概率第二章.doc

目录
第二章 随机变量及其分布 1
考点与要求 1
考试内容 1
考试要求 2
第一节 随机变量及其分布函数的概念及性质 2
内容精讲 2
例题心解 3
第二节 离散型随机变量和连续性随机变量 4
内容精讲 4
例题心解 9
第三节 随机变量函数的分布及其求法 16
内容精讲 16
题型精选 23
答案 26

第二章 随机变量及其分布

考点与要求
考试内容
随机变量 随机变量分布函数的概念及其性质 离散型随机变量的概率分布 连续型随机变量的概率密度 常见随机变量的分布 随机变量函数的分布

考试要求
1．理解随机变量的概念理解分布函数

的概念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率．
2．理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0－1分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松（Poisson）分布及其应用．
3.了解泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布.
4．理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、正态分布、指数分布及其应用，其中参数为的指数分布的概率密度为

5．会求随机变量函数的分布．
第一节 随机变量及其分布函数的概念及性质
内容精讲
一、定义
定义2.1.1（随机变量）

定义2.1.2(分布函数)
设X是一个随机变量，对任意实数x，称为X的分布函数，记为。
二、重要定理、性质、公式
定理2.1.1（分布函数的性质）
分布函数具有如下三条基本性质：
(1)单调性 F(x)是单调非减函数，即对任意的，有。
(2)有界性 对任意的x，有，且
， 。
(3)右连续性 F(x)是x的右连续函数，即对任意的，有
， 即 。
反之，可以证明：具有上述三条性质的函数F(x)一定是某一个随机变量的分布函数。

例题心解
题型一 随机变量和分布函数
【 例2.1 】如下四个函数哪个是随机变量X的分布函数
(A) , (B)
(C) , (D)
【解】 (A)不满足F(+¥) = 1, 排除(A); (B)不满足单增, 排除(B); (D)不满足F(1/2 + 0) = F(1/2), 排除(D); (C)是答案.
【 例2.2 】是随机变量X的概率分布, 则l, c 一定满足
(A) l > 0 (B) c > 0 (C) c l > 0 (D) c > 0, 且 l > 0
【解】因为, 所以c > 0. 而k为偶数, 所以l可以为负. 所以(B)是答案.
【 例2.3 】 X～N(1, 1), 概率密度为j(x), 则
(A) (B)
(C) (D)
【解】因为E(X) = m = 1, 所以. (C)是答案.
【 例2.4 】已知随机变量只取-1，0，1，2四个值，相应的概率为，求常数c，并计算。
【解】由分布律的完备性，有，所以；

第二节 离散型随机变量和连续性随机变量
内容精讲
一. 定义
定义6.2.1（离散随机变量）
有些随机变量，他全部可能取到的值是有限多个或可列无限多个，这种随机变量称为离散型随机变量。

定义6.2.2（0-1分布）
设随机变量X只可能取0或1两个值, 它的分布律为, k = 0, 1, (0 < p < 1), 或
X
0
1
pk
1 - p
p
则称X服从(0 - 1)分布.
凡是只有两个结果的试验都可以用(0 - 1)分布来描述.
定义6.2.3（伯努利概型、二项分布）
在实践中, 我们经常遇到下列类型的重复试验:
(1) 每次试验的条件都相同, 且试验结果; 只有两个: A及, 且P(A) = p, P() = q = 1 - p (0 < p < 1),
(2) 每次试验的结果(即基本事件)是相互独立的.
我们称之为n重伯努利(Bernoulli)试验, 或伯努利概型.

对于伯努利概型, 可以得到如下结果: 在n次试验中事件A出现k次的概率为
, k = 0, 1, 2, …, n.
设X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数, 则X是一个随机变量, 它的可能取值为0、1、2、…、n, 由前面的讨论, 我们有 , k = 0, 1, 2, …, n.
显然, P{X = k} ³ 0, k = 0, 1, 2, …, n;
即P{X = k}满足条件, 注意到刚好是二项式的展开式中出现pk的项, 故我们称随机变量X服从参数为n、p的二项分布, 记为X ～b (n, p).
特别地, 当n = 1时, 二项分布即为(0 - 1)分布.
定义6.2.4（泊松分布）
设随机变量X的所有可能取值为0, 1, 2, …, 而取各个值的概率为
, k 0, 1, 2, …
其中l > 0是常数, 则称X服从参数为l的泊松分布, 记为X ~ p (l).
定义6.2.5（泊松定理）
设l > 0是一个常数, n是任意正整数, 设npn = l , 则对于任一固定的非负整数k, 有
.
泊松定理指明了以n、p(np = l)为参数的二项分布, 当n ®¥时趋于以l为参数的泊松分布, 这一事实也显示了泊松分布在理论上的重要性.
泊松分布通常适用于描绘大量重复试验中稀有事件(即每次试验中出现的概率很小的事件, 例如不幸事件、意外事故、非常见病、自然灾害等)出现的次数的概率分布.

定义6.2.6（连续型随机变量）
如果对于随机变量X的分布函数F(x), 存在非负函数f (x), 使对任意实数x, 有

则称X为连续型随机变量, 其中函数f (x)称为X的概率密度函数, 简称概率密度.
定义6.2.7（均匀分布）
如果随机变量X的取值范围是有限区间(a, b), 并且落在[a, b]中的任一小区间的概率只与这个区间的长度成正比, 而与该小区间的位置无关, 则称X在(a, b)上服从均匀分布, 它的概率密度为
分布函数为
记为X ~ U (a, b).
定义6.2.8（指数分布）
如果连续型随机变量X的概率密度为
其中q > 0是常数, 则称X服从参数为q 指数分布 其分布函数为
指数分布有重要应用, 常用它来作为各种“寿命”分布的近似. 例如无线电元件的寿命、动物的寿命、电话问题中的通话时间、随机服务系统中的服务时间等都常假定服从指数分布.
服从指数分布的随机变量X具有以下性质:
对于任意的s、t > 0, 有P{X > s + t ½X > s} = P{X > t}. 事实上
P{X > s + t ½X > s} ==.
此性质称为无记忆性. 如果X是某一元件的寿命, 那么上式表明: 已知元件已使用了s小时, 它总共能使用至少s + t小时的条件概率, 与从开始使用时算起它至少能使用t小时的概率相等. 这就是说, 元件对它已使用过s小时没有记忆. 具有这一性质是指数分布有广泛应用的原因.
定义6.2.9（正态分布）
设连续型随机变量X 的概率密度为 ， (-¥ < x < +¥).

二、重要定理、性质、公式
定理2.2.1（连续型随机变量的性质）
概率密度f (x)在几何上表示一条曲线, 称之为分布曲线. 分布函数F(x)的几何意义是分布曲线f (x)下从-¥到x的一块面积, 这块面积随x而改变.
可以证明: 连续型随机变量的分布函数F(x)是连续函数.

概率密度f (x)具有下列性质:
1° f (x) ³ 0;
2° ;
3° P{x1< X £ x2}= F(x2) - F(x1) =(x1 £ x2);
4° 若f (x)在点x处连续, 则有.

注: (1) 若函数f (x)满足性质1°、2°, 则f (x)一定是某个连续型随机变量的概率密度.
(2) 对于连续型随机变量X来说, 它取任一指定实数a的概率为0, 即P{X = a}= 0.
事实上, 设X的分布函数为F(X), Dx > 0, 则由{X = a}Ì {a - Dx < X £ a}得
.
又, 所以, P{X = a}= 0. 因此
P{a < X £ b} = P{a < X < b} = P{a £ X < b} = P{a £ X £ b} = F(b) - F(a).
(3) 概率为0的事件不一定是不可能事件, 同样, 概率为1的事件也不一定是必然事件.
(4) 连续型随机变量X落在小区间(x, x + Dx) (Dx > 0)上的概率为
.
定理2.2.2（正态分布的性质）
正态分布的概率密度f (x)的图形称为正态曲线, 它具有以下性质:
1° 曲线位于x轴的上方, 以直线x = m为对称轴, 即f (m + x) = f (m - x). 这表明对于任意的h > 0, 有
P{m - h < X £ m}= P{m < X £ m + h}.
2° 当x m 时, 曲线处于最高点(), 当x < m 时, f (x)单调增加; 当x > m 时, f (x)单调减少, 即当x向左右远离m 时, 曲线逐渐降低, 整条曲线呈现“中间高, 两边低”的形状. 这表明对于同样长度的区间, 当区间离m 越远, X落在这个区间上的概率越小.
3° 在x = m ±s 处曲线有拐点, 并以x轴为渐近线.
4° 参数m 确定了曲线的位置, s 确定了曲线的形状. s 越大, 曲线越平坦; s 越小, 曲线越集中.

特别地, 当m = 0, s = 1时, 称X服从标准正态分布, 其概率密度和分布函数分别用j(x)和F(x)表示, 即
, .

例题心解
题型二 离散型随机变量及其分布律
【解题思路】
【例2.5】掷一枚非均质的硬币，出现正面的概率为，若以表示直至掷到正、反面都出现时为止所需投掷次数，求的分布列。
【解】 表示事件：前次出现正面，第次出现反面，或前次出现反面，第次出现正面，所以

【例2.6】口袋中有5个球，编号为1，2，3，4，5．从中任取3个，以X表示取出的3个球中的最大号码。
(1)试求X的分布列；(2)写出X的分布列函数，并作图。
【解】(1) 从5个球中任取3个，共有种可能取法。X为取出的3个球中的最大号码，则X的可能取值为 3，4，5。因为
，
且当i ³3时，有所以

所以X的分布列为

(2)由分布函数的定义知

【例2.7】口袋中有7个白球，3个黑球。
(1) 每次从中任取一个不放回，求首次取出白球的取球次数X的分布列；
(2) 如果取出的是黑球则不放回，而另外放入一个白球，此时X的概率分布列如何。
【解】 X为首次取到白球的取球次数，则X的可能取值为1，2，3，4。记为“第i 次取出的球为黑球”，i=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.
(1) 由乘法公式可得
P(X=1)=P =

将计算结果列表为
X
1
2
3
4
P
7/10
7/30
7/120
1/120
(2) 如果取出的是黑球则不放回，而另外放入一个白球，则由乘法公式得
P(X=1)=P =

将以上计算结果列表为
X
1
2
3
4
P
7/10
6/25
27/500
3/500

【例2.8】为保证设备正常工作, 需要配备适量的维修工人(工人配备多了就浪费, 配备少了要影响生产). 现有同类型设备300台, 各台工作与否是相互独立的, 发生故障的概率都是0.01, 在通常情况下, 一台设备的故障可由一人来处理(我们也只考虑这种情况), 问至少需配备多少工人, 才能保证当设备发生故障但不能维修的概率小于0.01?
【解】 设需要配备N人, 记同一时刻发生故障的设备台数为X, 则X ~ b(300, 0.01), 所要解决的问题是确定N, 使得 P{X > N} < 0.01. 由泊松定理, l = np = 3,
=< 0.01.
查表知, 满足上式的最小的N是8, 因此需配备8个维修工人.
【例2.9】一电话交换台每分钟接到的呼叫次数服从参数为4的泊松分布，求（1）每分钟恰有8次呼叫的概率；（2）每分钟的呼叫次数大于10的概率。
【解】 设为每分钟接到的呼叫次数，则
（1）
（2）
【例2.10】已知离散型随机变量的分布列为：，，试写出的分布函数。
【解】 的分布列为

所以的分布函数为

【例2.11】（二项分布）设，如果，求。
【解】因为，所以；
而，所以
又，所以，
所以。
【例2.12】设顾客在某银行窗口等待服务的时间（单位：分），服从参数为的指数分布。若等待时间超过10分钟，则他就离开。设他一个月内要来银行5次，以表示一个月内他没有等到服务而离开窗口的次数，求的分布列及。
【解】 由题意，其中
，
于是的分布为

.
【例2.13】已知离散型随机变量的分布列为

求的分布列.
【解】 X=-2时, Y=4, P（Y=4）
X=1或-1时，Y=1,P(Y=1)=P(X=1)+P(X=-1)=
X=0时，Y=0，P(Y=0)=
X=3时，Y=9，P(Y=9)=
的分布列为
.

题型三 连续型随机变量及其分布律
【解题思路】设的密度函数为，则的密度函数求法:
(1)公式法: 若严格单调,其反函数有一阶连续导数, 则也是连续型随机变量, 且密度函数为

其中为的值域.
(2)分布函数法: 先求的分布函数,再通过求导得到密度函数

【例2.14】在区间上任意投掷一个质点，以表示这个质点的坐标。设这个质点落在中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例，试求的分布函数。
【解】① 当时。是不可能事件，
②当时， 而 是必然事件

则
③当时，是必然事件，有

【例2.15】设K在（0，5）上服从均匀分布，求方程有实根的概率
【解】 ∵ K的分布密度为：
要方程有根，就是要K满足(4K)2－4×4× (K+2)≥0。
解不等式，得K≥2时，方程有实根。
∴
【例2.13】设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分计）服从指数分布，其概率密度为：

某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开。他一个月要到银行5次。以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y的分布律。并求P（Y≥1）。
【解】该顾客“一次等待服务未成而离去”的概率为

因此

【例2.16】设X～N（3.22）
（1）求P (22}，P (X>3)
【解】∵ 若X～N（μ，σ2），则P (α3.5)
=0.9998－0.0002=0.9996
P (|X|>2)=1－P (|X|<2)= 1－P (－2< P<2 )
=
=1－φ(－0.5) +φ(－2.5)
=1－0.3085+0.0062=0.6977
P (X>3)=1－P (X≤3)=1－φ=1－0.5=0.5
（2）决定C使得P (X > C )=P (X≤C)
∵ P (X > C )=1－P (X≤C )= P (X≤C)
得 P (X≤C )==0.5
又 P (X≤C )=φ ∴ C =3

【例2.17】由某机器生产的螺栓长度（cm）服从参数为μ=10.05，σ=0.06的正态分布。规定长度在范围10.05±0.12内为合格品，求一螺栓为不合格的概率是多少？
【解】设螺栓长度为X
P{X不属于(10.05－0.12, 10.05+0.12)
=1－P (10.05－0.12的分布密度为：
Y=g (X) =eX是单调增函数
又 X=h (Y)=lnY，反函数存在
且 α = min[g (0), g (1)]=min(1, e)=1
max[g (0), g (1)]=max(1, e)= e
∴ Y的分布密度为：

【例2.18】设随机变量X服从参数为1的指数分布，求Y=X 2的概率密度。
【解】x
O
y=x2
y
法一：∵ X的分布密度为：
Y=x2是非单调函数
当 x<0时 y=x2 ' 反函数是
当 x<0时 y=x2 &
∴ Y～ fY (y) = －
=
法二：

∴ Y～ fY (y) =

【例2.19】设X～N（0，1）
（1） 求Y=2X2+1的概率密度。
（2）求Y=| X |的概率密度。
【解】
(1)在这里，Y=2X2+1在(+∞，－∞)不是单调函数，没有一般的结论可用。
设Y的分布函数是FY（y），
则 FY ( y)=P (Y≤y)=P (2X2+1≤y)
=
当y<1时：FY ( y)=0
当y≥1时：
故Y的分布密度ψ( y)是：
当y≤1时：ψ( y)= [FY ( y)]' = (0)' =0
当y>1时，ψ( y)= [FY ( y)]' =
=
(2) ∵ Y的分布函数为 FY ( y)=P (Y≤y )=P ( | X |≤y)
当y<0时，FY ( y)=0
当y≥0时，FY ( y)=P (| X |≤y )=P (－y≤X≤y)=
∴ Y的概率密度为：
当y≤0时：ψ( y)= [FY ( y)]' = (0)' =0
当y>0时：ψ( y)= [FY ( y)]' =

【例2.20】设电流是一个随机变量，它均匀分布在9安11安之间。若此电流通过2欧的电阻，在其上消耗求的概率密度。
【解】在上服从均匀分布
的概率密度为：

的取值为
分布函数

第三节 随机变量函数的分布及其求法
内容精讲

任何随机变量都存在分布函数,离散型随机变量分布函数一般为分段函数; 连续型随机变量分布函数一定是连续函数,而密度函数不一定连续.
2.不同的随机变量可以有相同的分布函数.
3.若, , ,均为分布函数,
则 ()仍为分布函数.
仍为分布函数 仍为分布函数.
4.若, , ,均为概率密度函数, 则()仍为密度函数.但不一定是密度函数.
题型四 随机变量函数的分布
【例2.21】设随机变量的概率密度为

求的概率密度.
【解】 解法一1 函数在上单调增，反函数为
在上单调减，反函数为.
的概率密度为：

解法二2 设的分布函数为，则

所以

【例2.22】设连续型随机变量的概率密度为，分布函数为，求下列随机变量的概率密度：（1）；（2）。
【解】(1) 。
当时，，所以
。
；
当时，，所以

，
；
当时，，
；
故随机变量的概率密度为。
（2）当时，，所以；
当时，，
所以，；
故随机变量的概率密度为。
注：此题只能用分布函数法进行求解。

【例2.23】设一个汽车站上，某路公共汽车每5分钟有一辆车到达，设乘客在5分钟内任一时刻到达是等可能的，计算在车站候车的10位乘客中只有一位等待时间超过4分钟的概率。
【解】由于乘客在时间段内到达车站是等可能性的，令表示乘客在时间段内到达的时刻，则，所以的概率密度函数为
每位乘客等待乘车的时间超过4分钟”
所以，
令表示10位乘客中等待时间超过4分钟的人数，则，
所以，所求概率为。
【例2.24】设连续型随机变量的分布密度为

求其分布函数。
【解】
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
故分布函数。
【例2.25】设随机变量X的密度函数为 试求X的分布函数.
【解】 由于密度函数在上分为四段(如图2.2)，所以其分布函数也要分四段设立，具体如下：
当时，；
当时，
当时，；
当时，.
综上所述，X的分布函数为
.
【例2.26】学生完成一道作业的时间X是一个随机变量,单位为小时,它的密度函数为

(1) 确定常数c;
(2) 写出X的分布函数;
(3) 试求在20min内完成一道作业的概率；
(4) 试求10min以上完成一道作业的概率。
【解】(1)因为

由此解得c=21.
(2)当x<0时,;
当时，；
当x>0.5时，。
所以X的分布函数为

(3)所求概率为 。
(4)所求概率为 。

【例2.27】设连续随机变量 X的密度函数关于c点是对称的，证明：其分布函数有 。
【证明】有关于 c点对称的，知
，。
由 ，
对上式右端积分作变量变换，则
,
再对上式右端积分作变量变换，则
。
c-x
O
p(x)
F(x)
图2.5
c
c+x
x
x
O
c-x
c
c+x
F(c-x)
1
F(c+x)
F(c)
结论得证。
【例2.28】设与都是分布函数，又是两个正常数，且。证明：也是一个分布函数。
【证明】为此要验证具有分布函数的三个基本性质。
(1)单调性，因为都是分布函数，故当时，有
，，
于是
(2)有界性. 对任意的x，有0，且

(3)右连续性.
讨论:若取又令

F(x)
1
0.5
O
1
x
图2.6
由此可得与的凸组合的分布函数为(如图2.6)

显然,F(x)不是连续函数,故F(x)对应的随机变量不是连续随机变量.又因为不是阶梯函数,故对应的随机变量不是离散随机变量.用上述凸组合方法可以构造很多非离散又非连续的随机变量及分布函数.

题型精选
一、选择题．
(1) 在下述函数中, 可以作为某个随机变量的分布函数的是 ( )
(A) ; (B) ;
(C) (D) , 其中.
（2）
（3）
（4）X, Y相互独立, 且都服从区间[0, 1]上的均匀分布, 则服从区间或区域上的均匀分布的随机变量是( )
(A) (X, Y) (B) X + Y (C) X2 (D) X－Y

(5) 若X服从[0, 1]上的均匀分布, Y = 2X + 1, 则 ( )
(A) Y也服从区间[0, 1]上的均匀分布; (B) Y服从区间[1, 3]上的均匀分布;
(C) P{0 £ Y £ 1} = 1; (D) P{0 £ X £ 1} = 0.

(6) 已知随机变量X服从二项分布, 且E (X) = 2.4, D (X) = 1.44, 则二项分布的参数为 ( )
(A) n = 4, p = 0.6; (B) n = 6, p = 0.4; (C) n = 8, p = 0.3; (D) n = 24, p = 0.1.
（7）设X的密度函数为, 而 则Y = 2X的概率密度是( )
(A) (B) (C) (D)

（8）设随机变量X服从指数分布, 则Y = min{X, 2}的分布函数是( )
(A) 是连续函数 (B) 至少有两个间断点 (C) 是阶梯函数 (D) 恰好有一个间断点

二、填空题．
1. 填空题
(1) 设随机变量X的概率密度为 (-¥ < x < +¥), 则A = , P{0 < X < 1}= , 分布函数F(x) = .
(2) 设在一次试验中, 事件A发生的概率为p. 现进行n次独立实验, 则事件A至少发生一次的概率为 , 而事件A至多发生一次的概率为 .
(3) 设一次试验成功的概率为p, 进行100次独立重复试验, 当p = 时, 成功次数的标准差的值最大, 其最大值为 .
(4) 设随机变量X的概率密度为 以Y表示对X的三次独立重复观察中事件出现的次数, 则P{Y = 2} = .
(5) 设随机变量X服从均值为10, 标准差为0.02的正态分布, 已知, F(2.5) = 0.9938, 则X落在区间(9.95, 10.05)内的概率为 .
（6）、设随机变量的分布函数为，则 ， 。

三、计算题
1. 某射手有5发子弹, 射击一次的命中率为0.9, 如果他命中目标就停止射击, 不命中就一直到用完5发子弹, 求所用子弹数X的分布密度.
2. 设一批产品中有10件正品, 3件次品, 现一件一件地随机取出, 分别求出在下列各情形中直到取得正品为止所需次数X的分布密度.
① 每次取出的产品不放回; ② 每次取出的产品经检验后放回, 再抽取; ③ 每次取出一件产品后总以一件正品放回, 再抽取.
3. 一实习生用一台机器接连生产了三个同种零件，第个零件是不合格品的概率，以表示三个零件中合格品的个数，求的分布列。

4. 随机变量X的密度为 , 求: i. 常数c; ii. X落在内的概率.
5. 设电子元件的寿命X具有密度为

问在150小时内,① 三只元件中没有一只损坏的概率是多少?② 三只电子元件全损坏的概率是多少? ③只有一个电子元件损坏的概率是多少?
6. 对圆片直径进行测量, 其值在[5, 6]上服从均匀分布, 求圆片面积的概率分布.

7. 设随机变量X的概率密度为 试求:
(1) Y = 2X + 3; (2) ; (3) Y = lnX的概率密度.
8. 设随机变量的分布函数为
，，
求：（1）系数与；（2）；（3）的概率密度。

答案
一、（1）B；（2）C；（3）D；（4）A；（5）B；（6）B；（7）B；（8）D；

二、
1. ; ;
2. ; .
3. ; 5
4.
5. 0.9876
6.
三、
1. 假设X表示所用子弹数. X = 1, 2, 3, 4, 5.

分布律为

X
1 2 3 4 5
p
0.9 0.09 0.009 0.0009 0.0001

2. 假设Ai表示第i次取出正品(i = 1, 2, 3, …)
①每次取出的产品不放回
X
1 2 3 4
p

② 每次抽取后将原产品放回

X
1 2 … k …
p
…

, (k = 1, 2, …)

③ 每次抽取后总以一个正品放回
X
1 2 3 4
p

3. 的分布列为
.

4.

5. X的密度 .
① P(150小时内三只元件没有一只损坏) =
② P(150小时内三只元件全部损坏) =
③ P(150小时内三只元件只有一只损坏) =
6. 直径D的分布密度为

密度
7. (1)
(2)
(3) (-¥ < y < +¥).
8. （1）的分布函数为
，
（2）；
（3）的概率密度为
， .

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