概率与数理统计习题选3.doc

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《概率论》计算与证明题
第三章 随机变量与分布函数

1、直线上有一质点，每经一个单位时间，它分别以概率或向右或向左移动一格，若该质点在时刻0从原点出发，而且每次移动是相互独立的，试用随机变量来描述这质点的运动（以表示时间n时质点的位置）。
2、设为贝努里试验中第一个游程（连续的成功或失败）的长，试求的概率分布。
3、c应取何值才能使下列函数成为概率分布：（1）（2） 。
4、证明函数是一个密度函数。
5、若的分布函数为N（10，4），求落在下列范围的概率：（1）（6，9）；（2）（7，12）；（3）（13，15）。
6、若的分布函数为N（5，4），求a使：（1）；（2）。
7、设，试证具有下列性质：（1）非降；（2）右连续；（3） 。
8、试证：若，则。
9、设随机变量取值于[0，1]，若只与长度有关（对一切），试证服从[0，1]均匀分布。
10、若存在上的实值函数及以及及，使
，
则称是一个单参数的指数族。证明（1）正态分布，已知，关于参数；（2）正态分布，已知，关于参数；（3）普阿松分布关于都是一个单参数的指数族。
但上的均匀分布，关于不是一个单参数的指数族。
11、试证为密度函数的充要条件为 。
12、若为分布密度，求为使成为密度函数，必须而且只需满足什么条件。
13、若的密度函数为 ，
试求：（1）常数A；（2）；（3）的边际分布；（4）；
（5）；（6）。
14、证明多项分布的边际分布仍是多项分布。
15、设二维随机变量的联合密度为

，试求与的边际分布。
16、若是对应于分布函数的密度函数，证明对于一切，下列函数是密度函数，且具有相同的边际密度函数：
。
17、设与是相互独立的随机变量，均服从几何分布。令，试求（1）的联合分布；（2）的分布；（3）关于的条件分布。
18、（1）若的联合密度函数为，问与是否相互独立？
（2）若的联合密度函数为，问与是否相互独立？
19、设的联合密度函数为
试证：两两独立，但不相互独立。
20、设具有联合密度函数，试证与不独立，但与是相互独立的。
21、若与是独立随变量，均服从普要松分布，参数为及，试直接证明
（1）具有普承松分布，参数为；
（2）。
22、若相互独立，且皆以概率取值+1及，令，试证两两独立但不相互独立。
23、若服从普阿松分布，参数为，试求（1）；（2）的分布。
24、设的密度函数为，求下列随机变量的分布函数：（1），这里；（2）；（3）。
25、对圆的直径作近似度量，设其值均匀分布于内，试求圆面积的分布密度。
26、若为相互独立的分别服从[0，1]均匀分布的随机变量，试求的分布密度函数。
27、设相互独立，分别服从，试求的密度函数。
28、若是独立随机变量，均服从，试求的联合密度函数。
29、若相互独立，且皆服从指数分布，参数分别为，试求的分布。
30、在线段上随机投掷两点，试求两点间距离的分布函数。
31、若气体分子的速度是随机向量，各分量相互独立，且均服从，试证斑点服从马克斯威尔分布。
32、设是两个独立随机变量，服从，服从自由度为的分布(3.14),令，试证t的密度函数为
这分布称为具有自由度n的分布在数理统计中十分重要。
33、设有联合密度函数，试求的密度函数。
34、若独立，且均服从，试证与是独立的。
35、求证，如果与独立，且分别服从分布和，则与也独立。
36、设独立随机变量均服从 ，问与是否独立？
37、若（）服从二元正态分布（2.22），试找出与相互独立的充要条件。
38、对二元正态密度函数，
（1）把它化为标准形式（2.22）；（2）指出；（3）求；（4）求。
39、设，试写出分布密度（2.12），并求出的边际密度函数。
40、设是相互独立相同分布的随机变量，其密度函数不等于0，且有二阶导数，试证若与相互独立，则随机变量均服从正态分布。
41、若是上单值实函数，对，记。试证逆映射 具有如下性质：
（1）;
（2）;
（3）.
42、设随机变量x的密度函数是（1）求常数C；（2）求a使得=.
43、一个袋中有张卡写有，现从袋中任取一张求所得号码数的期望。
44、设，在的条件密度分布是，求的条件下x的密度?
45、设与独立同服从上的均匀分布，求的分布函数与密度函数。
46、设的联合分布密度为，（1）.求常数A；（2）求给定时的条件密度函数。
47、在(0,4)中任取两数，求其积不超过4的概率。
48、若的分布列是（见下表）(1)求出常数A; (2)求出 时的条件分布列。
x Ч
-1
0
1
1
1/6
1/8
1/8
2
1/12
1/4
A
3
1/24
1/24
1/24

49、设独立的服从分布，令，求的联合密度函数及边际密度函数。
50、设随机变量x的密度函数为 ，(1).求常数a，使P{x>a} = P{xb} = 0.05。

51、地下铁道列车运行的间隔时间为2分钟，旅客在任意时刻进入月台，求候车时间的数学期望及均方差。
52、设二维随机变量的联合密度函数为：， (1)求的密度函数；(2)求; (3)
53、若二维随机变量的密度函数为：，1)求的密度函数；2)求；（3）
54、若，求 的密度函数。
55、将两封信随机地往编号为1,2,3,4的四个邮筒内投，以表示第个邮筒内信的数目，求： (1) 的联合分布列； 2)的条件下，的条件分布。
56、若，求的密度函数。
57、某射手在射击中,每次击中目标的概率为，射击进行到第二次击中目标为止，用表示第次击中目标时射击的次数，求和的联合分布和条件分布。
58、进行独立重复试验，设每次试验成功的概率为。将试验进行到出现次成功为止，以表示所需试验的次数。求的分布列。
59、已知某种类型的电子管的寿命（以小时计）服从指数分布，其概率密度为，
一台仪器中装有5只此类型电子管，任一只损坏时仪器便不能正常工作。求仪器正常工作1000小时以上的概率。
60、设连续随机变量的概率密度为，其中为已知常数。求：（1）常数A；（2）。
61、设离散随机变量的分布列为：

0
1
2

求：（1）的分布函数；
（2），，

62、从一批含有13只正品、2只次品的产品中，不放回地抽取3次，每次抽取1只，求抽得次品数的分布列及分布函数。

63、（1）设连续随机变量的概率概率为，求的概率密度。
（2）设服从指数分布。求的概率密度。]
64、对圆片直径进行测量，测量值服从均匀分布。求圆面积的概率密度。
65、设电压，其中是一个正常数，相角是一个随机变量，服从均匀分布，求电压V的概率密度。
66箱子里装有12件产品，其中2件是次品。每次从箱子里任取一件产品，共取2次。定义随机变量如下，。分别就下面两种情况求出二维随机向量的联合分布列和关于的边缘分布列：（1）放回抽样；（2）不放回抽样。
67、一个大袋子中，装有3个桔子，2个苹果，3个梨。今从袋中随机抽出4个水果。若为为桔子数，为苹果数，求的联合分布列。

68、把一枚硬币连掷3次，以表示在3次中出现正面的次数，表示在3次中出现正面的次数与出现反面的次数的绝对值，求的联合分布列。
69、设二维随机向量的概率密度为：。求（1）；（2）；（3）；（4）。

70、设随机向量的概率密度为：，求：（1）常数A；（2）落地圆域（）中的概率。

71、设二维连续随机向量的概率密度为：

求：（1）的分布函数；（2）关于及关于的边缘分布函数。
72、设二维连续随机向量的概率密度为：，求关于及关于的边缘概率密度。
73、设与相互独立，且服从均匀分布，服从正态分布。求的概率密度。
74、若的密度为(，则两两独立，但不相互独立。
75、若相互独立，且同服从指数分布，密度函数为：，证明：与相互独立。
76、证明： 为一概率密度函数。
77、设分别服从参数为、的普阿松分布，且相互独立，求证： 服从参数为的普阿松分布。
78、证明函数是一个密度函数。
79、设，试证具有下列性质：（1）非降；（2）右连续；（3） 。
80、试证：若，则。
81、设随机变量取值于[0，1]，若只与长度有关（对一切），试证服从[0，1]均匀分布。
82、定义二元函数。验证此函数对每个变元非降，左连续，且满足（2.6）及（2.7），但无法使（2.5）保持非负。
83、试证为密度函数的充要条件为 。
84、若是对应于分布函数的密度函数，证明对于一切，下列函数是密度函数，且具有相同的边际密度函数：
。
85、设的联合密度函数为
试证两两独立，但不相互独立。
86、若与是独立随变量，均服从普要松分布，参数为及，试直接证明
（1）具有普承松分布，参数为；
（2）。
87、若相互独立，且皆以概率取值+1及，令，试证两两独立但不相互独立。
88、若气体分子的速度是随机向量，各分量相互独立，且均服从，试证斑点服从马克斯威尔分布。
89、求证，如果与独立，且分别服从分布和，则与也独立。
90、证明：是一个随机变量，当且仅当对任何成立 。

第三章 解答
1、 解：令表在n次移动中向右移动的次数，则服从二项分布，

以表时刻时质点的位置，则 。
的分布列为 。
的分布列为 。

2、 解：，

所以的概率分布为 。

3、 解： （1）， 。
（2）， 。

4、 证：，且
是一个密度函数。

5、 解：（1）

（2）

（3）

6、 解：（1），而，令解得。
（2）由得，从而 =0.995，而所以。

7、 证：（1）设，所以，非降。
（2）设，由概率的可加性得
。
由此得 ，
右连续。
（3）。
由单调性得与均存在且有穷，由及上式得。

8、证： .
∴不等式成立。

9、证法一：定义则是的分布函数。由题设得，对任意有，即有。由此得。逐一类推可得，若，则，或者。从而对有理数，若与都属于[0,1]，则有。再由的左连续性可得，对任意无理数，若与都属于[0,1]，则
因为区间与[0,1]的长度相等，由题设得
.
由此及上段证明得，对任意有，即为

∴ 服从[0,1]上均匀分布。
证法二：如同证法一中定义的分布函数，由单调知它对[0,1]上的L－测试几乎处处可微。设，当时，由题设得

等式两端都除以，再令可得，由存在可推得也存在，而且。从而对任意有。当时显然有。一点的长度为0，由题设得。由上所述可知是连续型随机变量，是其密度函数，从而定出。至此得证服从[0,1]均匀分布。
10、证：（1）

若令， ，则有

这就证明了正态分布是单参数的指数族。
（2）

若令，则

所以正态分布是单参数的指数族。
3）。
若令，则，所以是单参数的指数族。
（4）关于上的均匀分布，其密度函数为
是定义在的函数，由于它是的分段表示的函数，所以无法写成形式 ，故关于不是一个单参数的指数族。

11、证：必要性：

令，得。设

要积分收敛，必须，由此得应有以及。利用可得

∴
从而题中所列条件全部满足。以上诸步可逆推，充分性显然。

12、解：设是密度函数，则由得。又
，
所以应有。
反之，若，可积且，显然有且，即是密度函数。
所以为使是密度函数，必须而且只需满足且。

13、解：（1）
（2）。
（3）的边际分布，当时，当时有
.
（4）

.
（5）当时；当时有
.
（6）,
利用（2）的结果可得
.

14、证：设多项分布为
， （1）
。 （2）
利用（2）可以把（1）改写成

（3）
由边际分布的定义并把（3）代入得

由二项式定理得

（4）
把（4）与（3）比较知，边际分布仍服从多项分布。多次类推可得

从而知任意边际分布均服从多项分布（包括二项分布）。

15、解：（1）的密度函数为，当时；当时，注意积分取胜有选取，得

.

（2）的密度函数为，当时；当时，

令，当时，当时，所以

其中用到函数与函数的关系式。

16、证：我们有
,
,
代入的表达式得 (1)
又有

(2)
由（1），（2）知是密度函数。用与上面类似的方法计算可得边际密度函数为
,   
.

17、解：
（1）为求的联合概率分布，分别考虑下列三种情况：其中利用到独立性。
（a）

；
(b)
；
(c)

(2)因为，所以

（3）

18、解：（1）边际分布的密度函数为，当时；当时，

同理，当时；当时。，所以与独立。
（2）边际密度函数为，当时；当时

当时；当时

在区域中均有，所以与不独立。

19、证：当时 ，与的联合分布密度为
；
其余。当时，
；
其余。由于三者在密度函数的表达式中所处地位相同，故得当时，；当时，；当时，；当时，；在其余区域内，诸边际密度函数均取0值。由于 故两两独立；但当时有，故不相互独立。

20、证：当时，，
其余。同理当时，其余当 时有，所以与不独立。
现试能动分布函数来证与独立。的分布函数记为，则当时，
；
同理可求得的分布函数，得

联合分布函数记为，则当时

同理得当时；当时

=
合起来写得
不难验证对所有都成立，所以与独立。

21、证：（1）由褶积公式及独立性得

这就证明了具有普阿松分布，且参数为
（2）

证毕。

22、证：由题设得
，
。

，

，
同理可证 ，.
所以与相互独立。用同样的方法可片与也相互独立。但
，
，
所以只两两独立而不相互独立。

23、解：，
由此得（1），
（2）。

24、解：（1）由知，以概率1取有限值。当时，
；
当时，
；
当时，
。
（2）
（3）当时，；当时，

。

25、解：设直径为随机变量d，则
。
圆面积。当时，
；
当时；当时。由此对求导（利用对参数积分求导法则）得圆面积的分布密度为，当或时；当时 。

26、解：与的密度函数为
（1）
由卷积公式及独立性得的分布密度函数为 y
（2） 2 C
把（2）与（1）比较知，在（2）中应有，
，满足此不等式组的解 构成 D
图中平面区域平形四边形ABCD，当时 1 B
当时。所以当 A0 1 x
时（2）中积分为
当时，（2）中积分为 ;
对其余的y有。

27、解：，
由求商的密度函数的公式得

,  
服从柯西分布。

28、解：作变换，令，得。由与独立知，它们的联合密度应是它们单个密度的乘积，由此得U，V的联合密度函数为

所以U,V两随机变量也相互独立，且均服从N（0，2）。

29、解：当时由独立性得

当时。求导得的密度函数为，当时；当时
.

30、解：设在内任意投两点，其坐标分别为，则的联合分布密度为
。
设，则的分布函数为，当时；当时；当时，
，
积分S为平面区域ABCDEF的面积，其值为 ，所以
.

31、证：由独立性得，的概率密度为
的分布函数为，当时，

作球面坐标变换，，则，

由此式对s求导可得，当时，S的密度函数为
.

32、证：（3.14）式为
。
令，则，由得，的密度函数为，当时

与仍独立。记，则由商的密度函数公式得T的密度函数为

，
令，则，得

33、解：U的分布函数为，当时；当时有

对求导可得U的密度函数为，当时；当时。

34、证：（U，V）联合分布函数为

当时作变换，，反函数有两支

，
考虑到反函数有两支，分别利用两组

对求导，得（U，V）的联合密度为（其余为0）

若令，
则U服从指数分布，V服从柯西分布，且，所以U，V两随机变量独立。

35、证：当时，与的密度函数分别为

当时，。设。当或时，（U，V）联合密度为；当时，作变换，得，而，所以

由此知U服从分布服从分布，且U与V相互独立。

36、解：令，当或时，U，V联合密度；当且时作变换，则，

由此得U服从分布，V服从(0,1)分布，且U与V相互独立。

37、解:

设。作变换，则，, 。U，V的联合密度函数为

设U，V的边际分布密度函数分别为，欲U与V独立，必须且只需，由的表达式可知，这当且仅当时成立。U，V相互独立与相互独立显然是等价的，所以相互独立的充要条件是。当时，得
，
。

38、解：（1）因为指数中二次项的系数分别为，所以与(2.22)式（见上题解答）比较知，可设其配方后的形式为
。
比较系数得
此方程组有唯一解，由此得

（2）与（2.22）式比较得，。
（3） ， 。

（4），它服从。

39、解：.

.
的边际密度函数为（积分时在指数中对z配方）

令，利用得
。

40、证：以f记的密度函数，则的联合密度为。作变换，令，得。若改记s为x，t为y，则由此可得的联合密度为。另一方面，由卷积公式得和的密度分别为
, .
故由与独立得
。

令（此处用了），则有
。
由假定知有二阶导数，上式对x求导得

再对y求一次导数得
.
对任意u,v，选择x,y使则由上式得.
由u,v的任意性得常数，因而，即有.
所以，从而,均匀正态分布。

41、证：（1）若，则，必存在某个使，亦有，从而，
（1）

反之，若，必存在某个使亦有，即，从而，
。 （2）

由（1），（2）式即得（和集的逆像等于每个集逆像的和）
。
（2）若，则，即属于每个，得（对任一），从而，
。 （3）
反之，若，则属于每个，亦有属于每个，即，从而，
。 （4）
由（3），（4）式即得（交集的逆像等于每个集逆像的交）
。
（3）若，则，亦有，从而，所以。反之，若，则，亦有，即，从而，所以。
由以上证明可得，即互为对立事件的逆像也是互为对立的事件。

42、解：(1) 由 得
(2) 由得：
故

43、解：设是所抽卡片的号数，记,则的分布列是:
由

44、解: 当时且在条件下的分布是 由此比较题中条件可知:
故在条件下, 的条件分布 它的密度函数为

45、解：由题设(的分布密度函数是：
由商的密度计算公式的密度得：

46、解：1)由 得
2) 的边际密度是
当时，的条件下的条件密度为

47、解：设所取二数为，则它们是独立的均服从（0,4）上的均匀分布
的密度函数为

48、解：1)由 得：
2)在时，的条件分布列为 得

49、解：的联合密度为：
令
的联合密度为:

:的边际密度是： 同理的边际密度为:

50、解： 的分布函数
(1) 由, 得 则
(2) 由, 得 则

51、解： 设为旅客的候车时间，则在上均匀分布
则

52、解：1) 则

2)
3)

53、解：1)
2)
3)
54、解：
服从

55、解：

0
1
2
0
4/16
4/16
1/16
1
4/16
2/16
0
2
1/16
0
0

0
1
2

2/3
1/3
0

56、解：当时，, 当时，

57、解：

58、解：的所有可能值为。事件表示第次试验取得第次成功。前面次试验中，有次成功，有次失败。这相当于在个位置中，取个位置，情况总数为。有前次试验有次成功，第次为成功}，故

注：服从的分布称为帕斯卡分布。当时

称为几何分布。

59、解：首先求一只电子管工作1000小时以上的概率。
只有当5只电子管皆工作在1000小时以上，仪器才能工作1000小时以上。又“每只电子管工作1000小时以上”是相互独立的，所以所求概率为 ， 此概率很小。

60、解：（1）利用概率密度的性质，即可确定A。

故
（2）

61、解：（1）当时，
当时，
当时，
当时，
故
（2）

或这样做：因区间[1，4]包含二个可能值1,2，它对应的概率分别为，。故

62、解：的可能值0,1,2。因是不放回抽样，故
；；
故的分布列为

0
1
2

的分布函数为

63、解：（1），为单调增函数，反函数为，故

（2），利用（1）的结果，有

64、解：
当时，单调增。，。故当时，。而当取其它值时，，故

65、解：的概率密度
。函数在上单调增，故其反函数单值。
当时 ，V的概率密度  
当（即）时

故

66、解：（1）
，
，

故的联合分布列及关于的边缘分布列为：
X Y
0 1

0

1

1
（2），
，
，

故联合分布列及边缘分布列如下：
X Y
0 1

0

1

1

67、解：， ，
，，
，
同样，可计算其它情况。的联合分布列为：
X Y
0
1
2
0
0

1

2

3

0

68、解：当连掷3次出现反面时，的取值为；出现1次正面，2次反面时，的取值为；出现2次正面，1次反面时，的取值为；出现3次正面时，的取值为。有
， ，
， ，
又 ， ，
，
故的联合分布列为：
X Y
1
3
0
0

1

0
2

0
3
0

69、解：（1）
故 ，即 。
（2）

（3）
（4）

70、解：（1）

故。
（2）

71、解：（１）的分布函数为

（２），。

72、解：当时　；
当时，，故。得
同理

73、解：的概率密度；　的概率密度；
则Ｚ的概率密度

74、证： 的地位对称
只证与独立即可知两两独立。
的联合密度是： ( 得4分)
同理
故独立
但
故 不相互独立。

75、证：令 即 逆变换
故
而

因
故 与独立。

76、证：显然 而

77、证：

78、证：，且
是一个密度函数。

79、证：（1）设，所以，非降。
（2）设，由概率的可加性得

。
由此得 ，
右连续。
（3）
。
由单调性得与均存在且有穷，由及上式得。

80、证：
.
∴不等式成立

81、证法一：定义则是的分布函数。由题设得，对任意有，即有。由此得。逐一类推可得，若，则，或者。从而对有理数，若与都属于[0,1]，则有。再由的左连续性可得，对任意无理数，若与都属于[0,1]，则。
因为区间与[0,1]的长度相等，由题设得
.
由此及上段证明得，对任意有，即为

∴ 服从[0,1]上均匀分布。
证法二：如同证法一中定义的分布函数，由单调知它对[0,1]上的L－测试几乎处处可微。设，当时，由题设得

等式两端都除以，再令可得，由存在可推得也存在，而且。从而对任意有。当时显然有。一点的长度为0，由题设得。由上所述可知是连续型随机变量，是其密度函数，从而定出。至此得证服从[0,1]均匀分布。

82、证：分别对固定的和有 。

由上式显然可得对每个变元非降，左连续，而且满足(2.6)及(2.7)，即
但有
,
这说明当取时(2.5)式不成立。所以不是分布函数。

83、证：必要性：

令，得。设

要积分收敛，必须，由此得应有以及。利用可得

∴
从而题中所列条件全部满足。 以上诸步可逆推，充分性显然。

84、证：我们有 ,
,
代入的表达式得 (1)
又有

(2)
由（1），（2）知是密度函数。用与上面类似的方法计算可得边际密度函数为
,   
.

85、证：当时 ，与的联合分布密度为
；
其余。当时，
；
其余。由于三者在密度函数的表达式中所处地位相同，故得当时，；当时，；当时，；当时，；在其余区域内，诸边际密度函数均取0值。由于 故两两独立；但当时有，故不相互独立。

86、证：（1）由褶积公式及独立性得

这就证明了具有普阿松分布，且参数为
（2）

证毕。

87、证：由题设得
，
。

，

，
同理可证 ，.
所以与相互独立。用同样的方法可片与也相互独立。但
，
，
所以只两两独立而不相互独立。

88、证：由独立性得，的概率密度为
的分布函数为，当时，

作球面坐标变换，，则，

由此式对s求导可得，当时，S的密度函数为
.

89、证：当时，与的密度函数分别为

当时，。设。当或时，（U，V）联合密度为；当时，作变换，得，而，所以

由此知U服从分布服从分布，且U与V相互独立。

90、证：必要性。设是随机变量，则对有，又，
.
充分性。记，现证M是中域。
（1），故。
（2）若,由上题得,故对余集运算封闭。
（3）设，由上题（1）中结论得，关于可列并集运算封闭。
由(1)－(3)知，M是域的集类。由条件知，,
,
其中S{A}表示由集类A产生的域。由此得证是一随机变量。