

因ex总大于0, 而当x大于0时Fξ(x)为

因此有

则η的概率密度为其分布函数的求导: