概率论与数理统计 答案 第七章.doc

第七章 参数估计

1．[一] 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm计）
74.001 74.005 74.003 74.001 74.000 73.998 74.006 74.002
求总体均值μ及方差σ2的矩估计，并求样本方差S2。
解：μ，σ2的矩估计是
。
2．[二]设X1，X1，…，Xn为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。
（1） 其中c>0为已知，θ>1，θ为未知参数。
（2） 其中θ>0，θ为未知参数。
（5）为未知参数。
解：（1），得
（2）
（5）E (X) = mp 令mp = ， 解得
3．[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。
解：（1）似然函数

（解唯一故为极大似然估计量）
（2）
。(解唯一)故为极大似然估计量。
（5），

解得 ，（解唯一）故为极大似然估计量。
4．[四(2)] 设X1，X1，…，Xn是来自参数为λ的泊松分布总体的一个样本，试求λ的极大似然估计量及矩估计量。
解：（1）矩估计 X ~ π (λ )，E (X )= λ，故=为矩估计量。
（2）极大似然估计，

为极大似然估计量。
（其中
5．[六] 一地质学家研究密歇根湖湖地区的岩石成分，随机地自该地区取100个样品，每个样品有10块石子，记录了每个样品中属石灰石的石子数。假设这100次观察相互独立，并由过去经验知，它们都服从参数为n=10，P的二项分布。P是该地区一块石子是石灰石的概率。求p的极大似然估计值，该地质学家所得的数据如下
样品中属石灰石的石子数
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
观察到石灰石的样品个数
0
1
6
7
23
26
21
12
3
1
0
解：λ的极大似然估计值为==0.499
[四(1)] 设总体X具有分布律
X
1
2
3
Pk
θ2
2θ(1－θ)
(1－θ) 2
其中θ(0<θ<1)为未知参数。已知取得了样本值x1=1，x2=2，x3=1，试求θ的矩估计值和最大似然估计值。
解：（1）求θ的矩估计值

则得到θ的矩估计值为
（2）求θ的最大似然估计值
似然函数

ln L(θ )=ln2+5lnθ+ln(1－θ)
求导
得到唯一解为
8．[九(1)] 设总体X ~N（μ，σ 2），X1，X1，…，Xn是来自X的一个样本。试确定常数c使的无偏估计。
解：由于

=
当。

[十] 设X1，X2， X3， X4是来自均值为θ的指数分布总体的样本，其中θ未知，设有估计量

（1）指出T1，T2， T3哪几个是θ的无偏估计量；
（2）在上述θ的无偏估计中指出哪一个较为有效。
解：（1）由于Xi服从均值为θ的指数分布，所以
E (Xi )= θ, D (Xi )= θ 2, i=1,2,3,4
由数学期望的性质2°，3°有

即T1，T2是θ的无偏估计量
（2）由方差的性质2°，3°并注意到X1，X2， X3， X4独立，知

D (T1)> D (T2)
所以T2较为有效。
14.[十四] 设某种清漆的9个样品，其干燥时间（以小时计）分别为6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0。设干燥时间总体服从正态分布N ~（μ，σ2），求μ的置信度为0.95的置信区间。（1）若由以往经验知σ=0.6（小时）（2）若σ为未知。
解：（1）μ的置信度为0.95的置信区间为（），
计算得
（2）μ的置信度为0.95的置信区间为（），计算得，查表t0.025(8)=2.3060.

16.[十六] 随机地取某种炮弹9发做试验，得炮弹口速度的样本标准差为s=11(m/s)。设炮口速度服从正态分布。求这种炮弹的炮口速度的标准差σ的置信度为0.95的置信区间。
解：σ的置信度为0.95的置信区间为

其中α=0.05, n=9
查表知
19.[十九] 研究两种固体燃料火箭推进器的燃烧率。设两者都服从正态分布，并且已知燃烧率的标准差均近似地为0.05cm/s，取样本容量为n1=n2=20.得燃烧率的样本均值分别为设两样本独立，求两燃烧率总体均值差μ1－μ2的置信度为0.99的置信区间。
解：μ1－μ2的置信度为0.99的置信区间为

其中α=0.01，z0.005=2.58, n1=n2=20,
20.[二十] 设两位化验员A，B独立地对某中聚合物含氯两用同样的方法各做10次测定，其测定值的样本方差依次为分别为A，B所测定的测定值总体的方差，设总体均为正态的。设两样本独立，求方差比的置信度为0.95的置信区间。
解：的置信度为0.95的置信区间

= (0.222, 3.601).
其中n1=n2=10，α=0.05，F0.025(9,9)=4.03, 。

第八章 假设检验

1.[一]某批矿砂的5个样品中的镍含量，经测定为（%）3.25 3.27 3.24 3.26 3.24。设测定值总体服从正态分布，问在α = 0.01下能否接受假设：这批矿砂的含镍量的均值为3.25.
解：设测定值总体X～N（μ，σ 2），μ，σ 2均未知
步骤：（1）提出假设检验H：μ=3.25; H1：μ≠3.25
（2）选取检验统计量为
（3）H的拒绝域为| t |≥
（4）n=5, α = 0.01，由计算知
查表t0.005(4)=4.6041,
（5）故在α = 0.01下，接受假设H0
2．[二] 如果一个矩形的宽度ω与长度l的比，这样的矩形称为黄金矩形。这种尺寸的矩形使人们看上去有良好的感觉。现代建筑构件（如窗架）、
工艺品（如图片镜框）、甚至司机的执照、商业的信用卡等常常都是采用黄金矩型。下面列出某工艺品工厂随机取的20个矩形的宽度与长度的比值。设这一工厂生产的矩形的宽度与长短的比值总体服从正态分布，其均值为μ，试检验假设（取α = 0.05）
H0：μ = 0.618 H1：μ≠0.618
0.693 0.749 0.654 0.670 0.662 0.672 0.615 0.606 0.690 0.628 0.668
0.611 0.606 0.609 0.601 0.553 0.570 0.844 0.576 0.933.
解：步骤：（1）H0：μ = 0.618； H1：μ≠0.618
（2）选取检验统计量为
（3）H0的拒绝域为| t |≥
（4）n=20 α = 0.05，计算知
，

（5）故在α = 0.05下，接受H0，认为这批矩形的宽度和长度的比值为0.618
3.[三] 要求一种元件使用寿命不得低于1000小时，今从一批这种元件中随机抽取25件，测得其寿命的平均值为950小时，已知这种元件寿命服从标准差为σ =100小时的正态分布。试在显著水平α = 0.05下确定这批元件是否合格？设总体均值为μ。即需检验假设H0：μ≥1000，H1：μ<1000。
解：步骤：（1）μ≥1000；H1：μ<1000；（σ =100已知）
（2）H0的拒绝域为
（3）n=25，α = 0.05，，
计算知
（4）故在α = 0.05下，拒绝H0，即认为这批元件不合格。
12.[十一] 一个小学校长在报纸上看到这样的报导：“这一城市的初中学生平均每周看8小时电视”。她认为她所领导的学校，学生看电视的时间明显小于该数字。为此她向100个学生作了调查，得知平均每周看电视的时间小时，样本标准差为s=2小时。问是否可以认为这位校长的看法是对的？取α = 0.05。（注：这是大样本检验问题。由中心极限定理和斯鲁茨基定理知道不管总体服从什么分布，只要方差存在，当n充分
大时近似地服从正态分布。）
解：（1）提出假设H0：μ≤8；H1：μ>8
（2）当n充分大时，近似地服从N（0，1）分布
（3）H0的拒绝域近似为≥zα
（4）n=100，α = 0.05，，S=2，由计算知

（5）故在α = 0.05下，拒绝H0，即认为校长的看法是不对的。
14.[十三] 某种导线，要求其电阻的标准差不得超过0.005(欧姆)。今在生产的一批导线中取样品9根，测得s=0.007(欧姆)，设总体为正态分布。问在水平α = 0.05能否认为这批导线的标准差显著地偏大？
解：（1）提出H0：σ ≤0.005；H1：σ >0.005
（2）H0的拒绝域为
（3）n=9，α = 0.05，S=0.007，由计算知

查表
（4）故在α = 0.05下，拒绝H0，认为这批导线的标准差显著地偏大。
15.[十四] 在题2中记总体的标准差为σ。试检验假设（取α = 0.05）
H0：σ 2 =0.112， H1：σ 2 ≠0.112。
解：步骤（1）H0：σ 2 =0.112； H1：σ 2 ≠0.112
（2）选取检验统计量为
（3）H0的拒绝域为
（4）n=20，α = 0.05，由计算知S 2=0.0925 2，
查表知
（5）故在α = 0.05，接受H0，认为总体的标准差σ为0.11.
16.[十五] 测定某种溶液中的水份，它的10个测定值给出s=0.037%，设测定值总体为正态分布，σ 2为总体方差。试在水平α = 0.05下检验假设H0：σ ≥0.04%；H1：σ <0.04%。
解：（1）H0：σ 2 ≥(0.04%)2；H1：σ 2 < (0.04%)2
（2）H0的拒绝域为
（3）n=10，α = 0.05，S=0.037%，查表知
由计算知
（4）故在α = 0.05下，接受H0认为σ大于0.04%
17.[十六] 在第6[五]题中分别记两个总体的方差为。试检验假设（取α = 0.05）H0：以说在第6[五]题中我们假设是合理的。
解：（1）H0：
（2）选取检验统计量为
（3）H0的拒绝域为
（4）n1=8，n2=10，α = 0.05，查表知F0.025(7,9)= 4.20

F0.975(7,9)选取检验统计量
（3）n1=n2=12，α = 0.05，查表知
F0.025(11,11)= 3.34，
由计算知
（4）故在α = 0.05下，接受H0，认为
24.[二十三] 检查了一本书的100页，记录各页中印刷错误的个数，其结果为
错误个数fi
0
1
2
3
4
5
6
≥7
含fi个错误的页数
36
40
19
2
0
2
1
0
问能否认为一页的印刷错误个数服从泊松分布（取α = 0.05）。
解：（1）H0：总体X~π(λ )；H1：X不服从泊松布；（λ未知）
（2）当H0成立时，λ的最大似然估计为
（3）H0的拒绝域为
（4）n=100

对于j>3，
将其合并得

合并后，K=4，Y=1
查表知
由计算知
（5）故在α = 0.05下，接受H0，认为一页的印刷错误个数服从泊松分布。