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纯净水安全监控问题
何挺 严茂花 叶宁
内容摘要
水是人类赖以生存的资源，日趋加剧的水污染，已对人类的生存安全构成重大威胁，成为人类健康、经济和社会可持续发展的重大障碍，对水污染的研究，在现实社会中有着重大的的意义。本文是针对九家纯净水公司的具体检查情况建立模型对九家纯净水公司进行综合评价。
模型I:针对问题1,本文建立了综合评价模型。首先，对题中所给的数据进行无量纲化处理, 建立纯净水风险评价指标体系，采用专家给出的各个项目（危害因素）的权值分别为0.17,0.25,0.28,0.30,最后给出纯净水安全风险分析的科学评价方法，即建立综合评价模型

并对城区所有批次的纯净水进行了评价排序。
针对问题2，本文在模型I的基础上进行求解，由九家公司每个项目（危害因素）的均值得到各公司纯净水中四个项目的得分权重，即各公司的风险度。风险度排序评价为：

然后对他们分类综合评价，指出了各公司产品的主要可能的危害因素，并给出了同类公司的实际特点。
模型II：针对问题3，本文建立了熵权模型，通过熵值法求出四个危害因素在不同环节的权重，据此分析得出纯净水在生产流通环节的危害因素以及各个危害指标的分布规律，并在此基础上，讨论得出公司的管理状况。
模型III:针对问题4,我们在现有的历史数据下,求出各个危害因素所占的百分比,据此得到每家公司在下一年度100个批次的检验总数中的检验分配数,在此基础上,我们建立以检测出不合格品的风险度最高为目标函数的整数线性规划模型,利用求解,可得到各公司检验批次的分布。
针对问题5，结合上述结果，本文评价了该城区的饮用水安全形势并给出了监控对策（见正文）。
关键词：综合评价 危害因素 熵权模型 熵值法 线形规划 软件

一 问题重述
1.1问题背景
水是人类赖以生存的资源，日趋加剧的水污染，已对人类的生存安全构成重大威胁，成为人类健康、经济和社会可持续发展的重大障碍。据世界权威机构调查，在发展中国家，各类疾病有8%是由于饮用了不卫生的水而传播的，每年因饮用不卫生水至少造成全球2000万人死亡，因此，水污染被称作"世界头号杀手"。纯净水的安全危机的爆发，往往是日常的监控机制和管理长期存在漏洞的反映。完整、有效的纯净水安全风险分析监测预控，为政府及有关部门实施控制措施提供决策依据和技术支持，可以有效提高纯净水安全监管效率和管理水平，及时化解可能出现的安全危机。近年来，我国在从国家宏观层面探讨建立纯净水安全预警机制的研究方面，已取得了不少理论成果但由于我国地域辽阔，经济社会发展水平很不平衡，如何构建有效的预警机制并应用到饮用水安全监控过程还处于起步阶段。
本问题主要考虑纯净水的以下危害因素: （按照危害的严重性依次给出）
“电导率”: 是纯净水的特征性指标，反映的是纯净水的纯净程度，以及生产工艺控制的好坏，“电导率”根本达不到国家卫生标准要求，与自来水无异，根本不能算做纯净水。
菌落总数: 是指纯净水检样经过处理，在一定条件下培养后所取1ml（g）检样中所含菌落的总数。它可以作为判定纯净水被污染程度的指标之一。
大肠菌群：反映纯净水加工过程中对大便污染程度的一个指标。数值越高证明污染越严重。
霉菌：食物霉变后产生，直接引起中毒，或产生致癌物质，毒害人体。
1.2问题的提出
某城区共有九家生产并销售纯净水的公司，其中A公司和B公司规模较大，其余均为小公司。针对该城区提供的近年的关于各公司的纯净水检测报告（见附件），请你利用数学建模的方法回答以下问题：
1、结合本问题所给数据，给出纯净水安全风险分析的科学评价方法，确定评价的标准和评价的规则，对该城区所有批次的纯净水进行评判排序。
2、对该城区范围内的监控对象（各公司）按风险度进行排序评价，并对它们分类综合评价，指出各公司产品的主要可能的危害因素，并指出同类公司的实际特点。
3. 对检测出的不合格的样品成因分析：评价纯净水生产流通环节（归为仓库和销售网点两类）的危害因素以及各个危害指标的分布规律，并通过四类危害指标的分析，讨论A、B、D公司的管理状况。
4.国家相关部门每年要面对各种专项检验，对于纯净水专项检验的投入经费有限，已知该城区下一年度投在纯净水方面的检验总批次为100个批次，在现有历史数据的基础上，并考虑各公司的实际运行状况，如何设置各公司检验批次的分布，使得抽检方案的针对性最优（即检出的风险性为最大）。
5.结合你的工作，请你给该城区食品安全委员会写一篇短文，阐述你的观点，评价该城区的饮用水安全形势并给出监控对策。
二 问题分析
2.1问题1的分析
首先，对题中所给的数据进行分析，同各个项目的标准值进行比较，得到每家公司各个批次的纯净水中不符合要求的纯净水的批次。其次，建立纯净水风险评价指标体系，由专家打分给出的四个项目的权重。最后，根据四个项目的权重建立综合评价模型，并利用此模型对该城区所有批次的纯净水进行评判排序。
2.2问题2的分析
问题要求对城区范围内的监控公司按风险度进行排序评价，我们在找出九家公司每个指标的平均值的基础上，利用问题1中所建立的综合评价模型（模型I），求出九家公司的纯净水中四个指标加起来的风险度，即为各公司的风险度；接着分别按四个危害因素将九家公司进行排序评价，由此评价，可以看出各公司的主要危害因素。根据主要危害因素，我们指出了同类公司的实际特点。
2.3 问题3的分析
根据题中所给数据找出的不合格的样品所对应的环节，找出四个危害因素在各个环节的权值，因为抽取的样品中，存在一定的不确定度，所以我们建立了熵权模型，利用熵值法解决这一问题，并且给出各个危害指标的分布规律。在此基础上，我们通过分析，讨论得出公司的管理状况。
2.4 问题4的分析
本问要求我们设置各公司检验批次的分布，使得抽样方案的针对性最优，也即根据历史数据，使得在下一年度抽样检验中各公司生产的纯净水被检验到不合格的风险度最大，由于批次的分配数目不仅仅要落实到各家公司，还要具体到各家公司的两个环节（仓库和销售网点），所以我们先根据现有的历史数据，在算出各个危害因素所占的百分比的前提下，确定分配到各家公司的检验批次，再以检测出不合格品的风险度最高为目标函数，建立线形整数规划，在软件中求解，得到每家公司在各个环节的检验次数，也即各公司检验批次的分布。

三 模型假设
1.假设项目4（霉菌和酵菌）中，标准值不得检出记为0值；
2.各批次有一个危害因素不合格则视为该批次不合格；
3.假设同一批次的纯净水各项检测指标都一样；
4.在一年内没有被检查，则视为该批次在这一年为合格；
5.所有的数据都客观准确；
6.不考虑四种因素以外的因素的影响；
7.在一定时期内，各公司的管理方式不变。

四 符号约定

五 模型的建立与求解
5.1模型I的建立与求解（针对问题1）
5.1.1 模型I的建
针对问题1，本文建立了综合评价模型。假设这九个公司为评价对象，共有四个评价指标（项目）电导率菌落总数、大肠菌群、霉菌和酵母，分别记为和。
首先：对四个指标进行无量纲化处理，也即标准化处理：
因为这四个指标都是极小型指标，所以对数据直接进行极差变换将数据标准化，即，各个指标对应的数据变为如下表：
表1：标准化后的数据

批号
项目1(电
导率<=10)
项目2（菌落
总数<=20）
项目3（大肠
菌群<=3）
项目4（霉菌
和酵母）
20070425
0.019184652
0.00125
0
0
20070425
0.019184652
0.00125
0
0
20070415
0.034892086
0
0.5
0
20070609
0.008633094
0.00625
1
0
20070512
0
0.00375
0
0
20070704
0.025659472
1
0.5
0
20070703
0.07470024
0.04375
0.5
0
20070704
0.084172662
0.175
0
0
20070704
0.052158273
0.2
0
0
20070704
0.050479616
0.225
0.5
1
20070809
0.037410072
0
0.5
0
20070809
0.034652278

0.00125
0.5
0
20070810
0.038729017
0.0025
0
0
20070810
0.050719424
0.0025
0.5
0
20071218
0.035611511
0
0
0
20071216
0.054316547
0.00125
0
0
20071216
0.035251799
0.005
0
0
20071220
0.028417266
0
0
0
20071219
0.314148681
0.00125
0
0
20071218
0.039688249
0.00125
0
0
20071216
0.007434053
0
0.5
0
20080827
0.122182254
0.025
0
0.333333333
20080827
0.010191847
0
0
0
20080827
0.207673861
0.03
0.5
0
20080826
0.042685851
0
0
0
20080827
0.007434053
0.025
0
0
20080902
0.243405276
0.05625
0
0
20080901
0.032973621
0.0425
0
0
20090111
1
0
0
0
20090112
0.380095923
0.035
0.5
0
20090112
0.229016787
0.0025
0.5
0
20090112
0.290167866
0
0
0
20090109
0.009832134
0
0
0
20090110
0.321342926
0
0
0
20090111
0.048201439
0.01875
0
0.666666667
然后：建立纯净水风险评价指标体系不是一个孤立的过程。根据纯净水的特点,结合风险评价的理论及实际分析，我们建立了纯净水风险评价指标体系如图1。从图1 中可以看出，多风险因素的递阶结构图分为二层,目标层为，准则层为。通过建立这个评价指标体系，基本上可以反映出纯净水风险的基本情况。
图1

纯净水安全评价
电导率

霉菌和酵菌
大肠菌群

菌落总数

最后：建立综合评价模型（模型I）：
由四个指标的权重，可建立综合评价模型
5.1.2 模型I的求解

通过建立的评价指标体系（如上图1），可由专家为各个指标打分，得出各个指标的权重分别为0.17,0.25,0.28,0.30，所以综合评价模型为：

利用该评价模型对城区所有批次的纯净水进行评判排序，可得下表：
表2：各批次排序表

排序
1
2
3
4
5
6
7
受检
方
B
B
G
C
E
A
A
批号
20090109
20080827
20070512
20070425
20070425
20071220
20071218
得分（权重）
0.03094
0.03145
0.0545
0.0567
0.0567
0.05729
0.06749
排序
8
9
10
11
12
13
14
受检方
B
B
A
B
B
B
F
批号
20080826
20071218
20070810
20071216
20071216
20071216
20070415
得分（权重）
0.07752
0.08577
0.09691
0.10651
0.11698
0.1208733
0.1598033
排序
15
16
17
18
19
20
21
受检方
B
B
A
B
C
A
I
批号
20070809
20070809
20070810
20080827
20070609
20090112
20090112
得分（权重）
0.163373333
0.171963333
0.2072433
0.27754
0.2784067
0.4284
0.4600333
排序
22
23
24
25
26
27
28
受检方
A
H
D
A
A
A
D
批号
20090110
20071219
20080901
20070703
20080827
20080827
20090111
得分（权重）
0.4726
0.4749
0.48875
0.6537433
0.7047733
0.74023
0.87284
排序
29
30
31
32
33
34
35
受检方
I
H
D
H
A
D
B
批号
20080902
20090112
20090111
20070704
20070704
20070704
20070704
得分（权重）
0.9246
0.999233333
1.4348
1.88634
2.09095
3.3319033
10.146713

5.2 问题2的求解
此问题在模型I的基础上进行求解。
首先，算出每家公司纯净水中四个项目指标的平均值如下表3：
表3：各公司项目均值

项目
受检方
项目1(电导率<=1)
项目2（菌落总数<=1）
项目3（大肠菌群<=1）
项目4（霉菌和酵母=0）
公司
1.1189
1.215
0.1
0.1
公司
0.330909091
3.759090909
0.121212121
0
公司
0.216
0.15
0.333333333
0
公司
2.4595
2.8625
0.083333333
1.25
公司
0.26
0.05
0
0
公司
0.391
0
0.33
0
公司
0.1
0.15
0
0
公司
2.264
2.816666667
0.111111111
0
公司
2.07
1.175
0.166666667
0

利用综合评价模型，其中各个因素的权重分别为0.17,0.25,0.28,0.30，求出九家公司四个指标的总风险度的得分权重分别为：
表4：各公司项目得分权重

受检方
得分（权重）
A
0.551963
B
1.029966667
C
0.167553333
D
1.532073333
E
0.0567
F
0.159803333
G
0.0545
H
1.120157778
I
0.692316667
由上表4各公司项目得分权重，可以得出该城区范围内的监控对象（各公司）按风险度排序评价为：

接着对公司分析综合评价，也即按这四个危害对九家公司进行评价排序，我们可得到下表5：
表5：各危害因素下的公司排序（由好到坏）

公司排序
项目一（电导率）
项目二（菌落总数）
项目三（大肠菌群）
项目四（霉菌和酵母）
1
G
F
E
B
2
E
E
G
C
3
B
C
D
E
4
F
G
A
F
5
A
I
H
G
6
I
A
B
H
7
H
H
I
I
8
D
D
C
A
9
C
B
F
D

由上表可知，各公司的主要可能危害因素见下表6：
表6：各公司主要危害因素

公司
主要危害因素
A
霉菌和酵母、菌落总数、电导率
B
菌落总数
C
电导率
D
霉菌和酵母菌落总数、电导率
E
电导率
F
电导率、大肠菌群
G
菌落总数、电导率
H
菌落总数、电导率
I
菌落总数、电导率

最后，根据对上述所得数据的详细分析，我们可得出这九家的实际特点、对各个公司的纯净水做了如下评价：
表7：各公司的实际特点

公司
实际特点与评价
A
霉菌和酵母、菌落总数、电导率都超出了标准值，且霉菌和酵母是致癌物质，所以A公司生产的纯净水有比较严重的质量问题，对人体有害
B
菌落总数很高，超出了标准值，说明该公司宣产生的纯净水不够纯净
C
各危害因素都较低，属于比较干净的纯净水
D
同公司A一样，生产的水有较严重的质量问题，对人体有害
E
同公司C
F
大肠杆菌的含量非常高，说明该纯净水受大便的污染严重质量问题比较严重
G
电导率和菌落总数都较高，该公司的纯净水不够纯净
H
同公司G
I
同公司G

5.3模型II的建立与求解（针对问题3）
5.3.1模型II的建立
为了评价纯净水各个环节的危害因素，我们利用熵权法找出各个危害因素在不同环节的比重，从而对其进行评价。
5.3.11基本原理
在信息论中，熵是对不确定性的一种度量。信息量越大，不确定性就越小，熵也就越小；信息量越小，不确定性越大，熵也越大。根据熵的特性，我们可以通过计算熵值来判断一个事件的随机性及无序程度，也可以用熵值来判断某个指标的离散程度，指标的离散程度越大，该指标对综合评价的影响越大。
5.3.1.2 熵值法步骤
（1）计算第j 个危害因素下第i 个时间检测结果占该指标的加权比重：

（2）计算第j 个危害因素的熵值

（3）计算第j 个危害因素的差异系数。对于第j 个危害因素，指标的差异越大，对纯净水的作用也就越大，熵值就越小。定义差异系数：

（4）求权重

根据上述权重我们便可以求出各个危害因素在不同流通环节所占的比例。
5.3.2模型的求解
根据熵值法的步骤可求出各个危害因素在不同环节所占的权重如下表8：
表8：各个危害因素在不同环节下的权重
环节
危害因素
仓库
销售网点
电导率
0.3719934
0.4598977
菌落总数
0.2108452
0.3545126
大肠菌群
0.3085227
0.1855897
霉菌和酵母
0.1086387
0
由此表可以看出：在仓库这个环节，影响纯净水质量的主要因素的先后次序是电导率、大肠菌群、菌落总数、霉菌和酵母。在销售网点这个环节，影响纯净水质量的主要因素的先后次序是电导率、菌落总数、大肠菌群。其中电导率是主要危害因素。
对三公司的管理状况进行分析：
由表6：各公司主要危害因素可以看出两公司生产的纯净水分别在电导率、菌落总数及霉菌和酵菌这三项危害因素上有严重问题，公司生产的纯净水在菌落总数这项危害因素上严重超标，结合题中所给的下列叙述：
“电导率”: 是纯净水的特征性指标，反映的是纯净水的纯净程度，以及生产工艺控制的好坏，“电导率”根本达不到国家卫生标准要求，与自来水无异，根本不能算做纯净水。
菌落总数: 是指纯净水检样经过处理，在一定条件下培养后所取1ml（g）检样中所含菌落的总数。它可以作为判定纯净水被污染程度的指标之一。
大肠菌群：反映纯净水加工过程中对大便污染程度的一个指标。数值越高证明污染越严重。
霉菌和酵菌：食物霉变后产生，直接引起中毒，或产生致癌物质，毒害人体。
可以得出：公司生产的纯净水纯度很差，作为大公司的它，在生产工艺控制方面有很严重的缺陷，管理状况不容乐观，需要做改善；公司生产的纯净水在生产流程中受到了一定的污染，管理状况也有一定的欠缺；公司生产的纯净水存在和公司相同的情况，说明虽然公司规模虽然小，管理起来很方便，可该公司的管理状况仍然存在很大的漏洞，需要改善。
5.4模型III的建立与求解（针对问题4）
5.4.1模型III的建立
根据题中提供的近几年的关于各公司的纯净水检测报告,我们分析各个危害因素的所含百分比,可得出各个公司在抽样在这三年中的危害因素占整个城市的危害因素的比例,由此可得到在下一年度的100个批次的检验中各公司的分配检验数如下表9:
表9:各公司的分配次数
公司
分配次数
A
22
B
24
C
4
D
32
E
1
F
2
G
1
H
9
I
5
在此基础上,我们求出在各公司生产的纯净水各个环节抽样检验时，可使抽检方案的针对性最优（既抽检出不合格品的概率最大）。
根据题中所给数据可计算出各个公司危害因素在各个环节的权值，以此做为各个公司危害因素在在各个环节的不合格品的风险度；再由各个公司安排的检测数目分配为约束条件，以检测出不合格品的风险度最高为目标函数可建立整数线性规划模型：

5.4.2模型III的求解
用软件编程求解可得到具体的抽检方案如下表:
表10:各公司各地点抽样分布表

仓库
厂成品库
店内
营业部内
货架
货架上
A
22
0
0
0
0
0
B
0
24
0
0
0
0
C
0
0
0
0
4
0
D
14
18
0
0
0
0
E
0
0
0
0
0
1
F
0
0
0
0
2
0
G
1
0
0
0
0
0
H
3
0
5
1
0
0
I
5
0
0
0
0
0

5.5对该城区的饮用水安全形势的评价和相应的监控对策
针对前面四个问题的结论可知，该城区的饮用水在安全方面存在很大的隐患，对人体有很大伤害，必须通过公司和食品安全监控局的双方努力，才能提高该城区饮用水的质量。下面是本文对该城区的饮用水安全形式作出的评价，并给出了相应的监控对策；
1.该城区规模较大的公司生产的纯净水都有一定的质量问题，公司管理状况也不容乐观，除了要改善公司的管理制度外，食品安全监控局也可以不定期的对这两家公司进行检测，以引起他们的重视；
2.规模较小的其他公司，生产的纯净水也多少有一定的污染，规模虽小，但也要改善公司的管理制度，尤其是公司，要特别对改善公司的管理制度这方面引起注意；
3.由于四个危害因素在仓库网点所占的权重较大，所以食品安全监控局以后检测的采样地点可以偏向仓库，但要有一个度，不能过分的偏向；
4.由上述问题的结果中，可以看出公司生产的纯净水是在生产流程中受到了一定的污染，食品安全监控局可以建议该公司提高生产设备，以保证在生产流程中水不被污染；
5.危害因素“电导率”在各家公司生产的纯净水中都存在，说明这个城区的生产工艺控制工作都没有做好，尤其是公司,这一问题应受到食品安全监控局的重视。

六 模型的改进

本文采用的综合评价模型来解决问题1，2，忽略了这其中有一定模糊性（评价城区和各个公司的所有纯净水），因为时间关系，我们没有深入，建立模糊评价模型了解决该问题，若建立模糊评价模型求得结果，则更贴近实际生活。

七 模型的评价与推广

7.1模型的评价
1、模型的优点
（1）对不同类型的数据进行无量纲化，使其尽量符合实际情况；
（2）通过层次分析法，利用专家打分，求出了各项目的权值，使得建立的模型更具有说服力；
（3）在综合评价模型的基础上解决了问题2，使本文更具准确性；
（4）模型的结构简单便于推广和改进，对现实具有很强的指导意义；
（5）对各公司的风险度进行了排序，求出了各公司产品的主要可能的危害因素，具有很强的现实意义；
2、模型的缺点
由于所给的数据资料有限，我们对纯净水安全因素的分析较少，因此忽略了纯净水中其他的危害因素，从而造成与实际纯净水安全检验有一定的差距；所以可以在结合实际调查与纯净水安全检验标准，从新建立相关的模型对实际的纯净水生产公司进行合理的评价。
7.2、模型的推广
此模型可以应用到实际生活中，不仅仅是对公司纯净水安全的检测；并且对商场上其它商品的检测都可以用到，如食品的安全的检测等。

参考文献

[1] 姜启源、谢金星、叶俊。数学建模（第三版），北京：高等教育出版社，2003。
[2] 郑文瑞等，非确定数学方法在水污染状况风险评价中的应用[J],吉林大学学报，第33 卷第1 期。
[3] 邱菀华.管理决策与应用熵学.[M].北京.机械工业出版社,2002。
[4] 赵静，但琦，数学建模与数学实验[M]，北京：高等教育出版社，2003 。

附件:
模型Ⅲ的程序：
model:
sets:
weizhi/1..6/:q;
xuhao/1..9/:N;
links(xuhao,weizhi):m,x;
endsets
max=@sum(links(i,j):x(i,j)*m(i,j));
!max=@sum(xuhao(i):@sum(weizhi(j):x(i,j)*m(i,j)));
@for(xuhao(i):@sum(weizhi(j):m(i,j))=N(i));
@for(weizhi(j):@sum(xuhao(i):m(i,j))=qj));
!@sum(links(i,j):m(i,j))=100;
@sum(weizhi(j):@sum(xuhao(i):m(i,j)))=100;
@for(links(i,j):@gin(m(i,j)));
@for(links(i,j):m(i,j)>0);
data:
N=22 24 4 32 1 2 1 9 5;
x= 0.1505073 0.0597484 0.0026983 0 0.0022905 0
0.0496635 0.1525125 0.0306815 0.0043798 0 0
0 0 0 0 0.00423814 0
0.154619 0.1772801 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0.0019311
0 0 0 0 0.0218883 0.0011715
0.0460465 0.0284019 0 0 0 0
0 0 0.0186512 0 0 0
0.0550745 0 0 0 0 0;
q=45 42 5 1 6 1;
enddata
end