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《概率论与数理统计》重点
第一章 随机事件与概率
1．事件的关系
2．运算规则 （1）
（2）
（3）
（4）
3．概率满足的三条公理及性质：
（1） （2）
（3）对互不相容的事件，有 （可以取）
（4） （5）
（6），若，则，
（7）
（8）
4．古典概型：基本事件有限且等可能
5．几何概率
6．条件概率
（1） 定义：若，则
（2） 乘法公式：
若为完备事件组，，则有
（3） 全概率公式：
（4） Bayes公式：
7．事件的独立性： 独立 （注意独立性的应用）
第二章　随机变量与概率分布
1． 离散随机变量取有限或可列个值，满足（1），（2）=1
（3）对任意，
2． 连续随机变量：具有概率密度函数，满足（1）；
（2）；（3）对任意，
3． 几个常用随机变量
名称与记号
分布列或密度
数学期望
方差
两点分布
，

二项式分布
，

Poisson分布

几何分布

均匀分布
，

指数分布

正态分布

4． 分布函数 ，具有以下性质
（1）；（2）单调非降；（3）右连续；
（4），特别；
（5）对离散随机变量，；
（6）对连续随机变量，为连续函数，且在连续点上，
5． 正态分布的概率计算 以记标准正态分布的分布函数，则有
（1）；（2）；（3）若，则；
（4）以记标准正态分布的上侧分位数，则
6． 随机变量的函数
（1）离散时，求的值，将相同的概率相加；
（2）连续，在的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，则，若不单调，先求分布函数，再求导。
第四章 随机变量的数字特征
1．期望
(1) 离散时 ， ；
(2) 连续时，；
(3) 二维时，
(4)；（5）；
（6）；
（7）独立时，
2．方差
（1）方差，标准差；
（2）；
（3）；
（4）独立时，
3．协方差
（1）；
（2）；
（3）；
（4）时，称不相关，独立不相关，反之不成立，但正态时等价；
（5）
4．相关系数 ；有，
5． 阶原点矩， 阶中心矩
第五章 大数定律与中心极限定理
1．Chebyshev不等式 或
2．大数定律
3．中心极限定理
（1）设随机变量独立同分布，则， 或 或，
（2）设是次独立重复试验中发生的次数，，则对任意，有或理解为若，则
第六章 样本及抽样分布
1．总体、样本
（1） 简单随机样本：即独立同分布于总体的分布（注意样本分布的求法）；
（2） 样本数字特征：
样本均值（，）；
样本方差（）样本标准差
样本阶原点矩，样本阶中心矩
2．统计量：样本的函数且不包含任何未知数
3．三个常用分布（注意它们的密度函数形状及分位点定义）
（1）分布 ，其中独立同分布于标准正态分布，若且独立，则；
（2）分布 ，其中且独立；
（3）分布 ，其中且独立，有下面的性质
4．正态总体的抽样分布
（1）； （2）；
（3）且与独立； （4）；
（5），
（6）
第七章 参数估计
1．矩估计：
（1）根据参数个数求总体的矩；（2）令总体的矩等于样本的矩；（3）解方程求出矩估计
2．极大似然估计：
（1）写出极大似然函数；（2）求对数极大似然函数（3）求导数或偏导数；（4）令导数或偏导数为0，解出极大似然估计（如无解回到（1）直接求最大值，一般为min或max）
3．估计量的评选原则
(1)无偏性：若，则为无偏； (2) 有效性：两个无偏估计中方差小的有效；
4．参数的区间估计（正态）
参数
条件
估计函数
置信区间

已知

未知

未知

概率论与数理统计期末重点
第二章知识点：
1.离散型随机变量：设X是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称X为一个离散随机变量。
2.常用离散型分布：
（1）两点分布（0-1分布）：
若一个随机变量X只有两个可能取值，且其分布为，
则称X服从处参数为p的两点分布。
两点分布的概率分布：
两点分布的期望：；两点分布的方差：
（2）二项分布：
若一个随机变量X的概率分布由式
给出，则称X服从参数为n,p的二项分布。记为X~b(n,p)(或B(n,p)).
两点分布的概率分布：
二项分布的期望：；二项分布的方差：
（3）泊松分布：
若一个随机变量X的概率分布为，则称X服从参数为的泊松分布，记为X~P ()
泊松分布的概率分布：
泊松分布的期望：；泊松分布的方差：

4.连续型随机变量：
如果对随机变量X的分布函数F(x)，存在非负可积函数，使得对于任意实数，有，则称X为连续型随机变量，称为X的概率密度函数，简称为概率密度函数。

5.常用的连续型分布：
（1）均匀分布：
若连续型随机变量X的概率密度为，则称X在区间（a,b）上服从均匀分布，记为X~U(a,b)
均匀分布的概率密度：
均匀分布的期望：；均匀分布的方差：
（2）指数分布：
若连续型随机变量X的概率密度为，则称X服从参数为的指数分布，记为X~e ()
指数分布的概率密度：
指数分布的期望：；指数分布的方差：
（3）正态分布：
若连续型随机变量X的概率密度为
则称X服从参数为和的正态分布，记为X~N(,)
正态分布的概率密度：
正态分布的期望：；正态分布的方差：
（4）标准正态分布：，
标准正态分布表的使用：
（1）

（2）
（3）故

定理1： 设X~N(,),则
6.随机变量的分布函数：
设X是一个随机变量，称为X的分布函数。
分布函数的重要性质：

7.求离散型的随机变量函数、连续型随机变量函数的分布
（1）由X的概率分布导出Y的概率分布步骤：
①根据X写出Y的所有可能取值；
②对Y的每一个可能取值确定相应的概率取值；
③常用表格的形式把Y的概率分布写出
（2）由X的概率密度函数（分布函数）求Y的概率密度函数（分布函数）的步骤：
①由X的概率密度函数随机变量函数Y=g(X)的分布函数
②由求导可得Y的概率密度函数
（3）对单调函数，计算Y=g(X)的概率密度简单方法：
定理1 设随机变量X具有概率密度，又设y=g(x)处处可导且恒有（或恒有），则Y=g(X)是一个连续型随机变量，其概率密度为
；其中是y=g(x)的反函数，且

练习题：
2.4 第7、13、14
总习题 第3、6、9、10、11、13、14、17、18、19

第三章重要知识点：
1.离散型二维随机变量X与Y的联合概率分布表：
Y
X

…

…

…

…

…

…

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…

…
1
（1）要会由X与Y的联合概率分布，求出X与Y各自概率分布或反过来；类似 P63 例2
（2）要会在X与Y独立的情况下，根据联合概率分布表的部分数据，求解其余数据；
类似 P71 例3
（3）要会根据联合概率分布表求形如的概率；
（4）要会根据联合概率分布律之类求出相应的期望、方差、协方差、相关系数等。

2. 二维连续型随机变量X与Y的联合概率密度:
设（X,Y）为二维随机变量，F(x,y)为其分布函数，若存在一个非负可积的二元函数f(x,y),使对任意实数（x,y），有，则称（X,Y）为二维连续型随机变量。
(1) 要会画出积分区域使得能正确确定二重积分的上下限；
(2) 要会根据联合概率密度求出相应的分布函数F(x,y)，以及形如等联合概率值;P64 例3
(3) 要会根据联合概率密度求出的边缘密度;类似 P64 例4
(4) 要会根据联合概率密度求出相应的期望、方差、协方差、相关系数等。

3.联合概率分布以及联合密度函数的一些性质：
（1）；（2）
要会根据这些性质解类似P68 第5，6题。

4.常用的连续型二维随机变量分布
二维均匀分布：设G是平面上的有界区域，其面积为A。若二维随机变量（X,Y）具有概率密度函数，则称（X,Y）在G上服从均匀分布。
5.独立性的判断：
定义：设随机变量（X,Y）的联合分布函数为F(x,y),边缘分布函数为，，若对任意实数x,y，有
（1）离散型随机变量的独立性：
①由独立性的定义进行判断；
②所有可能取值，有，则X与Y相互独立。
（2）连续型随机变量的独立性：
①由独立性的定义进行判断；
②联合概率密度 ，边缘密度，
有几乎处处成立, 则X 与Y相互独立。
(3)注意与第四章知识的结合
X与Y相互独立
因此 X与Y不独立。

6．相互独立的两个重要定理
定理1 随机变量X与Y相互独立的充要条件是X所生成的任何事件与Y生成的任何事件独立，即，对任意实数集A，B，有
定理2 如果随机变量X与Y独立，则对任意函数，相互独立。
（1）要求会使用这两个定理解决计算问题

练习题：
习题2-3 第3、4题
习题2-4 第2题
习题3.2 第5，7，8题
总习题三 第4，9（1）-（4）， 12,13

第四、五章知识点
设总体密度函数如下，是样本，试求未知参数的矩估计值，最大似然估计值。

（1）
，由此可推出，
从而参数，的矩估计值为
（2）似然函数为：
其对数似然函数为：
由上式可以看出，是的单调增函数，要使其最大，的取值应该尽可能的大，由于限制，这给出的最大似然估计值为
将关于求导并令其为0得到关于的似然方程
，解得

第四章重要知识点：
1.随机变量X数学期望的求法：
（1）离散型 ；（2）连续型
2.随机变量函数g(X) 数学期望的求法：
（1）离散型 ；（2）连续型
3.二维随机向量期望的求法：
（1）离散型 ；
（2）连续型
4.随机变量X方差的求法：
（1）简明公式
（2）离散型
（3）连续型
5. 随机变量X协方差与相关系数的求法：
（1）简明公式
（2）离散型
（3）连续型
（4）
6.数学期望、方差、协方差重要的性质：
(1)
(2) 设X与Y相互独立，则
(3)
若X与Y相互独立，则
(4)
(5)
（6）
若X与Y相互独立，则
(7) 若（X,Y）服从二维正态分布，则X与Y相互独立，当且仅当
7. n维正态分布的几个重要性质：
（1）n维正态变量（）的每个分量（）都是正态变量，反之，若都是正态变量，且相互独立，则（）是n维正态变量。
（2）n维随机向量（）服从n维正态分布的充分必要条件是的任意线性组合均服从一维正态分布均服从一维正态分布（其中不全为零）。
（3）若（）服从n维正态分布，设是的线性函数，则（）服从k维正态分布。
（4）设（）服从n维正态分布，则“相互独立”等价于“两两不相关”
练习题：
1. 设（X,Y）的联合密度函数为，求及
解：

同理

又因
从而

2. 习题4.3第10题
8.中心极限定理
（1）定理4（棣莫佛—拉普拉斯定理）
设随机变量相互独立，并且都服从参数为的两点分布，则对任意实数，有
（2）定理3（独立同分布的中心极限定理）
设随机变量相互独立，服从同一分布，且
则
练习题：习题4-4 11题 12题 总习题四 24，25，26题

第五章重要知识点
确定或求证统计量所服从的分布
1.三大分布
（1）分布：：设是取自总体N(0,1)的样本，称统计量服从自由度为n的分布。
（2）t分布：设X~N(0,1), ，且X与Y相互独立，则称服从自由度为n的t分布。
（3）F分布：设，且X与Y相互独立，则称服从自由度为（m,n）的F分布。
2.三大抽样分布
（1）设总体是取自X的一个样本，为该样本的样本均值，则有，
（2）定理2设总体，是取自X的一个样本，与为该样本的样本均值与样本方差，则有，
与相互独立
（3）定理3 设总体，是取自X的一个样本，与为该样本的样本均值与样本方差，则有，
练习题：
1.设是来自正态总体的样本，求统计量
的分布。
解：因为，故

由样本的独立性及分布的定义，有
再由样本的独立性以及t分布的定义，有

2． 总习题五 14题
3.求样本函数相关的概率问题
练习题：习题5-3 2 总习题五 16、17

第六章重要知识点：
1.矩估计的求法：
设总体X的分布函数中含有k个未知参数的函数，则
（1）求总体X的k阶矩它们一般都是
是这k个未知参数的函数，记为
（2）从（1）中解得
（3）再用的估计量分别代替上式中的，即可得的估计量：

注：求，类似于上述步骤，最后用，代替，求出矩估计
2.最大似然估计的求法：
求最大似然估计的一般方法：
（1） 写出似然函数
（2） 令或，求出驻点
（3）判断并求出最大值点，在最大值点的表达式中，用样本值代入就得参数的最大似然估计值。比如P154 例4—6。
3. 估计量的优良性准则
（1）无偏性
定义1 设是未知参数的估计量，若,则称为的无偏估计量。
（2）有效性
定义2 设和都是参数的无偏估计量，若,则称较有效。
4 置信区间
（1）双侧置信区间:
设为总体分布的未知参数，是取自总体X的一个样本，对给定的数，，若存在统计量，
，使得，则称随机区间为的双侧置信区间，称为置信度，又分别称与为的双侧置信下限与双侧置信上限。
（2）单侧置信区间：
设为总体分布的未知参数，是取自总体X的一个样本，对给定的数，，若存在统计量，
满足 ，则称为的置信度为的单侧置信区间，称为的单侧置信下限若存在统计量，满足
则称为的置信度为的单侧置信区间，称为的单侧置信上限。
5.寻求置信区间的方法：
一般步骤：
（1） 选取未知参数的某个较优估计量
（2）围绕构造一个依赖于样本与参数的函数
（3）对给定的置信水平，确定与，使
通常可选取满足与的与，在常用分布情况下，这可由分位数表查得。
（4）对不等式作恒等变形后化为
则就是的置信度为的双侧置信区间。
6.置信区间的公式：
(1)0-1分布参数的置信区间：

(2)设总体，其中已知，而为未知参数，是取自总体X的一个样本。
均值的置信区间为：（，）
(3)设总体，其中，未知， 是取自总体X的一个样本。
均值的置信区间为：（，）
(4)设总体，其中，未知， 是取自总体X的一个样本。
方差的置信区间为：
的置信区间为：
练习题：
习题6-2 第1，2，5，6题
习题6-3 第3，4，5，6题
习题6-4 第4题
总习题六 第7，8，9，10，16，17，18，20，21题