打印常微分习题1.doc

习题1.2
1 求下列可分离变量微分方程的通解：
(1)
解：积分，得 即
(2)
解： 为特解，当时，，
积分，得，即
(3)
解： 变形得 积分，得
(4)
解：变形得，为特解，当时，.积分，得,即
2．求下列方程满足给定初值条件的解：
(1)
解： 为特解，当时，，
积分，得
将代入，得 ，即为所求的解。
(2)
解： 为特解，当时，，
积分，得
将代入，得 ，即为所求的解。
(3)
解： 为特解，当时，，积分，得
将代入，得 ，即和均为所求的解。
(4)
解： 为特解，当时，，
积分，得
将代入，得 ，即为所求的解。
4．求解方程
解：为特解，
当时， 积分，得
6．求一曲线，使其具有以下性质：曲线上各点处的切线与切点到原点的向径及x轴可围成一个等腰三角形(以x轴为底)，且通过点(1,2).
解：设所求曲线为 对其上任一点的切线方程：
于x轴上的截距为由题意建立方程：
即 求得方程的通解为再由得c = ln2 , 得所求曲线为
为
7．人工繁殖细菌，其增长速度和当时的细菌数成正比
（1） 如果4小时的细菌数为原细菌数的2倍，那么经过12小时应有多少？
（2） 如果在3小时时的细菌数为得个，在5小时时的细菌数为得个，那么在开始时有多少个细菌？
解：设t时刻的细菌数为q (t) , 由题意建立微分方程
求解方程得 再设t = 0时，细菌数为,求得方程的解为
（1） 由 即 得,
（2）由条件
比较两式得， 再由 得
习题1.3
1 解下列方程：
(2)
解：方程改写为
令 ，有 整理为
积分，得 即
代回变量，得通解也是方程的解
(4)
解：方程改写为
令 ，有 即
积分，得 代回变量，得通解
(5)
解：方程改写为 令 ，有
当时 积分，得
代回变量，得通解
(6)
解：方程改写为
令 有 分离变量
积分，得
代回变量，得通解也是方程的解
2 解下列方程：
(1)
解：方程改写为
令，解得
作变换 有 再令 上方程可化为
整理为 积分，得
代回变量，得通解也是方程的解
(2)
解：方程改写为
令 ，有 分离变量
积分，得
代回变量，得通解
(4)
解：令 则原方程变为
再令 ，则方程化为
分离变量 积分，得
代回变量，得通解
3 解方程
解：方程改写为 即
令 则 再令 解得作变换 ，则方程化为 再作变换 ，则方程化为 积分，得
代回原变量，得原方程的通解为
习题1.4
1 解下列方程.
(1)
解：原方程对应的齐次方程的通解为.
由常数变易法得原方程的一个特解为.
则原方程的通解为$y=Ce^{-x^2}+2$.
(2)
解： 原方程对应的齐次方程的通解为.
由常数变易法得原方程的一个特解为.
则原方程的通解为.
(3)
解： 原方程对应的齐次方程的通解为.
由常数变易法得原方程的一个特解为.
则原方程的通解为, 或者.
2 求曲线,使其切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标.
解：设所求曲线为,则它在曲线上任一点的斜率.
过点的方程为.依题意得, 即.它对应的齐次方程的通解为.它的一个特解为.因此,所求曲线为.
3 解下列伯努利方程
(2)
解：原方程可化为.令$z=y^{-3}$, 则有.
它对应的齐次线性方程为. 当时,有,得;
当时,有,得.令为方程的一个解, 则有.两边积分得,带回得原方程的通解为,即.
(4)
解：方程两边同乘以得.
令,则. 于是.该方程对应的齐次方程的通解为.由常数变易法得一个特解为.则它的通解为.于是原方程的通解为.另外，也是原方程的解.
6. 设在上连续可微, 且 , 证明 .
证明：设 ,则,
, 对充分大的, 当时, 有 故

由的任意性有 .
习题1.5
1 (1)
解：因为,所以方程是全微分方程. 于是方程的通解为.
(2)
解：,所以方程是全微分方程. 于是方程的通解为.
2. 求下列方程的积分因子和积分.
(1)
解：由于,,所以方程不是全微分方程.
而只与有关,故可得积分因子为.
以积分因子乘以原方程两端,得全微分方程：.
则原方程的的通解为.
(2)
解：由于, , 所以方程不是全微分方程. 而只与有关,故可得积分因子为.
以积分因子乘以原方程两端,得全微分方程：.
则原方程的的通解为.
(3)
解：因为,,所以方程不是全微分方程. 而只与有关,用积分因子乘以原方程两端，得全微分方程：
.
于是原方程的通解为

(4)
解：由于,,所以方程不是全微分方程. 而只与有关, 故积分因子为.
用积分因子乘以原方程两端，得全微分方程：
.
于是原方程的通解为.
习题1.6
1. 求解下列方程.
(1)
解：因为,所以或. 由得; 由得.因此原方程的通解为.
(2)
解：令, 可得. 此式关于求导数整理得.
于是.从而原方程的通解为.
另外,也是原方程的解.
(3)
解：首先, 是方程的解. 令, 则. 于是
,
从而
.
由此可得原方程的通解为

即.
（4）
解：方程关于是齐次的作代换可把方程降一阶，其中是的新的未知函数.故
.
把的表达式代入方程并消去,得,或　，这是线性方程,它的左边可以写成,由此得，或　，.原方程的通解是 或　．此外,方程还有解.
第10章(常微分方程)之例题解析
例10．1求方程的通解。
解：当时，分离变量得。
两端分别积分得：
或
这即是原方程的通解。容易看出，时也是解，但不能并入通解之中。
例10．2解方程
解：原方程可化为
令，则，
于是原方程变为
即。
分离变量得
两端积分得
即
以代入上式中的，便得原方程的通解为。
例10．3求微分方程满足初始条件y(0)=1,的特解。
解：所给方程不含y，设代入方程并分离变量后，
有。
两端积分
得
即
由得
所以
再积分得：
又由y(0)=1得。
故所求特解为。
例10．4求微分方程的通解。
解：对应的特征方程为，
特征根为。
对应的齐次方程的通解为。
因是特征单根，所以设非齐次方程的特解为
求出并代入原方程化简
得
比较系数后求得

所以特解为
故原方程的通解为。
例10．5求微分方程的通解。
解：对应的特征方程为：。特征根为
所以对应齐次方程的通解为。
由于2i不是特征根，所以应设特解为
代入原方程得：

比较系数得：
解得。
于是特解为。
故原方程的通解为
。

11