1、第四章 解析函数的级数表示法
1. 复数列和复数列的极限
（1）定义 4.1 设为一复数列，其中为一确定的复数. 如果对任意的正数，存在正整数N，使得当时，有
(4.1)
成立，则称a为复数列{an}当时的极限，记作
.
并称复数列{an}收敛于a.
（2）与实数列极限的关系：定理 4.1 复数列{an}收敛于a的充分必要条件是：.
2. 复级数
（1）定义
设为一复数列，表达式
(4.2)
称为复数域上的无穷级数，简称复级数或级数.记该级数的前n项部分和为
2、
称为该级数的部分和数列.
显然，若一般项an的虚部则级数实质上是实级数，因此实级数可以看作是复级数的特例.
定义 4.2 若级数对应的部分和数列收敛于常数S，即
那么称为收敛的级数.数S叫做该级数的和，记为
若不存在，则称为发散的级数.
我们首先研究级数(4.2)的收敛性问题.
（2）收敛的条件：
定理 4.2复级数收敛于S的充要条件是实级数和分别收敛于和，其中
定理 4.3 复级数收敛的必要条件是
3.绝对收敛与条件收敛
（1）定义 4.3 对于复级数，若收敛，则称级数绝对收敛；若发散，而收敛，则称级数条件收敛.
（2）定理 4.4 如果级数绝对收
3、敛，则也收敛，且不等式成立.
（3）推论 4.1 设. 则级数绝对收敛的充要条件是级数和都绝对收敛.
4. 幂级数的概念
所谓幂级数，是指形如
(4.3)
的表达式.
给定z的一个确定值z1，则(4.3)为复数项级数
(4.4)
若(4.4)所表示的级数收敛，则称幂级数(4.3)在z1处收敛，z1称为(4.3)的一个收敛点，否则则称为发散点.若D为级数(4.3)所有收敛点的集合，则级数在D上的和确定一个函数S(z):
(4.5)
称S(z)为(4.3)的和函数.
5.收敛半径和收敛圆
定
4、理 4.5 如果幂级数在收敛，则对于满足的z，级数必绝对收敛；如果在处级数发散，则对于的z，级数必发散.
根据定理4.5，幂级数(4.6)的收敛情况必是下列情形之一：
1°除z=0外，级数处处发散；
2°对于所有z级数都收敛，由定理4.5知，级数在复平面内处处绝对收敛；
图4.1
3°存在一个正实数R,使级数在|z|R中发散（如图4.1）.
我们把该正实数R称为级数(4.6)的收敛半径，以原点为中心，半径为R的圆盘称为级数的收敛圆.对幂级数(4.3)来说，它的收敛圆是以z0为中心的圆盘.值得注意的是，在收敛圆的圆周上级数是收敛还是发散，不能作出一般的结论，要对
5、具体级数进行具体分析
6. 收敛半径的求法
定理4.6 若的系数满足
则
1°当时，；
2°当时，(处处收敛)；
3°当时，R=0(仅有一个收敛点z=0).
定理 4.7 若幂级数的系数满足
则
1°当时，；
2°当时，；
3°当时，.
7. 幂级数的运算及性质
性质 4.1 若幂级数和的收敛半径分别为R1和R2，则幂级数的收敛半径不小于，且在内有：
性质 4.2 若幂级数和的收敛半径分别为R1和R2，则幂级数
的收敛半径不小于，且在内有：
上述性质说明了由两个幂级数经过相加或相乘的运算后，所得到的幂级数的收敛半径只是大于或等于R1和R2中
6、较小的一个.
定理 4.8 设幂级数的收敛半径为R，那么
1°它的和函数在收敛圆内是解析函数.
2°的导数可通过对其幂级数逐项求导得到，即
.
3°在内可以逐项积分，即
其中C为内的曲线（证明略）.
8.泰勒(Taylor)展开式
定理 4.9 设K表示以z0为中心，半径为r的一个圆，在K内解析，则可以在K内展开成幂级数，即
(4.8)
并称它为在z0的泰勒(Taylor)展开式，(4.8)式右端的级数称为的泰勒级数.
间接展开法：由于解析函数在一点的泰勒展开式是唯一的，借助于已知函数的展开式并利用幂级数的一些性质来求得
7、另一函数的泰勒展开式，这种方法称为间接法
(4.13)
(4.14)
(4.15)
(4.16)
9.罗朗级数，收敛圆环，罗朗展开式
定理 4.11 双边级数 的收敛域若存在必为圆环：，且在其收敛圆环内的和函数是解析的，而且可以逐项求积分和逐项求导数.
定理 4.12 设在圆环内解析，那么
(4.20)
其中
(4.21)
这里C为圆环内任何一条绕的正向简单闭曲线（如图4.5
8、且(4.20)式是唯一的.
注：罗朗展开式只能用间接展开法
10. 孤立奇点
（1）定义 4.4 若为函数的一个奇点，且存在一个去心邻域, 在其中处处解析，则称为的孤立奇点.
（2）孤立奇点的罗朗级数：设为的一个孤立点，因为在中解析，由上一节的定理4.12知可展成的罗朗级数，即
（2）孤立奇点的分类：我们按展开式中的负幂项部分的状况把孤立奇点分为三类：
级数中不出现负幂项，此时称点为的可去奇点；
级数中只含有有限个负幂项，则点称为的极点；
级数中含有无穷多个负幂项，点称为的本性奇点.
例 4.7 求函数在下列圆环内的罗朗级数.
(1); (2);
(3); (4); (5).
6
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