1、
弹性力学
1 题目
请分别用极坐标系下的半逆解法和有限元方法解答图中平面薄板在周边剪切荷载作用下的应力集中问题；
并比较应力分布及应力集中系数的解析解和数值解
2 弹性力学解答
【解】求出两个主应力，即
原来的问题变为矩形薄板在左右两边受均布拉力q而在上下两边受均布压力q，如图所示：
应力分量，，代入坐标变换式，得到边界上的边界条件
（a）
（b）
在孔边，边界条件是
（c）
（d）
由边界条件式(a)、(b)、(c)、(d)可见，
2、用半逆解法时，可假设为的某一函数乘以而为的另一函数乘以而
因此可假设
（e）
将(e)式代入相容方程得
删去因子以后，求解这个常微分方程，得
，
其中A,B,C,D为待定常数，代入式(e)，得应力函数
(f)
由应力函数得应力分量的表达式
将上述式代入应力边界条件
由式(a)得 (g)
由式(b)得 (h)
由式(c)得 (
3、i)
由式(d)得 (j)
联立求解式(g)~(j)，并命，得
将各式系数值代入应力分量的表达式得
沿着孔边，环向正应力是
。
它的几个重要数值如下表所示：
表1 不同角度处的应力值
0°
30°
45°
60°
90°
0
沿着y轴，，环向正应力是
它的几个重要数值如下表所示。
表2 距孔处不同距径处的应力值
可以看出应力在孔边达到均匀拉力的4倍，但随着远离孔边而急剧趋近于q。
3 基于PD
4、E求解结果
有限元法是一种将连续体离散为有限大小单元体的集合, 用以求解连续体力学问题的数值方法, 有限元法具有求解精度高、通用性强等特点。
3.1数值分析模型
计算模型为长宽均为2mm，中间开一半径为0.2mm的圆孔的薄板，薄板的杨氏模量为1＊103 Mpa，泊松比为0.3。
1. 建立如下的几何模型，拉压应力均为1。
2）划分网格
3）求解结果
将理论解与数值解进行对比
从上图可以看出，虽然理论解与数值解之间存在一定的误差，主要是由于PDE建模时的诸多因素如网格密度、约束条件简化等引起的，但总的来说沿孔边的轴向正应力的理论解和PDE计算的数值解
5、拟合的很好。
3.2其它计算模型
1.改变计算模型，薄板的尺寸不变，改变中心圆孔半径，分别为0.5mm和0.7mm，材料参数不变。
1)孔径为0.5的计算模型
2）孔径为0.7的计算模型
2.理论解与数值解对比
从上图可以看出，在改变小孔半径之后，理论解与数值解存在明显差距，主要是因为孔口尺寸与薄板尺寸接近，弹性力学小孔应力计算方法已不适合该情况。同时对比pde计算结果可以发现，小孔的尺寸的大小显著影响孔口应力集中系数，直径越大，应力集中越明显。
4 误差分析
产生误差的原因有：
1. 计算原理产生
6、的误差
有限元计算本身就是一种简化近似计算，在计算过程中由于一些条件的简化，以及一些假设，使得计算结果与理论值有差别。
2. 模型的简化产生的误差
本例实际是模拟一种小孔处应力集中现象，而在建模时，为了能够清楚看到洞口边应力应变变化，所以小孔选取较大，而整个模型本该延伸无限远处，所以这些造成模型简化误差。
3. 网格划分误差
有限元软件计算的重要步骤就是划分网格，一般而言网格划分越密结果精度越高，但实际中考虑到经济问题，在一些我们不需要过多信息的地方我们选取粗网格，这也在一定程度上产生误差。
4. 结果选取误差
由于关键部位网格划分较密，在选取结果时，只能选取在较近处的值，在比
7、较积分点处的值由于网格差异积分点也会有一定的出入。
6 结论
本次作业通过对小孔处应力集中现象的弹性力学有限元不同方法的模拟计算能得出如下结论：
1.弹性力学通过几何方程，物理方程，力学平衡方程和边界条件能够很好地求解问题的理论解。
2.弹塑性力学中, 将带圆孔平板受双向对称拉压力的问题, 近似为平面应力问题。通过弹性力学分析得到,孔边切向应力σθ在θ=±90°时最大, 为4q 。当θ=±90°时, σθ随r 的增加逐渐减小。
3.本文建立的带圆孔平板受双向对称拉压应力的有限元分析模型, 其计算结果与理论结果吻合较好, 证明该模型是合理的。
4.有限元是一种近似计算方法，它能够达到人们需要的精度，所以在工程中能广泛应用。
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