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第一章 随机事件与概率

一、填空题
1. 已知随机事件A的概率，事件B的概率，条件概率，则。
2. 设A，B为随机事件，已知，，，则。
3. 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为和，现目标被击中，则它是甲命中的概率为。
4. 某射手在3次射击中至少命中一次的概率为，则该射手在一次射击中命中的概率为。
5. 设随机事件A 在每次试验中出现的概率为,则在3次独立试验中A至少发生一次的概率为.
6. 袋中有黑白两种球,已知从袋中任取一个球是黑球的概率为,现从袋中不放回地依次取球,则第k次取得白球的概率为。
7. 三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率是。
8. 电路由元件A与两个并联的元件B，C串联而成，若A，B，C损坏与否相互独立，且它们损坏的概率依次为，则电路断路的概率是。
9. 甲乙两个投篮，命中率分别为，每人投3次，则甲比乙进球数多的概率是。
10. 3人独立破译一密码，他们能独立译出的概率分别是，则此密码被译出的概率是。
二、选择题
1. 对于任意两个事件A，B，有为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
2. 设A，B为两个互斥事件，且，则下列正确的是（ ）
（A） B）
（C） （D）
3. 其人独立地投了3次篮球，每次投中的概率为，则其最可能失败（没投中）的次数为（ ）
（A）2 （B）2或3
（C）3 （D）1
4. 袋中有5个球（3个新，2个旧），每次取一个，无放回地抽取两次，则第二次取到新球的概率是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
5. n张奖券中含有m张有奖的，k个人购买，每人一张，其中至少有一个人中奖的概率是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
三、计算题
(随机事件、随机事件的关系与运祘)
1. 指出下面式子中事件之间的关系：
⑴ ； ⑵ ； ⑶。

2. 一个盒子中有白球、黑球若干个，从盒中有放回地任取三个球.设表示事件“第次取到白球”
，试用的运算表示下列各事件.
⑴ 第一次、第二次都取到白球； ⑵ 第一次、第二次中最多有一次取到白球；
⑶ 三次中只取到二次白球; ⑷ 三次中最多有二次取到白球;
⑸ 三次中至少有一次取到白球.

3. 掷两颗骰子，设、分别表示第一个骰子和第二骰子出现点数i朝上的事件，试用、表示下列事件.⑴ 出现点数之和为4; （2） 出现点数之和大于10.

4. 对若干家庭的投资情况作调查，记仅投资股票,仅投资基金,仅投资债券，试述下列事件的含义.
⑴ ; ⑵ ; ⑶ ; ⑷ ; ⑸ .

5. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间及随机事件.
⑴ 掷一颗骰子，点数为偶数的面朝上;
⑵ 掷二颗骰子，两个朝上面的点数之差为2;
⑶ 把三本分别标有数字1，2，3的书从左到右排列，标有数字1的书恰好在最左边;
⑷ 记录一小时内医院挂号人数，事件{一小时内挂号人数不超50人};
⑸ 一副扑克牌的4种花式共52张，随机取4张，取到的4张是同号的且是3的倍数.

6. 对某小区居民订阅 报纸情况作统计，记分别表示订阅的三种报纸，试叙述下列事件的含义.
⑴ 同时订阅两种报纸; ⑵ 只订阅两种报纸; ⑶ 至少订两种报纸;
⑷ 一份报纸都不订阅; ⑸ 订报同时也订报或报中的一种; ⑹ 订报不订报.

7．某座桥的载重量是1000公斤（含1000公斤），有四辆分别重为600公斤，200公斤，400公斤和500公斤的卡车要过桥，问怎样过法即省时间而桥又不会损坏。

(古典概型及其概率)
8. 设袋中有5个白球，3个黑球，从袋中随机摸取4个球，分别求出下列事件的概率：
（1）采用有放回的方式摸球，则四球中至少有1个白球的概率；
（2）采用无放回的方式摸球，则四球中有1个白球的概率。

9. 设有3个人和4间房，每个人都等可能地分配到4间房的任一间房内，求下列事件的概率：（1）指定的3间房内各有一人的概率；（2）恰有3间房内各有一人的概率；（3）指定的一间房内恰有2人的概率。

10. 一幢12层的大楼，有6位乘客从底层进入电梯，电梯可停于2层至12层的任一层，若每位乘客在任一层离开电梯的可能性相同，求下列事件的概率：（1）某指定的一层有2位乘客离开；（2）至少有2位乘客在同一层离开。

11. 将8本书任意放到书架上，求其中3本数学书恰排在一起的概率。

12. 某人买了大小相同的新鲜鸭蛋，其中有a只青壳的，b只白壳的，他准备将青壳蛋加工成咸蛋，故将鸭蛋一只只从箱中摸出进行分类，求第k次摸出的是青壳蛋的概率。

13. 某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶，黑漆4桶，红漆3桶，在搬运中所有标签脱落，交货人随意将这些油漆发给顾客。问一个订货为4桶白漆、3桶黑漆，2桶红漆的顾客，能按所定颜色如数得到订货的概率是多少？

14. 将12名新技工随机地平均分配到三个车间去，其中3名女技工，求：
（1）每个车间各分配到一名女技工的概率；（2）3名女技工分配到同一车间的概率。

15． 从6双不同的手套中任取4只，求其中恰有两只配对的概率。

16．从0，1，2，......，9十个数中随机地有放回的接连取三个数字，并按其出现的先后排成一列，
求下列事件的概率：（1）三个数字排成一奇数；（2）三个数字中0至多出现一次；
（3) 三个数字中8至少出现一次；（4）三个数字之和等于6。

（利用事件的关系求随机事件的概率）
17. 在1~1000的整数中随机地取一个数，问取到的整数既不能被4整除，又不能被6整除的概率是多少？

18. 甲、乙两人先后从52张牌中各抽取13张，
（1） 若甲抽后将牌放回乙再抽，问甲或乙拿到四张A的概率；
（2） 若甲抽后不放回乙再抽，问甲或乙拿到四张A的概率。

19. 在某城市中发行三种报纸A,B,C，经调查，订阅A报的有45%，订阅B报的有35%，订阅C报的有30%， 同时订阅A及B的有10%，同时订阅A及C的有8%，同时订阅B及C的有5%，同时订阅A,B,C的有3%。试求下列事件的概率：
（1） 只订A报的；（2）只订A及B报的；（3）恰好订两种报纸。

20．某人外出旅游两天，据预报，第一天下雨的概率为0.6，第二天下雨的概率为0.3，两天都下雨的概率为0.1，试求：
（1） 至少有一天下雨的概率；（2）两天都不下雨的概率；（3）至少有一天不下雨的概率。

21．设一个工人看管三台机床，在1小时内三台机床需要工人照管的概率的依次是0.8,0.7,0.6,试求：（1）
至少有一台机床不需要人照管的概率；（2）至多只有一台机床需要人照管的概率。

（条件概率与乘法原理）
22．某种动物活15年的概率为0.8，活25年的概率为0.3，求现年15岁的这种动物活到25岁的概率。

23．设口袋有5只白球，4只黑球，一次取出3只球，如果已知取出的球都是同一种颜色，试计算该颜色是黑色的概率。

24．10件产品中有3件是次品，从中任取2件。在已知其中一件是次品的条件下，求另一件也是次品的概率。

25．从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，并将其中的1张拿到验钞机上检验，结果发现是假钞，求抽出的2张都是假钞的概率。

26. 小王忘了朋友家电话号码的最后一位，他只能随意拨最后一个号，他连拨了三次，求第三次才拨通的概率。

27. 设袋中装有a只红球，b只白球，每次自袋中任取一只球，观察颜色后放回，并同时放入m只与所取出的那只同色的球，连续在袋中取球四次，试求第一、第二次取到红球且第三次取到白球，第四次取到红球的概率。

28. 一个游戏需要闯过三关才算通过，已知一个玩家第一关失败的概率是3/10，若第一关通过，第二关失败的概率是7/10，若前两关通过，第三关失败的概率为9/10，。试求该玩家通过游戏的概率。

29. 盒中有六个乒乓球，其中2个旧球，每次任取一个，连取两次（不放回），求至少有一次取到旧球的概率。

（全概率与贝叶斯公式）
30. 设有两台机床加工同样的零件，第一台机床出废品的概率是0.03，第二台机床出废品的概率是0.02，加工出来的零件混放在一起，并且已知第一台机床加工的零件比第二台机床多一倍。试求：
（1）求任意取出的一个零件是合格品的概率；
（2）如果任意取出一个零件经检验后发现是废品，问它是第一台机床还是第二台机床生产出来的可能性大？

31. 已知男子有5%是色盲患者，女子有0.25%是色盲患者，假设人群中男女比例1：1。试求：（1）人群中患色盲的概率是多少？
（2）今从人群中随机地挑选一人，恰好是色盲者，问此人是男性的概率是多少？

32．盒中有10只羽毛球，其中有6只新球。每次比赛时取出其中的2只，用后放回，求第二次比赛时取到的2只球都是新球的概率。

33．一种传染病在某市的发病率为4%。为查出这种传染病，医院采用一种新的检验法，它能使98%的患有此病的人被检出阳性，但也会有3%未患此病的人被检验出阳性。现某人被此法检出阳性，求此人确实患有这种传染病的概率。

34．某人下午5：00下班，他所累计的资料表明：
到家时间
5：35～
5：39
5：40～
5:44
545~
5:49
5:50~
5:54
迟于5:54
乘地铁到家概率
0．10
0．25
0．45
0．15
0．05
乘汽车到家概率
0．30
0．35
0．20
0．10
0．05
某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车，结果他是5：47到家的，试求他是乘地铁回家的概率。

35．在一个每题有4个备选答案的测验中，假设有一个选项是正确的，如果一个学生不知道问题的正确答案，他就作随机选择。知道正确答案的学生占参加测验者的90%，试求：
（1）学生回答正确的概率；
（2）假如某学生回答此问题正确，那么他是随机猜出的概率。

36．有朋自远方来，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是0.3，0.2，0.1，0.4，如果他乘火车、轮船、汽车来的话，迟到的概率分别是1/4，1/3，1/6，而乘飞机则不会迟到，试问：（1）他迟到的概率多大？
（2）结果他迟到了，试问他是乘火车来的概率是多少？

37．要验收100台微机，验收方案如下：自该批微机中随机地取出3台独立进行测试，三台中只要有一台在测试中被认为是次品，这批微机就会被拒绝接受，由于测试条件和水平，将次品微机误认为正品的概率为0.05，而将正品的微机误判为次品的概率为0.01。如果已知这100台微机中恰有4台次品，试问：（1）这批微机被接受的概率是多少?(2) 假如被接受，而3台微机中有1台次品微机的概率是多少？

（贝努利概型）
38. 五架飞机同时去轰炸一目标，每架飞机击中目标的概率为，求：五架飞机中至少有三架击中目标的概率.

39. 有一场短跑接力赛，某队有4名运动员参加，每人跑四分之一距离，每名运动员所用时间超过一分钟的概率为0.3,当四名中有一名运动员所用时间超过一分钟,则该队必输,求:
⑴ 该队中没有一个运动员所用时间超过一分钟的概率;
⑵ 最多二人超过一分钟的概率;
⑶ 该队输掉的概率.

40. 某人骑车回家需经过五个路口，每个路口都设有红绿灯，红灯亮的概率为，求：
⑴ 此人一路上遇到三次红灯的概率；
⑵ 一次也没有遇到红灯的概率.

41. 某台电视机能接收到十个频道的电视节目，每个频道独立地播放广告，每小时放广告的概率均为，问某一时刻打开电视机:
⑴ 十个频道都在放广告的概率；
⑵ 只有三个频道在放广告的概率；
⑶ 至少有一个频道在放广告的概率.

42．有五个儿童在玩跳绳比赛，每个儿童跳绳能超过100下的概率为0.6，问：
⑴ 五人中最多有二人超过100下的概率；
⑵ 至少一人超过100下的概率.

43．据统计某地区五月份中各天下雨的概率为，求：
⑴ 五月份中下雨的天数不超过五天的概率；
⑵ 五月份每天都下雨的概率.

44．三名运动员射击同一靶，射中靶的概率都为0.7，问：
⑴ 靶被射中的概率；
⑵ 最多二名运动员射中的概率.

45. 五家电视台同时接受由卫星转播的一套节目，但受天气影响，五家电视台各自能收到节目的概率都为0.6，问，至少有三家电视台能收到节目的概率.

46. 某幢大楼有20户居民，每户订日报的概率为0.2，问邮递员每天至少要给这幢大楼送10份日报的概率.

47. 20个鞭炮受了潮，每个能放响的概率为0.3，问：
⑴ 只有5个鞭炮能放响的概率；
⑵ 最多有10个能放响的概率.

（利用事件的独立性求概率）
48. 三家电视台独立地播放广告节目，在一小时内各电视台播放广告的概率分别为0.1, 0.15, 0.2.
⑴ 求一小时内三家电视台同时播放广告的概率；
⑵ 求一小时内没有一家电视台在播放广告的概率；
⑶ 至少有一家电视台在播放广告的概率.

49. 一个系统由三个电器并联组成，三个电器会损坏的概率分别为0.3, 0.4, 0.5.
⑴ 求系统不能正常工作的概率；
⑵ 求系统能正常工作的概率.

50. 有两组射击手各5人，每组射击手射击时射中目标的概率分别为：
⑴ 0.4, 0.6, 0.7, 0.5, 0.5;
⑵ 0.8, 0.4, 0.3, 0.6, 0.5.
两组进行射击比赛，哪组击中目标的概率大.

51. 一个会议室装有若干组独立的照明系统，每组照明系统由一个开关和一个灯组成，开关、灯损坏的概率分别0.6、0.5. 当开关、灯都正常工作时，这组系统才能正常工作，问会议室里至少需有多少组系统，才能以95%的把握使室内有灯照明.

52. 五架飞机同时去轰炸一目标，每架飞机投中目标的概率为0.6.
求⑴ 5架飞机都投中目标的概率；
⑵ 只有一架投中目标的概率；
⑶ 要以90%以上的概率将目标击中，至少应有几架飞机去轰炸.

53. 某班级4名学生去参加数学竞赛，他们能得满分的概率分别为0.8, 0.6, 0.7, 0.9，求：
⑴ 只有一张卷子得满分的概率；
⑵ 没有一人得满分的概率.

54. 某人回家需打开大门、过道门和房门三道门，这三道门的钥匙各不相同并放在一起，此人每到一道门便随机地取一把钥匙开门，然后放回，问此人取了三次钥匙开门锁即能进屋的概率.

55. 有三个人从公司回家分别乘公交车、地铁和出租车，三种方式所花的时间超过半小时的概率分别为0.8, 0.6, 0.5.
⑴ 三人中至少有一人回家时间超过半小时的概率;
⑵ 至少有二人回家时间超过半小时的概率.

56. 某台电视机能接收到三个频道节目，这三个频道独立地播放广告，每小时播放广告的概率分别为，问：
⑴ 打开电视机三个频道都在放广告的概率；
⑵ 最多有二个频道在播广告的概率.

57. 5名运动员各划一条船进行划船比赛，若在规定时间内到达对岸的，可以得到一面锦旗，5名运动员在规定时间内能到达对岸的概率分别为0.8, 0.9, 0.7, 0.5, 0.6, 求:
⑴ 至少一人拿到锦旗的概率；
⑵ 恰有一人拿到锦旗的概率.

（四）证明题
1. 设A，B为两个随机事件，且有，证明：。
2. 设A，B为两个随机事件，，证明：A与B相互独立。

参考答案
一、 填空题：
(1) 0.7：(2) 0.1；(3)；(4) 0.5；(5) ；(6)；(7)0.496；(8)0.314；9) 0.436；(10)二、选择题：(1)C; (2) B; (3) A; (4) A; (5) B.
三、计算题：
（随机事件、随机事件的关系与运算）
1.解：⑴事件B包含事件A，.
⑵事件B与事件的交包含事件A，.
⑶事件包含事件，.

2. 解：⑴ 。 ⑵. ⑶.
⑷. ⑸.

3. 解：⑴. ⑵.

4. 解：⑴被调查到的家庭同时投资了股票和基金，没投资债券.
⑵被调查到的家庭，至少投资了一项.
⑶被调查到的家庭，至少一项没投资.
⑷被调查到的家庭，凡投资债券的同时都投资了股票和基金.
⑸被调查到的家庭，或同时投资了股票和基金，但没投资债券，或仅投资债券.

5. 解：⑴ .
⑵共36个样本点,
.
⑶, .
⑷记为一小时内挂号的人数，，.
⑸记分别表示4种花式的第张()，
.
.

6. 解：⑴. ⑵. ⑶.
⑷. ⑸）. ⑹.

7. 解：记600公斤的卡车过桥，200公斤的卡车过桥，
400公斤的卡车过桥，500公斤的卡车过桥，
卡车过桥速度快且桥不会损坏.
.

（古典概型及其概率）
8. 解：（1）
（2）
9．解：
10．解 1）
（2）
11．解：
12．解：
13．解：
14．解：；
15．解：（分子：先从6双中取一双，两只都取来；再从剩下的5双中任取两双，再从每双中任取1只）
16．解：；
（考虑它的对立事件{三个数字未出现8}）

（穷举法，仅适合分子较容易穷举的题目。本题第一个数字取6、5、4、3、2、1、0的基本事件分别是1、2、3、4、5、6、7）

（利用事件的关系求随机事件的概率）
17. 解：设={能被4整除}，={能被6整除}
依题意
这里

18. 解：设={甲拿到4A}，={乙拿到4A}
1） 依题意相互独立，
2） 依题意互不相容，。
19. 解：设={订阅A报}，={订阅B报}，={订阅C报}
依题意

（提示：画出文式图，会帮助求出概率）
20．解：设={第i天下雨},i=1,2
依题意

。
21．解：设={第i台机床需要人照顾},i=1,2,3
依题意，且三个（,i=1,2,3）三个相互独立。

（条件概率与乘法原理）
22．解：设={活了25岁}，={活了15岁}
依题意。
23．解：设={黑色}，={同一种颜色}，且
依题意；。
24．解：设={2件都是次品}，={2件中至少有1件次品}，
依题意；。
25．解：设={2张都是假钞}，={至少有一张假钞}，
依题意，且
。
26. 解：设={第i次拨通},i=1,2,3
依题意,由乘法原理知。
27. 解：设={第i次取到红球},i=1,2,3,4
依题意，由乘法原理知
28. 解：设={第i次关通过},i=1,2,3
依题意，由乘法原理知
29. 解：设={第i次取到旧球},i=1,2
依题意
这里
所以。
（全概率与贝叶斯公式）
30. 解：设={第i台机器生产},i=1,2，={产品为次品}
依题意
由全概公式
由贝叶斯公式，
所以第一台机器生产的可能性大。
31.解：设={女性}，={男性}，={色盲}
依题意
由全概公式
由贝叶斯公式
32．解：设={第一次取出i只新球},i=0,1,2，={第二次取出新球}
依题意

由全概公式。
33．解：设={患有传染病}，={没有患传染病}，={被检出阳性}
依题意
由贝叶斯公式。

34．解：设={乘地铁}，={乘汽车}，={到家时间为5：45~5：49}
依题意
由贝叶斯公式。
35．解：设={知道正确答案}，={不知道正确答案}，={回答正确}
依题意
由全概公式
由贝叶斯公式。
36．解：设={乘火车}，={乘轮船}，={乘汽车}，={乘飞机}，={迟到}，依题意

由全概公式
由贝叶斯公式。
37．解：设={三台微机中的次品数为i},i=0,1,2,3，={微机被接受};
依题意

由全概公式
。
38.解：.
.
=0.68.
39．解：⑴ =0.24.
⑵ =0.92.
⑶ =0.76.
40．解：⑴ .
⑵ .
41．解：⑴ . ⑵ . ⑶ .
42．解：⑴ =0.32
⑵ =0.99
43．解：⑴

.
⑵ .
44．解：⑴ =0.97.
⑵ =0.66.
45. 解：=0.68.
46. 解：.
47．解： ⑴ .
（利用事件的独立性求概率）
48. 解：记第家电视台在播放广告，为待求概率的事件.
⑴ ，事件独立.
.
⑵ ，事件,,独立，
.
⑶ ，.
49. 解：记第个电器损坏 ，为所求概率的事件.
⑴ ，由题意,事件独立.
.
⑵ , =0.94
50. 解：设目标被击中，第一组第个射击手射中目标，
第二组第个射击手中目标 (=1,2,3,4,5)，
则：，是独立的，
.
同理：.
所以第二组击中目标的概率大.
51. 解：设需n组系统，室内有灯照明，第组系统正常，
则： ，
=

.
52. 解：⑴ 记第架飞机投中目标()，
，独立()；
（1）.
（2），.
（3）设应有n架飞机去轰炸，

， .
53．解：记第名得满分(), 记A为所求事件.
⑴
=0.04.
⑵ .
54. 解：记第道门被打开()，独立，
此人进屋，，，()，
.
55．解：记D为所求事件.
乘公交车回家时间超过半小时，
乘地铁回家时间超过半小时，
乘出租车回家时间超过半小时，
⑴=0.96.
⑵ ,
=0.7.
56. 解：记={三个频道都在放广告}为所求事件，则
⑴ 记第个频道在播广告 ，
.
⑵ .

57. 解：记第个运动员能拿到锦旗 ，所求事件.
⑴ .
⑵ ，
.

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