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第十三讲：直线及线性规划
1．直线的倾斜角的范围：[0，，x轴及平行于x轴的直线倾斜角是0而不是；y轴及平行于y轴的直线的倾斜角为而不是没有倾斜角（只是斜率不存在）；已知斜率（的范围）会求倾斜角（的范围），记住：当倾斜角α是锐角时，斜率k与α同增同减，当α是钝角时，k与α也同增同减。斜率的求法：①依据直线方程②依据倾斜角③依据两点的坐标④方向向量（以=（m,n）（m≠0）为方向向量的直线的斜率为）。关注斜率在求一类分式函数值域时的运用。
[举例1]已知两点A(－1，－5)，B(3，－2)，直线l的倾斜角是直线 倾斜角的一半，则直线l的斜率为： ．
解析：记直线l的倾斜角为，则直线AB的倾斜角为2，其斜率tan2=
tan=-3或tan=而由tan2=>0得2是锐角，则∈（0，），
A
O
x
y
∴tan=。
[举例2] 函数的值域为 。
解析：记P（cos,sin）,A(-3,1)
则y=kPA，P点的轨迹是圆心为原点
的单位圆，如右图：当直线PA与圆相切时，其斜率分别为0和，[来源:新课程教育www.newclasses.org]
∴y=kPA ∈[，0]。注：这里存在一个kPA在0与“之间”还是“之外”的问题，原则是其间是否有斜率不存在的情况，若有则在“之外”，若无则在“之间”。
[巩固1] 已知直线：则倾斜角的范围是： 。
[巩固2]实数x,y满足的取值范围为 （ ）
A． B． C． D．
[迁移] 点P是曲线上的动点，设点P处切线的倾斜角为，则的取值范围是A、 B、 C、 D、
2．“点斜式”是直线方程的最基本形式，是其它各种形式的源头，但它不能表示斜率不存在的直线；解决“直线过定点”的问题多用“点斜式”。“斜截式”最能体现直线的函数性质（一次函数，一次项系数是斜率），“斜截式”中所含的参数最少（2个，而其它各种形式中都是3个），所以用待定系数法求直线方程时多设为“斜截式”，它也不能表示斜率不存在的直线。
“截距式”最能反映直线与坐标轴的位置关系；注意：截距是坐标而不是距离；在两坐标轴上截距相等的直线斜率为-1或过原点；“截距式”不能表示斜率为0、斜率不存在以及过原点的直线。“两点式”完全可以由“点斜式”替代，“两点式”不能表示斜率为0和斜率不存在的直线，但它的变形（“积式”）：却能表示所有的直线。“一般式”能表示所有的直线，它是直线方程的“终极”形式。
[举例]已知直线：kx+y-k+2=0和两点A（3，0），B（0，1），下列命题正确的是 新课程教育www.newclasses.org[来源:新课程教育www.newclasses.org]
（填上所有正确命题的序号）。
①直线对任意实数k恒过点P（1，-2）；
②方程kx+y-k+2=0可以表示所有过点P（1，-2）的直线；
③当k=±1及k=2时直线在坐标轴上的截距相等；
④若，则直线与直线AB及直线都有公共点；
⑤使得直线与线段AB有公共点的k的范围是[-3，1]；
⑥使得直线与线段AB有公共点的k的范围是，-3]∪[1，。[来源:新课程教育www.newclasses.org]
解析：①直线：y +2= - k（x -1）恒过P（1，-2），②方程kx+y-k+2=0不能表示直线x=1，③当k= -1时直线在坐标轴上的截距相反；④若，则点M（x0,y0）在直线AB上（截距式），又点P（1，-2）在直线，而直线过点M，P（两点式），即与直线AB有公共点M，与直线有公共点P；⑤⑥直线与线段AB有公共点，不宜先解方程组再解不等式组（麻烦），数形结合易见，直线应在直线PA到PB之间，而其间有斜率不存在的位置，故命题⑥正确。新课程教育www.newclasses.org
[巩固]已知圆C：x2+(y-)2=1，则在坐标轴上的截距相等且与圆相切的直线有 条？[迁移] 对任意实数m，直线（m+2）x-(2m-1)y-(3m-4)=0和椭圆恒有公共点，则m的取值范围是 。新课程教育www.newclasses.org
3.“到角”的范围：（0，），“到角公式”就是两角差的正切公式，多用于解决与角平分线有关的问题；“夹角”的范围：（0，。两直线：A1x+B1y+C1=0,：A2x+B2y+C2=0平行、垂直的条件有“比”和“积”两种形式（重合只有“比式”），如：⊥A1A2+B1B2=0，若、不重合，则∥A1B2=A2B1；判断两直线位置关系时要特别注意斜率不存在及斜率为0的情形。
[举例1]直线：x=1到直线：2x+y+1=0的角是： （ ）
A．arctan2, B．arctan C．- arctan2 D． arctan(-)新课程教育www.newclasses.org
解析：记直线到的角为，直线的倾斜角为，作图可见=-，tan=-cot
=,故选B。
[举例2]①已知P（x0,y0）是直线：f(x,y)=0外一点，则直线f(x,y)+f（x0,y0）=0与直线的位置关系是 ； ②设a、b、c分别是⊿ABC中角A、B、C的对边，则直线:
与直线的位置关系是 。新课程教育www.newclasses.org
解析：①方程f(x,y)=0与f(x,y)+f（x0,y0）=0两变量的系数完全相同，而f（x0,y0）≠0，即常数项不同，故平行；②由正弦定理知：，故垂直。
[巩固]已知直线l1的方程为y=x，直线l2的方程为y=ax+b(a,b为实数)，当直线l1与l2夹角的范围为［0，时，a的取值范围是：
A.(,1)∪(1,) ，B.(0，1) ， C.(,) ， D.(1,)
[迁移]直线与直线互相垂直，则|的最小值是：A．1 B．2 C．4 D．5 （ ）
4．点到直线的距离公式在求三角形的面积、判断直线与圆的位置关系、求圆的弦长、解决与圆锥曲线的第二定义有关的问题等场合均有运用，推导两平行线间的距离公式也是它的一个运用。
[举例] 已知5x＋12y＝60，则的最小值是:
A. B. C. D. 1
解析：表示直线：5x＋12y＝60上的动点到原点的距离，其最小值即原点到直线的距离，选A。注：此题若代入消元、配方求最值则很麻烦。
[巩固]直线过点（1，0），且被两平行直线3x+y-6=0和 3x+y+3=0所截得的线段长为9，则直线的方程为 。
[迁移] 若动点P（x,y）满足|x+2y-3|=，则P点的轨迹是：
A．圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线
[提高]若a、b、c为实数，恒存在实数x,y,使得ay-bx=c≠0,则a、b、c满足: A.c2≥a2+b2 B.c2>a2+b2 C.c2线y=±x+b的对称点M’(±nb，±m+b)，即：将M点的坐标代入对称轴方程求得M/的坐标；但对称轴斜率不为±1时，只可根据中、垂建立方程组(即MM/与对称轴垂直且其中点在对称轴上)，解出对称点坐标。光线反射问题、角平分线问题、到两定点距离之和（差）的最值问题等都与对称有关。
[举例1]将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点A（0，2）与点B（4，0）重合，若此时点C（7，3）与点D（m，n）重合，则m+n的值是 。
解析：“折痕”是AB的中垂线：y=2x-3，C（7，3）、D（m，n）关于对称，则：
m+n=。
[举例2]在⊿ABC中，已知A（2，3），角B的平分线为Y轴，角C的平分线为：x+y=4,求BC边所在的直线方程
解析：由题意知直线BA、BC关于Y轴对称，即A关于Y轴的对称点A1(-2,3)在直线BC上；直线CA、CB关于对称，即A关于的对称点A2(1,2)在直线CB上；∴直线BC即直线A1A2：x+3y-7=0, 新课程教育www.newclasses.org
[巩固]已知点A在x轴上，点B在直线：y=x上，C（2，1），则⊿ABC的周长的最小值为 。
[迁移] 已知点A(1、1)，曲线C上的点(x、y)满足： ，一束光线从点A出发经y轴反射到曲线C上的最短路程是： （ ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A B C 8 D 10
6.不等式ax+by+c>0(a>0)所表示的区域为直线ax+by+c=0的右侧，不等式ax+by+c<0(a>0)所表示的区域为直线ax+by+c=0的左侧；a﹤0时情况相反。也可以说：不等式ax+by+c>0b>0)所表示的区域为直线ax+by+c=0的上方，不等式ax+by+c<0(b>0)所表示的区域为直线ax+by+c=0的下方；b﹤0时情况相反。目标函数z=mx+ny(m>0)在“可行域”D内的最值：令mx+ny=0, 在“可行域”D内平移直线mx+ny=0使之位于最左侧，此时z取得最小值; 位于最右侧，此时z取得最大值;m<0时情况相反。如果z=mx+ny(n>0), 也可以说：在“可行域”D内平移直线mx+ny=0使之位于最下方，此时z取得最小值; 位于最上方，此时z取得最大值;n<0时情况相反。若线性目标函数的最优解不止一个，则目标函数为0的直线与“可行域”的一个边界平行或重合。

[举例] 已知x,y满足约束条件：
2x-y≥0,x+y-2≥0,6x+3y≤18,
且z=ax+y(a>0)取得最小值的最优解
有无穷多个, 求a的值。
解析：要使目标函数取得最小值的最优解
有无穷多个，令ax+y=0并平移使之与过
点C（）（可行域中最左侧的点）的边界
重合即可，注意到a>0，只能和AC重合，∴a=1
[举例2]已知点P(3,-1)和Q(-1,2)，直线：ax+2y-1=0与线段PQ有公共点，则实数a的取值范围为：
A.1≤a≤3 B.a≤1或a≥3 C.a≤1 D.a≥3新课程教育www.newclasses.org
解析：本题可参照“3[举例]⑤⑥”的做法，确定直线的斜率的范围。现在用不等式所表示的区域解决：直线与线段PQ有公共点即点P、Q在直线的两侧或在直线上，记：
f (x,y)= ax+2y-1,则f(3,-1)f(-1,2) ≤0,解得：a≤1或a≥3，选B。“3[举例]⑤⑥”也可照此办理。
[巩固1] 已知x,y满足约束条件：2x-y≥0,x+y-2≥0,6x+3y≤18,且z=ax+y取得最大值的最优解恰为（,3），则a的取值范围是 。
[巩固2]点（-2，t）在直线2x-3y+6=0的上方，则t的取值范围是 。
[迁移] 双曲线x2-y21右支上一点P（a,b）到直线y=x的距离为，则a+b的值是( )
A. - B. C. -或 D.2或新课程教育www.newclasses.org
7．关注“线性规划”问题的各种“变式”：①“可行域”由不等式和方程共同确定（为线段或射线），②“约束条件”由二次方程的“区间根”间接提供，③“约束条件”非线性，④目标函数非线性，如：（斜率），（距离）等。
A
[举例] 实系数方程的一个根大于0且小于1，另一个根大于1且小于2，则的取值范围是 新课程教育www.newclasses.org
解析数形结合容易得到使实系数方程
的两根分别在(0，1)和(1，2)内当且仅当：
点P（，）的可行域如右，
记A（1，2），线段PA的斜率为，=∈,1]。
[巩固] 若x,y满足:x+y-3≥0,x-y+1=0,3x-y-5≤0,设y=kx,则k的取值范围是________
[提高] 已知不等式ax2+bx+a<0(ab>0)的解集是空集，则a2+b2-2b的取值范围是 。

简答
1．[巩固1]∪，[巩固2]A，[迁移]B；2、[巩固]3，[迁移]；3、[巩固]C， [迁移]B；4、[巩固]4x+3y-4=0或x=1；[迁移]将条件变形为：
，由圆锥曲线的统一定义知P点轨迹为双曲线；[提高] 将条件变形为：，问题转化为：直线和圆
的公共点，于是有： 即：c2≤a2+b2；
5、[巩固] ，[迁移]A；6、[巩固1] -2a2，[巩固2]t>，[迁移]B，
7、[巩固] [，2]，[提高] 不等式ax2+bx+a<0(ab>0)的解集是空集等价于：b2-4a2≤0且a>0，b>0 得（b+2a）（b-2a）≤0，且a>0，b>0即：b+2a与b-2a异号且a>0，b>0
不难画出点P（，）的可行域，记A（0，1），|PA|2= a2+（b-1）2, a2+b2-2b=|PA|2-1，
|PA|的最小值即A点到直线b-2a=0的距离为。故:a2+b2-2b∈[,