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复变函数试题(六)答案
一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1.z=2-2i，|z2|=（ = |z|2 ）
A.2 B.
C.4 D.8
2.复数方程z=cost+isint的曲线是（ ）
A.直线 B.圆周
C.椭圆 D.双曲线
3.Re(e2x+iy)=（ ）
A.e2x B.ey
C.e2xcosy D.e2xsiny
4.下列集合为有界单连通区域的是（ ）
A.0
2、<|z-3|<2 B.Rez>3
C.|z+a|<1 D.
5.设f(z)=x3-3xy2+(ax2y-y3)i在Z平面上解析，则a=（ ux=vy ）
A.-3 B.1
C.2 D.3
6.若f(z)=u(x，y)+iv(x，y)在Z平面上解析，v(x,y)=ex(ycosy+xsiny)，则u(x，y)=（ ）
A.ex(ycosy-xsiny) B.ex(xcosy-xsiny)
C.ex(ycosy-ysiny) D.ex(xcosy-ysiny)
7.=（ ）
A.0 B.2π
C.πi D.2πi
8.=（ ）
A.0
3、B.2πisin1
C.2πsin1 D.
9.=（ ）
A.sin9 B.cos9
C.cos9 D.sin9
10.若f(z)=tgz，则Res[f(z)， ]=（ 一级极点 ）
A.-2π B.-π
C.-1 D.0
11.f(z)=在z=1处泰勒展开式的收敛半径是（ ）
A.0 B.1
C.2 D.3
12.z=0为函数cos的（ ）
A.本性奇点 B.极点
C.可去奇点 D.解析点
13.f(z)=在0<|z-2|<1内的罗朗展开式是（= D）
[排除法可去掉AB]
A. B.
C. D.
14.线性变换ω=
4、 ）
A.将上半平面Imz>0映射为上半平面Imω>0
B.将上半平面Imz>0映射为单位圆|ω|<1
C.将单位圆|z|<1映射为上半平面Imω>0
D.将单位圆|z|<1映射为单位圆|ω|<1
15.函数f(t)=t的傅氏变换J [f(t)]为
（）
A.δ(ω) B.2πiδ(ω)
C.2πi(ω) D.(ω)
二、填空题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
16.若z1=e1+iπ,z2=3+i，则
z1·z2=.
17.若cosz=0，则z=________.
18.设f′(z)=___
5、
19.幂级数的收敛半径是_____e___.
20.线性映射ω=是关于_____x轴___的对称变换.
三、计算题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
21.计算复数z=的值.
22.已知调和函数v=arctg,x>0，求f′(z)，并将它表示成z的函数形式.
23.设f(z)=x2+axy+by2+i(-x2+2xy+y2)为解析函数，试确定a，b的值.
24.求积分I=值，其中C：|z|=4为正向.
25.求积分I=值，其中
6、C：|z|=2为正向.
26.利用留数计算积分I=，其中C为正向圆周|z|=1.
27.将函数f(z)=ln(3+z)展开为z的泰勒级数.
28.将函数f(z)=在圆环域0<|z|<2内展开为罗朗级数.
四、综合题(下列3个小题中，第29小题必做，第30、31小题中只选做一题。每小题10分，共20分)
29．（1）求f(z)=在上半平面的所有孤立奇点；z=i(一级极点)
（2）求f(z)在以上各孤立奇点的留数；
（3）利用以上结果计算积分I=.
【注：实函的积分结果一定是实数，不会是虚数】
30.设D是Z平面上的带
7、形区域：10；
（4）综合以上三步，求把D映射成D3的保角映射ω=f(z).
31.(1)求et的拉氏变换L [e t];
(2)设F（p）=L [y(t)]，其中函数y(t)二阶可导，L [y′(t)]、L [y″(t)]存在，且y(0)=0，
y′(0)=0，求L [y′(t)]、L [y″(t)];
(3)利用拉氏变换求解常微分方程初值问题：
解：原方程两边取拉氏变换后，得
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