江苏省苏中三市高三数学调研测试试题.docx

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江苏省苏中三市（南通泰州扬州）2012届高三3月第一次调研测试
2012.03
数学（І）（正题）
一、填空题.本大题共10小题，每小题5分，共50分.把正确答案填在相应位置.
1．在平面直角坐标系中，双曲线的离心率为 ．

2．若复数满足（i是虚数单位），则 ．

3．在右图的算法中，最后输出的的值依次是 ．

4．一组数据9.8，9.9，10，，10.2的平均数为10，则该组数据的方差 为 ．

5．设全集，集合，则 （用列举法表示）．

6．在平面直角坐标系中，已知向量，则 ．

7．将甲、乙两个球随机放入编号为1,2,3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在1,2号盒子中各有1个球的概率为 ．

8．设P为函数图象上异于原点的动点，且该图象在点P处的切线的倾斜角为，则的取值范围是 ．

9．如图，矩形ABCD的三个顶点A、B、C分别在函数的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴，若点A的纵坐标为2，则点D的坐标为 ．

10．观察下列等式：
，
，
，
，
……
猜想： ▲ （）.

11．在棱长为4的正方体中，E，F分别为棱上的动点，点G为正方形的中心，则空间四边形AEFG在该正方体各个面上的正投影所构成的图形中，面积的最大值为 ．

12．若对任意的都成立，则的最小值为 ．

13．如图，在平面直角坐标系中，分别为椭圆的左、右焦点，B，C分别为椭圆的上、下顶点，直线与椭圆的另一个交点为D，若，则直线CD的斜率为 ．

14．各项均为正偶数的数列中，前三项依次成公差为的等差数列，后三项依次成公比为的等比数列，若，则的所有可能的值构成的集合为 ．

二、 解答题.本大题共2小题，共30分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤.

15. 在斜三角形中，角，，的对边分别为，，
（1） 若，求的值；
（2） 若，求的值.

16. 如图，在六面体中，，，
求证：（1）；
（2）

17. 将52名志愿者分成，两组参加义务植树活动，组种植150捆白杨树苗，组种植200捆沙棘树苗.假定，两组同时开始种植.
（1） 根据历年统计，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时小时，种植一捆沙棘树苗用时小时.应如何分配，两组的人数，使植树活动持续时间最短？
（2） 在按（1）分配的人数种植1小时后发现，每名志愿者种植一捆白杨树苗仍用时小时，而每名志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时小时，于是从组抽调6名志愿者加入组继续种植，求植树活动所持续的时间.

18. 如图，在平面直角坐标系中，已知圆，圆
（1） 若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程；
（2） 设动圆同时平分圆的周长、圆的周长.
证明：动圆圆心在一条定直线上运动；
‚动圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由.

19. 已知函数
（1） 设，是函数的图象上相异的两点，证明：直线的斜率大于；
（2） 求实数的取值范围，使不等式在上恒成立.

20. 设数列的各项均为正数.若对任意的，存在，使得成立，则称数列为“型”数列.
（1） 若数列是“”型数列，且，，求；
（2） 若数列既是“”型数列，又是“”型数列，证明：数列是等比数列.

数学（Ⅱ）（附加题）

21. 选做题
.选修：几何证明选讲
如图，是半圆的直径，延长到使，切半圆于点，，垂足为，若：:，求的长.

.选修：矩阵与变换
在平面直角坐标系中，直线在矩阵对应的变换下得到的直线经过点，求实数的值.

.选修：坐标系与参数方程
在极坐标系中，已知圆（）与直线相切，求实数的值.

.选修：不等式选讲
已知，，满足，求证：

22. 已知数列满足：，（）.
（1） 求，的值；
（2） 证明：不等式对于任意的都成立.

23. 如图，在平面直角坐标系中抛物线的顶点在原点，焦点为，过抛物线在轴上方的不同两点、作抛物线的切线、，与轴分别交于、两点，且与交于点，直线与交于点.
（1） 求抛物线的标准方程；
（2） 求证：轴；
（3） 若直线与轴的交点恰为，求证：直线过定点.

江苏省苏中三市（南通泰州扬州）2012届高三3月第一次调研测试
数学Ⅰ讲评建议
1．考查双曲线的标准方程与几何性质．答案：
2．考查复数的四则运算．答案：1 + 2i
3．考查基本算法语句．答案：2，1
4．考查总体特征数的估计．答案：0.02
5．考查集合的运算、一元二次不等式，本题要提醒学生注意审题．答案：{0，1}
6．考查平面向量的数量积．本题可以直接出b = (，2)，得，也可以由a得，即，所以．答案：0
7．考查古典概型．答案：
8．考查导数、基本不等式，倾斜角与斜率的关系．，所以，得．答案：
9．考查幂、指、对函数的图像与性质以及基本运算能力，基本思路为，，其中A、B、C点坐标分别为，，．答案：
10．考查合情推理能力和等差数列知识，提醒学生从等号右侧数都为平方数入手寻找发现规律．答案：
11．考查空间几何体知识和空间想象能力，本题源于《必修2》立体几何章节复习题．

D

②
A1
D1

(F)
(E)
B
③
D
C
F

①
A1
B1
F

D1
（第11题）
C1
A1
B1
F

如图①，当与重合，与重合时，四边形在前、后两个面的正投影的面积最大值为12；
如图②，当与重合，四边形在左、右两个面的正投影的面积最大值为8；
如图③，当与D重合，四边形在上、下两个面的正投影的面积最大值为8；
综上得，面积最大值为12. 答案：12
12．考查导数在研究函数上的应用、三角函数的图象与性质，由图形可知，当过原点的直线过点时，取得最大值；当过原点的直线为点处的切线时，取得最小值1；讲评时应强调割线逼近切线的思想方法．答案：
13．考查椭圆的标准方程与几何性质、直线的斜率、二倍角公式，综合性强．由运用二倍角公式得，再由，得，故.提醒学生注意体会和使用“”这一重要结论．答案：
14．考查数列综合知识．解答过程如下：
设，，，，其中，均为正偶数，则，
整理得，所以，即，则可能为24，26，28，
当时，，；当时，（舍去）；当时，，；
所以q的所有可能值构成的集合为.答案：
15．考查正、余弦定理、两角和的三角函数，应提醒学生考虑“斜三角形”这个条件．
第1小题的解法还可以为：
，
于是，即. …………………………………3分
因为A，C为三角形的内角，所以，从而，
所以a = c，故1. ……………………………………………………………………7分
第2小题，可先用A+B与A求解，最后化简为A、C的关系．
16．考查直线与平面平行、垂直的判定与性质，提醒学生要规范书写．
17．考查函数模型及其应用，可以从总时间和总树苗数两个角度考虑．
18．考查直线与圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系，考查学生运算能力．
思路2：设圆：（），①
易得圆：， ②
圆：，③
由①②得，将代入得，
由①③得，将代入得，
代入③得，
整理得，
由得或
所以定点的坐标为，．
思路3（几何方法）：利用定点M在直线C1C2上，C1C2的中点为N，动圆圆心C满足CC12+12=r2= CN2+CM2，则CM2= CN2 —CC12+1= C1N2+1=9，进而得出结论．（建议课堂上不讲解）
19．考查函数的图像与性质，
第2小题思路2 依题意得，设，
当时，恒成立； ………………………………………………8分
当时，，………………………………10分
①时，，在上单调递减，
所以恒成立；………………………………………………12分
②时，注意到当时，，
于是，
必存在，使得当时，有，不能使恒成立.
综上所述，实数的取值范围为． ………………………………………16分
20．考查等比数列知识，
第2小题思路2：由题设知，当n≥8时，
an－6，an－3，an，an＋3，an＋6成等比数列；
an－6，an－2，an＋2，an＋6也成等比数列．
从而当n≥8时，an2＝an－3an＋3＝an－6an＋6． （*）
且an－6an＋6＝an－2an＋2．
所以当n≥8时，an2＝an－2an＋2，即．
于是当n≥9时，an－3，an－1，an＋1，an＋3成等比数列，
从而an－3an＋3＝an－1an＋1，故由（*）式知an2＝an－1an＋1，
即．
当n≥9时，设．
当2≤m≤9时，m＋6≥8，从而由（*）式知am＋62＝amam＋12，
故am＋72＝am＋1am＋13，
从而，
于是．
因此对任意n≥2都成立．
因为，所以，
于是．
故数列{an}为等比数列．
南通市2012届高三第一次调研测试
数学II讲评建议

21．【选做题】
A．选修4—1：几何证明选讲
本小题主要考查圆的几何性质等基础知识，考查推理论证能力．满分10分．
A
E
B
C
D
O
·
（第21－A题）
如图，AB是半圆O的直径，延长AB到C，使BC，
CD切半圆O于点D， DE⊥AB，垂足为E．
若AE∶EB 3∶1，求DE的长．
解：连接AD、DO、DB．
由AE∶EB3∶1，得∶2∶1．
又DE⊥AB，所以．
故△为正三角形．……………………………5分
于是．
而，故．
所以．在△中，．…………………10分
B．选修4—2：矩阵与变换
本小题主要考查二阶矩阵的变换等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．
在平面直角坐标系xOy中，直线在矩阵对应的变换下得到的直线过点，求实数的值．
解：设变换T：，则，即……………5分
代入直线，得．将点代入上式，得k4．……………10分
C．选修4—4：坐标系与参数方程
本小题主要考查直线与圆的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．
在极坐标系中，已知圆（）与直线相切，求实数a的值．
解：将圆化成普通方程为，整理，得．
将直线化成普通方程为． ……………………………6分
由题意，得．解得．…………………………………10分
21D.

.
22. 本题（2）可由题设求出数列{an}的通项公式：
（方法1）
因为，，所以.
于是在两边取倒数得，整理得
，而，
所以，得，
所以，
故不等式对于任意都成立．
（方法2）
由，…猜想：．
用数学归纳法证明猜想
证明：①当时，由（1），知，不等式成立．………………………4分
②设当时，成立，………………………………6分
则当时，由归纳假设，知．
，
所以，
即当时，不等式成立．
由①②，得不等式对于任意成立．……………………10分
23. 解：（1）设抛物线的标准方程为，
由题意，得，即．
所以抛物线的标准方程为．………………3分
（2）设，，且，．
由（），得，所以．
所以切线的方程为，即．
整理，得， ①
且C点坐标为．
同理得切线的方程为，②
且D点坐标为．
由①②消去，得．…………………………………………5分
又直线的方程为，③
直线的方程为． ④
由③④消去，得．
所以，即轴． ………………………………………………7分
（3）由题意，设，代入（1）中的①②，得，．
所以都满足方程．
所以直线的方程为．
故直线过定点．……………………………………………………10分
本题也可以在设A、B两点坐标时设为(4m2，4m)，(4n2，4n)，解得M、N的横坐标为4mn．