泛函分析总结.doc

泛函分析知识点小结及应用
§1 度量空间的进一步例子
设是任一非空集合，若对于，都有唯一确定的实数与之对应，且满足
1．非负性：，=0;
2. 对称性：d(x,y)=d(y,x);
3．三角不等式：对，都有+， 则称(，)为度量空间，中的元素称为点。
欧氏空间 对中任意两点和，规定距离为 =.
空间 表示闭区间上实值(或复值)连续函数的全体.对中任意两点，定义=.
（空间 记=.
设，，定义 =.
例1 序列空间
令表示实数列(或复数列)的全体，对，，令
=.
例2 有界函数空间
设是一个给定的集合，令表示上有界实值(或复值)函数的全体. ，定义 =.
例3 可测函数空间
设为上实值(或复值)的可测函数的全体，为Lebesgue测度，若，对任意两个可测函数及，由于，故不等式左边为上可积函数. 令 =.
§2 度量空间中的极限
设是中点列，若，s.t.
()
则称是收敛点列，是点列的极限.
收敛点列的极限是唯一的. 若设既牧敛于又收敛，则因为 ，而有 =0. 所以=.
注 ()式换一个表达方式：=. 即当点列极限存在时，距离运算与极限运算可以换序. 更一般地有
距离是和的连续函数.
具体空间中点列收敛的具体意义：
1. 欧氏空间 =，，为中的点列，=， =. 对每个，有 .
2. 设，，则 = 在一致收敛于.
3. 序列空间 设=，，及=分别是中的点列及点，则 依坐标收敛于.
4. 可测函数空间 设，，则因=，有 .
§3 度量空间中的稠密集 可分空间
定义 设是度量空间，和是的两个子集，令表示的闭包，若，则称集在集中稠密，当=时，称为的一个稠密子集. 若有一个可数的稠密子集，则称是可分空间. 例1 维欧氏空间是可分空间. 事实上，坐标为有理数的点的全体是的可数稠密子集. 例2 离散距离空间可分 是可数集. 例3 是不可分空间.
§4 连续映射
定义 设=，=是两个度量空间，是到中的映射：= =. ，若0，0，s.t. 且，都有，则称在连续：
定理 1 设是度量空间到度量空间中的映射：， 则在连续 当时，必有.
定理2 度量空间到中的映照是上的连续映射 任意开集，是中的开集.
定理 度量空间到中的映照是上的连续映照 任意闭集，是中的闭集.
§5 柯西点列和完备度量空间
定义 1 设=(，)是度量空间，是中的点列. 若0,，s.t.当时，有，则称是中的柯西点列或基本点列. 若度量空间(，)中每个柯西点列都收敛，则称(，)是完备的度量空间.
在一般空间中，柯西点列不一定收敛，如点列1, 1.4, 1,41, 在中收敛于，在有理数集中不收敛.
但度量空间中每一个收敛点列都是柯西点列.
定理1 完备度量空间的子空间是完备度量空间 是中的闭子空间.
常见例子：(1)（收敛的实或复数列的全体）是完备度量空间
(2) 是完备的度量空间
(3) (实系数多项式全体) 是不完备的度量空间
§6 度量空间的完备化
定义 1 设()，(,)是两个度量空间，若存在到上的保距映射(,，有(,)=(,))，则称(,)和(,)等距同构，此时称为到上的等距同构映照。等距同构映照是1-1映射.
定理1 (度量空间的完备化定理) 设=(,)是度量空间，那么一定存在一完备度量空间=(,)，使与的其个稠密子空间等距同构，并且在等距同构意义下是唯一的，即若(,)也是一完备度量空间，且与的其个稠密子空间等距同构，则(,)与(,)等距同构.
§7压缩映照原理及其应用
定义 设是度量空间，是到中的压映照，若存在一个数：01，s.t. 、，成立
则称是到中的压缩映照(简称压缩映照).
定理1.(压缩映射定理) 设是完备度量空间，是上的压缩映照，则有且只有一个不动点(即方程有且只有一个解).
补充定义：若TX=X,则称X是T的不动点，即X是T的不动点X是方程TX=X的解。
定理2. 设函数在带状域，中处处连续，且处处有关于的偏导数，若存在常数和， 满足 ，0， 则方程 =0 在区间上必有唯一的连续函数作为解：0，.
§8赋范线性空间和Banach空间
线性空间+范数Þ线性赋范空间线性赋范空间+完备性Þ巴拿赫空间
定义1 设X是任一非空集合，若K是一个数域（R或C），如果X对某种规定的加法和数乘两种运算封闭，且"x,y,zÎX, l,ÎmK, 满足：
1) x+y=y+x （加法交换律）
2) (x+y)+z+x+(x+y) （加法结合律）
3) Îq$X, 使x+q=x （零元素存在性）
4) $x’ÎX,使x+x’=q （逆元存在性）
5) l(mx)=mlx=m(lx) （数乘结合律）
6) 1x=x, 0x=q
7) (l+m)x=lx+mx （元素对数的加法分配律）
8) l(x+y)=lx+ly （数对元素的加法分配律）
则称x+y为x与y的和，lx为数l与x的数乘 , 称X为线性空间或向量空间 (实或复)，X中的元素称为向量。
定义 (范数，赋范线性空间) 设为是实（或复）数域的线性空间，若对，存在一个实数于之对应，且满足下列条件：
(1) ; 且； （非负性）
(2) ，； （正齐（次）性）
(3) ，； （三角不等式）
则称为的范数(norm)，称（或：）为赋范线性空间
定义 完备的赋范线性空间称为巴拿赫（Banach）空间。
例子：，空间，维Euclidean空间，，
都是Banach空间。
度量空间与赋范线性空间 区别：度量空间是定义了度量的线性空间，也就是两个元素之间的“长度”，满足非负性、对称性、三角不等式。赋范线性空间就是定义了范数的线性空间，其满足范数公理（非负性，齐次性，三角不等式）
联系：都是在线性空间的前提下讨论的。赋范线性空间是一种特殊的度量空间
4